Մանկական անհաջողությունների պատճառները

Հեղինակ: 

Սկիզբը
Նախորդ հատվածը

1961, փետրվարի 3

Խեղճ Մարջրին ամբողջ ուժով ջանում էր հիշել ամենը, ինչ դպրոցում երբևէ խոսվել էր այդ մասին, բայց իզուր: Գլխում պտտվում էին կանոնների մասեր և ինչ-որ օրինակներ ու մտքեր, բայց նա ամենևին պատկերացում չուներ այն մասին, թե դրանցից որն է կիրառելի տվյալ իրավիճակում:

Հաջորդ օրը հարցրեց, թե կարելի է, որ ինքը ինձ հետ նորից զբաղվի փայտիկներով, և ստացավ իմ համաձայնությունը: Սկզբում զբաղվեցինք գունավոր ուղղանկյուններ կառուցելով. ես նույն գույնի մի քանի փայտիկ դնում էի իրար կողքի՝ ուղղանկյուն ստանալով, և նրան առաջարկում ստանալ այդպիսի ուղղանկյուն, բայց ուրիշ գույնի: Նա արագ հասկացավ, որ դա կարելի է անել սպիտակ փայտիկներով, իսկ շուտով ուղղանկյուններ կառուցեց նաև այլ գույնի փայտիկներով:

«Ես մի քանի փայտիկ դրեցի...»: Ինձ դեռ թվում է, որ սա բավականին լավ խաղ կամ գլուխկոտրուկ է փայտիկներով: Հաջորդ տարի ես ստվարաթղթից մի քանի փոքրիկ տուփ պատրաստեցի՝ միատեսակ խորությամբ` 1սմ, և տարբեր երկարություններով և լայնություններով՝ 3x5 սմ, 4x7 սմ և այլն: Դրանք տալիս էի երեխաներին և առաջարկում տարբեր ձևերով լցնել փայտիկներով՝ նույն գույնի փայտիկներով, տարբեր գույնի փայտիկներով, երկու գույնի փայտիկներով, բայց այնպես, որ երկուսից էլ նույն քանակությամբ լինի և այլն: Երեխաներն այս խնդիրները հետաքրքիր են համարում մի քանի պատճառով: Փայտիկներ պատրաստողները կարող էին մտածել նաև հավաքածուում նման խնդիրների համար այդպիսի տուփեր դնելու մասին: Չնայած, ոչ մեծ տուփերի հավաքածու կարելի է պատրաստել ստվարաթղթե ցանկացած տուփից:

Մեր պարապմունքների ժամանակ նա հաճախ էր կրկնում. «Օ՜, ինչ ուղիղ է: Ինձ շա՜տ է դուր գալիս նման գաղտնիքներ իմանալը»: Նրա զգացմունքերը և ձայնի հուզումը բառերով հնարավոր չէ փոխանցել:

Մի երկու օր հետո նրան առաջարկեցի մի գույնի փայտիկներով ուղղանկյուն կազմել այնպես, որ ես չկարողանամ դա ծածկել ուրիշ գույնով (բացի սպիտակից): Մի քանի անհաջող փորձից հետո նա գլխի ընկավ, որ կարող է ինձ հաղթել 3, 5 և 7 սմ կողմերով քառակուսիներով: Նա արդեն եզրակացրել էր, որ 9 սանտիմետրանոցն էլ հաջողություն կբերի, և շատ զարմացավ, երբ ես այն ծածկեցի բաց կանաչ (3) փայտիկներով: Նա չնկատեց, որ պահանջվում էին պարզ թվերը: Բայց հետո էլ, չնայած արդեն մի քանի շաբաթ պարզ թվերով էինք զբաղվում, այդպես էլ չհասկացավ, թե ինչ է պարզ թիվը:

Նա նորից ու նորից կրկնում էր, թե «գաղտնիքներ գուշակելն» իրեն որքան է դուր գալիս: Այդ արտահայտությամբ նա (և ոչ միայն նա) արտահայտում էր իր բավականությունը, որ իրեն հաջողվել էր խնդիրը լուծել և հասկանալ, թե ինչպես ստացվեց: Դասարանում գրեթե բոլոր աշակերտներն էին այդ խաղը ընկալել որպես անսովոր և դպրոցի հետ կապ չունեցող մի բան:

Հետո թղթե բաժակների օգնությամբ բաժանման խաղին անցանք: Ինչպես և մյուս երեխաները, Մարջրին բաժակների մեջ տեղադրում էր այնքան նարնջագույն (10) և սպիտակ (1) փայտիկ, որքան կարող էր հավասարաչափ բաժանել, իսկ հետո մնացած նարնջագույնը փոխում էր սպիտակով, և նորից հավասարապես բաժանում: Այս խաղը նրան շատ դուր եկավ, և նա փորձում էր մրցել Էննի հետ, որը մաթեմատիկայից ավելի շատ կարողություններ ուներ:

Եթե այս երեխաներին հարցնեին, թե ինչ գործողություն են կատարում, անկասկած կասեին՝ բաժանում, բայց իրենք այդ մասին չէին էլ մտածել և չէին կիրառել այն քիչ գիտելիքները, որ ունեին բաժանման մասին: Եթե երեխաներին թույլ ենք տալիս թվերով գործողություններից առաջ գործնական թվաբանական աշխատանք անել, ամեն դեպքում, պետք չէ նրանց մղել արվածի մասին շուտափույթ ընդհանրացումներ անելու: Դրա փոխարեն պետք է այնպիսի իրավիճակներ ստեղծենք, որ երեխաներն իրենք ցանկանան կատարելագործել գործնական գործողությունները, Մարջրիի և Էննի միջև բաժանման մրցույթի նման, ընդ որում այնպես, որ ավելի լավ մեթոդներ փնտրելու ընթացքում նրանք սեփական ընդհանրացումներն անեն: Ենթադրենք, երեխան չգիտի, որ 42:3=14, նա չգիտի այդ խնդիրը լուծելու ձև:

Նրան տալիս ենք 4 նարնջագույն և 2 սպիտակ փայտիկ և առաջարկում դրանք հավասրապես տեղավորել երեք բաժակներում: Նա յուրաքանչյուր բաժակում մեկ նարնջագույն փայտիկ է դնում, մնացած մեկը փոխում է 10 սպիտակի հետ, հետո, բաժանելով 12 սպիտակը երեք բաժակներում, պարզում է, որ յուրաքանչյուր բաժակում 14 ստացվեց: Նա այս գործողությունը շատ անգամ կանի, մինչև հասկանա, որ ստանալով մեկ մնացորդ նարնջագույն և երկու սպիտակ փայտիկ, հետագա գործողությունները կարող է մտքում անել` առանց փոխարինելու նարնջագույն փայտիկը սպիտակներով:

Հաջորդ օրը փորձեցի պրոցեսն արագացնել: Երբ աղջիկն ինձ խնդրեց նարնջագույն փայտիկը փոխարինել սպիտակներով, հարցրեցի, թե առանց փայտիկներ փոխելու չի՞ կարող ասել, թե քանի սպիտակ փայտիկ կլինի յուրաքանչյուր բաժակում: Եթե նա բաժանումը հասկանար, կկարողանար ասել, բայց այդպես չեղավ: Իր խնդրի հետ մենակ մնալով՝ նա վերադարձավ նախորդ համակարգին, որտեղ հասկանում էր, թե ինչ է անում, և ինչ է ստացվում:

Այս փաստի նշանակությունը դժվար է գերագնահատել: Բաժանման գործողությունը ոչ թե փայտիկների միջոցով, այլ մտքում անելը նրա գիտակցության մեջ դեռ չէր արմատավորվել, քանի որ դա իմ գաղափարն էր, ոչ թե իրենը, աղջիկն այդ գաղափարի մտավոր կարիքը չուներ: Մենք մեզ չպետք է խաբենք, ինչպես ես եմ արել երկար տարիներ՝ երեխաներին պատասխանի հասցնելով հատուկ ընտրված հուշող հարցերով: Երեխաները, որոնց վարժեցրել են ուսուցչի տրված հարցին պատասխանելու, հետագայում անօգնական են լինում, եթե միայն չեն հիշում հարցը և չեն կարողանում իրենք իրենց նման հարց տալ. իսկ հենց դա նրանք չեն կարողանում անել: Միակ պատասխանը, որը մնում է երեխայի գլխում, այն հարցի պատասխանն է, որը ինքն է իրեն տալիս կամ կարող էր տալ:

Երեկ ուրիշ խաղ էինք խաղում: Մարջրիին տվեցի երկու սպիտակ փայտիկ և հարցրեցի, թե քանի տարբեր ուղղանկյուններ կարող է կազմել: Նա համոզվեց, որ միայն մեկը: Մի փայտիկ էլ ավելացրի և նույն հարցը տվեցի:

Նորից միայն մեկ ուղղանկյուն ստացվեց: Չորս փայտիկից կարելի է երկու ուղղանկյուն կառուցել՝ 1*4 և 2*2: Այդպես մինչև 20-ը հասանք՝ գտնելով յուրաքանչյուր թվի բաժանարարները կամ նշելով, որ այն պարզ է: Մինչև 20-ը ճանապարհին ո՛չ Մարջրին, ո՛չ ավելի ընդունակ Էննը խնդիրը չլուծեցին օգտվելով այն քչից, որ գիտեին արտադրիչների մասին: Ստանալով 10 փայտիկ՝ չմտածեցին. «Կարող ենք ուղղանկյուն կառուցել 5 փայտիկ երկարությամբ և 2 փայտիկ լայնությամբ»: Նրանք ամեն անգամ դեպի նպատակը գնում էին փորձի և սխալի մեթոդով, բայց նպատակին ավելի արագ էին մոտենում, եթե տեսնում էին, թե որ զուգակցությունն է հնարավոր, իսկ որը՝ ոչ:

Միայն ավելի ուշ հասկացա, որ խնդրի լուծման մշտապես աճող արագությունը հիմք է, սերմ, որից աճում է ընդհանրացում անելու և վերացարկված մտածելու կարողությունը: Դա ինձ հիշեցրեց բազմիցս կրկնված օրինակը: Երբ երեխան 12 փայտիկ ուներ, նա կառուցում էր 6x2 ուղղանկյուն, հետո այն կիսում էր և կառուցում 3x4 ուղղանկյուն: Աշխատանքի ընթացքում խնդրին մոտեցումը դառնում էր ավելի խնայող և ռացիոնալ: Ընկալելուց մինչև սեփական մտքերը բառերով արտահայտելու ճանապարհը հեշտ չէ, բայց նրանք անցան այդ ճանապարհը: Կարևորն այդ ընթացքը չշտապեցնելն է:

Աշխատանքը փոխեց Կուիզեների փայտիկները և սյլ նյութեր օգտագործելու մասին իմ շատ գաղափարները: Սկզբում ինձ թվում էր, որ դրանք կարող ենք օգտագործել ավելի արագ սովորեցնելու համար, և շատ ուսուցիչներ հենց այդ նպատակով էլ օգտվում էին, բայց պարզվեց, որ դա սխալ էր: Ինչը իրականում պետք է անեինք, այն էր, որ նշված նյութերից օգտվեինք այնպես, որ երեխաների համար հեշտացնեինք սեփական փորձի և բացահայտումների ընդհանրացումը, ընկալումը, թե ինչպես են «աշխատում» թվերը և թվաբանական գործողությունները: Մեր նպատակը ամուր կառուցելն է, և եթե դա նշանակում է, որ պետք է դանդաղ կառուցել, ուրեմն պետք է դանդաղ կառուցել: Որոշ թեմաներ սովորականից ավելի շուտ կսկսենք, օրինակ, կոտորակները, իսկ որոշները, ինչպես մեծ թվերի բաժանումը, կարելի է և հետաձգել: Օպտիմալ ժամկետները երեխաներն իրենք ու նրանց մտավոր զարգացումը կհուշեն:

Արդեն չորս կամ հինգ տարի է՝ ստիպված եմ ուսուցիչներին ապացուցել, որ եթե ցանկանում ենք երեխաներին «սովորեցնել» այն, ինչ դպրոցում անվանում են «հիմնական թվաբանական փաստեր», այսինքն, օրինակ, որ 3+4=7, և 5*4=20, դրա լավագույն ձևը երեխաներին այդ փաստերը ինքնուրույն բացահայտելու հնարավորություն տալն է, ինչպես այս երկու աղջիկներն իրենց համար բացահայտեցին թվերի հիմնական հատկությունները: Պնդումը, որ 3+2=5, ավելի լավ կընկալվի ոչ թե որպես փաստ, որը ինչ-որ մեկը «հայտնագործել» է, և որը պետք է միայն հիշել, այլ որպես 5 թվի հատկություն: Այս հատկությունը, որի համաձայն 5 առարկայից կազմված խումբը կարող է տրոհվել երեք և երկու առարկա ունեցող խմբերի, ոչ թե մարդկային հայտնագործություն է, այլ բնության իրական փաստ: 3+2=5 պնդումը բնության երևույթը նկարագրելու ձևերից մեկն է միայն:

Մեկը մի քանիսի՞ց: Մյուս ձևերն են 2+3=5, 5-2=3, և 5-3=2: Այս բոլոր չորս պնդումները, որ դպրոցում սովորեցնում են առանձին-առանձին, որպես իրար հետ կապ չունեցող փաստեր (կնշանակի, որ դրանք առանձին-առանձին էլ կհիշվեն), իրականում կարող է և պետք է բացատրվեն որպես մեկ փաստ՝ այն անխախտ փաստը, որ հինգ առարկայից կարելի կազմել երեք և երկու առարկա ունեցող խմբեր:

Սակայն այս փաստը երեխաները կարող են ինքնուրույն բացահայտել: Նրանք չպետք է ուղղակի հավատան և կուրորեն հիշեն: Նրանք կարող են օգտագործել իրական աշխարհը և իրենց զգայությունները, որպեսզի բացահայտեն այս փաստը, ստուգեն և նորից բացահայտեն՝ քանի անգամ անհրաժեշտ լինի: Ուզում եմ մեկ անգամ էլ ընդգծել «եթե» բառը հետևյալ բառերում. «Եթե ցանկանում ենք երեխաներին սովորեցնել այս փաստերը»: Ոչ մի դեպքում չի կարելի համարել, որ եթե մենք երեխաներին այդ փաստերը չսովորեցնենք, նա երբեք չի իմանա դրանց մասին, ինչպես չի կարելի համարել, որ երեխային մեկ անգամ ցույց տալով 5 թվի հիմնական հատկությունը գտնելու ձևը, կմղենք այն բանին, որ իր մնացած ամբողջ ժամանակը նա կծախսի մյուս թվերի հատկությունները գտնելու համար: Երեխաներից շատերի համար դա այնքան էլ հետաքրքիր խնդիր չէ:

Թվաբանության տեսանկյունից ավելի կարևոր է հասկանալ այն փաստը, որ 4+3=7 և 9*5=45 տեսակի պնդումները իրական աշխարհին են վերաբերում և որ մեզ շրջապատող աշխարհի իրականությունում այդ պնդումները կարելի է ստուգել: Երեխաներին մեկ անգամ սա ցույց տալով՝ կրկնակի ստուգումների վրա շատ ժամանակ ծախսելու կարիքը չի լինի:

1961, մարտի 11

Դորոթիի հետ երկրորդ օրն էինք պարապում: Ես ձգտում էի հասնել թվերը չհասկանալու նրա ակունքին, որպեսզի ամուր հիմք գտնեմ, որի վրա կարելի է սկսել գիտելիքի կառուցումը, բայց այդպես էլ չկարողացա այն շոշափել:

Սեղանին դասավորեցի սպիտակ փայտիկների երկու շարք՝ հնգական փայտիկ յուրաքանչյուրում: Դրանք դասավորելով՝ ասացի. «Ահա փայտիկների երկու շարք՝ յուրաքանչյուրում նույն թվով փայտիկ»: Նա համաձայնեց: Հարցրեցի, թե ինձ քանի փայտիկ անհրաժեշտ եղավ այդ երկու շարքը կազմելու համար: Ասաց՝ տասը: Թղթի վրա 10 գրեցի և կողքին նշան արեցի: Հետո կազմեցի երկու շարք՝ յուրաքանչյուրում յոթ փայտիկ: Նա համաձայնեց, որ դրանցում փայտիկները հավասար են, և երբ հարցրեցի, պատասխանեց, որ երկու շարքի համար 14 փայտիկ է պետք եղել: Պարզ է, որ հաշվեց դրանք: Ուրիշ թղթի վրա 14 գրեցի և կողքին նշան արեցի:

Հետո ասացի. «Հիմա ինքդ արա»: Նա իմ շարքերը խառնեց մյուս փայտիկների հետ, հետո վերցրեց մի քանիսը և վեցական փայտիկ ունեցող երկու շարք կազմեց: Հարցրեցի, թե քանի փայտիկ օգտագործեց, և նա հաշվեց՝ 12: Ես այդ թիվը գրեցի թղթի վրա և կողքին նշան դրեցի: Հետո հարցրեցի՝ եթե 11 փայտիկ ունենար, կարո՞ղ էր երկու հավասար շարք կառուցել, որ փայտիկ չավելանա: Նա իր 12 փայտիկը խառնեց մնացածի հետ, հաշվեց 11 փայտիկ և փորձեց դրանք երկու շարքում տեղավորել: Որոշ ժամանակ հետո ասաց. «Չի ստացվում»: Համաձայնեցի, որ չէր էլ կարող ստացվել, գրեցի 11 թիվը և կողքին մեծ խաչ նկարեցի:

Դրանից հետո ասացի. «Որոշ թվերով ստացվում է, ինչպես 10-ը և14-ը, իսկ ուրիշներով՝ ոչ, ինչպես 11-ը: Սկսիր վեցից և ասա, թե որ թվերով է ստացվում և որոնցով՝ ոչ»: Մեր արածից հետո այդ առաջադրանքը հասկանալի էր: Նա հաշվեց 6 փայտիկ և դասավորեց 2 շարքում: Գրեցի վեց և կողքին նշան արեցի: Բայց այդտեղ ինձ անակնկալ էր սպասում: Ունեցածին մեկ փայտիկ ավելացնելու և 7 ստանալու փոխարեն նա վեց փայտիկները խառնեց մնացածի հետ և նորից հաշվեց 7 փայտիկ` փորձելով դրանք դասավորել երկու շարքում: Որոշ ժամանակ հետո հայտնեց. «Չի ստացվում»: Գրեցի 7 և կողքին խաչ գծեցի: Եվ նորից նա փայտիները խառնեց մնացածի հետ, հաշվեց 8 փայտիկ, դրանցից 4-ական փայտիկ ունեցող երկու շարք կամեց և ասաց. «8-ով ստացվեց»: Նույն ձևով՝ նորից հաշվելով 9 փայտիկ և չկարողանալով 2 շարք կազմել, ինձ հայտնեց այդ մասին: Այդ արարողությունը շարունակվեց, մինչև հասանք 14-ին:

Հետո նա մեծ քայլ արեց: Դասավորելով 14 փայտիկը երկու շարքում, նա ևս մեկը վերցրեց և ստացավ 15: Ուղղակի ավելացնելով նոր փայտիկը շարքերից մեկում՝ նա իսկույն հայտարարեց, որ 15-ով «չի ստացվում»: Եվ նորից, շարքերը թողնելով, նա նոր փայտիկ ավելացրեց կարճ շարքին և ասաց, որ 16-ով «ստացվում է»: Այս ավելի արդյունավետ ընթացքով շուտով հասանք 20-ին, հետո 24-ին։ Առանց նոր փայտիկ ավելացնելու՝ ասաց. «25-ով չի ստացվի»: Նա շարունակեց ավելի արագ և վստահ, մինչև հասանք 36-ին: Այստեղ նա դադարեց կենտ թվերը ասել և ասաց. «36-ով կստացվի, 38-ով կստացվի, 40-ով կստացվի...», և շարունակեց այդպես մինչև 50, որտեղ էլ կանգ առանք:

Մի քիչ հանգստացանք` փայտիկներով տնակ կառուցելով, հետո անցանք հաջորդ խնդրին: Այս անգամ նույն երկարության երեք շարք շարեցի և հարցրեցի, թե որ թվերը 6-ից սկսած, հարմար կլինեն այս դեպքում: Ի զարմանս ինձ, աղջիկը չկարողացավ 6 փայտիկից երեք հավասար շարք կառուցել, այլ փորձում էր դասավորել դրանք հաջորդաբար 3-2-1: Նրան օգնեցի, և նա սկսեց աշխատել, ելնելով երկու շարքի խնդրից: Երբ ես 6 փայտիկից 2-ական փայտիկ ունեցող երեք շարք կազմեցի և գրեցի 6, նա շարքերից մեկին մեկ փայտիկ ավելացրեց, և ասաց, որ 7-ով չի ստացվում, ևս մեկ փայտիկ ավելացրեց և ասաց, որ 8-ով էլ «չի ստացվ», հետո մի փայտիկ էլ ավելացրեց երրորդ շարքին և ասաց, որ 9-ով «ստացվեց»: Այդպես մենք հասանք մինչև 15, 18: Այդտեղ նա դադարեց փայտիկ ավելացնելը և ասաց. «19-ով չի ստացվի, 20-ով չի ստացվի, իսկ 21-ով կստացվի»: Երբ 27-ին հասանք, նա ուղղակի թվարկեց այն թվերը, որոնցով «կստացվի»՝ 30, 33, 36, 39:

Չորս շարքով խնդիրը 8-ից սկսեցինք: Փայտիկներին նայելով՝ նա ասաց, որ 9-ով, 10-ով և 11-ով «չի ստացվի», իսկ 12-ով «կստացվի»:

Հետո, առանց փայտիկների օգնության, ասաց, որ 13-ով, 14-ով և 15-ով «չի ստացվի», իսկ 16-ով կստացվի: Այդպես նա նշեց 20, 24, 28, 32 և մյուս թվերը: 5 շարքի դեպքում, որը սկսեցինք 10 փայտիկից, փայտիկների օգնությամբ հասավ մինչև 15, և դրանից հետո սկսեց 5 գումարել:

Ում պատմում էի այս աշխատանքը, սաստիկ զարմանում էին: Չէին կարող պատկերացնել, որ նույնիսկ մաթեմատիկական խղճուկ կարողություններով, անհուսորեն չհասցնող աղջիկն այդքան ուժ և անարդյունավետ ջանքեր կծախսի, որպեսզի լուծի այդ հեշտ խնդիրը: Սակայն փաստը փաստ է մնում: Անօրգուտ է, որ մենք, ուսուցիչներս, կրկնում ենք, թե երեխաները պետք է ավելին իմանան, պետք է ավելի լավ հասկանան, պետք է կարողանան ավելի երկար և արդյունավետ աշխատել: Որ այդ խեղճ երեխան դպրոցում սովորելու վեց տարիների ընթացքում հազիվ ինչ-որ բան իմացավ՝ պատճառն այն է, որ ոչ ոք չէր մտածել նրա ուսուցումը սկսել այն մակարդակից, որտեղ աղջիկը փաստորեն գտնվում էր: Եվ նա մի պարապմունքի ժամանակ կարողացավ մեծ առաջընթաց գրանցել հենց այն պատճառով, որ սկսեցինք նրա ըմբռնողության մակարդակից, որտեղից նա առանց կողմնակի օգնության սկսեց արդյունավետ առաջընթացը:

Չնայած այդ օրը հետաքրքիր աշխատանք էի նախատեսել հինգերորդցիների հետ, շատ ուրախ էի, որ պարապեցի Դորոթիի հետ:.Չեմ կարծում, թե նա Թեդից ավելին ընկալեց իմ ցույց տվածներից: Բայց գոնե հիմա աղջիկը խնդիր լուծելու փորձ ունի, որը հասկացել է, իսկ դա նշանակում է, որ կարողացել է զգալ սեփական մտքի ուժը:. Խնդիրը, իմ խնդիրը, հավանաբար, նրան անիմաստ և անհեթեթ թվաց, բայց, ամեն դեպքում, լուծումը ինքը գտավ:

Կարծում եմ, որ հիմարություն կլիներ և վնասակար՝ բոլոր երեխաներին նման խնդիրներ լուծել առաջարկելը վերը նկարագրված ամբողջ ընթացակարգով: Սակայն ինչպես երեխաներին, այնպես էլ մեծահասակներին շատ օգտակար կլինի դաս քաղելը, այսինքն՝ հասկանալը, որ նույնիսկ սարսափելի գլուխկոտրուկ թվացող խնդիրները կարելի է լուծել պարզ մաթեմատիկական օրենքների հիման վրա:

Կարծում եմ, որ մեծահասակներն էլ, որ դժվարություն և վախ ունեն թվաբանության հիմունքների նկատմամբ, նկարագրված վարժությունների օգնությամբ կարող են իրենց ավելի վստահ զգալ և նույնիսկ հակում ձեռք բերել այդ գիտության նկատմամբ: Դորոթիի նման նրանք կարող են բավարարվածություն զգալ այն բանից, որ «գաղտնիքը բացահայտված է»:

Նման խնդիրների համար ավելի թանկ նյութերից, քան Կուիզեների փայտիկներն են, օգտվելու հարկ չկա: Կարելի է օգտագործել ցանկացած մանր առարկա՝ լուցկիներ (վառված), ատամի փայտիկներ, ստվարաթղթի կտորներ և այլն:

1961, մարտի 20

Երեխաների մի խումբ աշխատում էր խնդրի վրա, որը կարելի է ձևակերպել այսպես. «Գտնել քառակուսիների քանակը, որոնք կարելի է տեղավորել ուղղանկյան վրա, որի լայնությունը մեկ քառակուսուց մեծ է»: Պարզ է, որ պատասխանը կարող է լինել ցանկացած թիվ, բացի պարզ թվերից: Այս խնդիրն ավելի պարզեցրի, առաջարկելով քառակուսիներից ուղղանկյուն կառուցել, որի մեջտեղում մի քառակուսու չափով անցք լինի: Թերիի նման ընդունակ աշակերտները խնդրին համակարգված մոտեցան: Նրանք կենտրոնական անցքի շուրջն սկսեցին կառուցել նվազագույն չափսերով ուղղանկյուն, այսինքն՝ նրա կողքերը ստեղծեցին մեկ քառակուսի լայնությամբ գոտի: Դրա համար 8 քառակուսի պետք եղավ: Հետո նրանք սկսեցի ավելի մեծ չափսերի ուղղանկյուններ կառուցել, բայց այնպես, որ անցքը կենտրոնում մնա: Շուտով Թերին նկատեց, որ այդպիսի եռանկյունը պետք է կենտ թվով քառակուսիներով կողմեր ունենար՝ 3x5, 7x3 և այլն: Շուտով նա առանց կառուցումների կարող էր ասել, թե որ թվերն են հարմար, և որոնք՝ ոչ:

Էդիի նման դժվար ընկալողները խնդրին լրիվ այլ կերպ են մոտենում: Այդպիսի աշակերտը սովորաբար վերցնում է 16 փայտիկ, դրանցից կառուցում է 4x4 չափսերով քառակուսի և հետո երկար մտածում, թե ինչպես մեկը հեռացնի, որպեսզի մեջտեղում անցք առաջանա, բայց որքան չարչարվում է, ոչինչ չի ստացվում: Մեջտեղում անցք առաջացնելու անպտուղ փորձերը նրան հոգնեցնում են, բայց, որքան էլ զարմանալի է, չեն վախեցնում: Նա աշխատում է համարձակ և նպատակաուղղված: Վերջապես նա սկսում է հասկանալ, որ լուծման համար պետք է կենտ կողմերով ուղղանկյուն, բայց նույնիսկ հիմա չի տեսնում, որ հարմար է այդպիսի ցանկացած ուղղանկյունը: Թերիի մեթոդի համեմատ նրանը անշնորհք և ոչ արդյունավետ է, բայց ամենակարևորը՝ որ դա իր մեթոդն է, որը ճիշտ համապատասխանում է նրա մտքի դրվածքին, և որ ինքը այդ պահուստից կարողացավ օգտվել:

Մենք պետք է կարողանանք հորինել կամ կյանքից վերցնել խնդիրներ, որոնք երեխաները կարող են ինքնուրույն լուծել և այդ ընթացքում իրենց համար կարևոր եզրակացություններ անել: Նման խնդիրները նրանցում պետք է մշակեն յուրատեսակ ինքնակարգավորվող և ինքնուսուցանող մաթեմատիկական մեխանիզմներ, ընդ որում այնպես, որ երեխան կարողանա այդտեղ տեղադրել ավելի բարդ ծրագրեր՝ իր աճին համապատասխան: Սակայն այդպիսի մոտեցումը մաթեմատիկայում, ինչպես նաև մյուս առարկաներում, ուսուցչից պահանջում են, որ նա դադարի խնդրի լուծման ձևի կամ լավագույն ձևի մասին մտածելուց: Պետք է հասկանանք, որ թեկուզ փորձի և սխալի պարզագույն, քիչ արդյունավետ մեթոդով խնդիրը լուծող երեխաներն են իրենց համար անում օգտակար և հուզիչ բացահայտումներ, և այդ բացահայտումներին պետք է ցուցաբերել նույնպիսի հետաքրքրություն և նույն ձևով դրանք խրախուսել, ինպես հաջողակ աշակերտների ավելի բարդ բացահայտումները: Երբ Դորոթին երկար և տաժանակիր աշխատանքից հետո իր համար բացահայտեց, որ յուրաքանչյուր երկրորդ կարգային թիվը բաժանվում է երկուսի, իսկ յուրաքանչյուր երրորդը բաժանվում է երեքի, նա իր համար մտավոր նույնպիսի մեծ քայլ արեց դեպի առաջ, ինչպես այն աշակերտը, որը իր համար աստիճանի որոշ կանոններ էր բացահայտել:

Այլ կերպ ասած՝ ժամանակին անիվ հայտնագործելը պակաս մեծ քայլ չէր առաջ, քան ինքնաթիռ հայտնագործելը, իսկ ըստ էության` ավելի մեծ: Մենք՝ ուսուցիչներս, պետք է անսխալ ճանաչենք այն պահերը, երբ են աշակերտները, պատկերավոր ասած, «անիվ հայտնագործում», և երբ են «ինքնաթիռ հայտնագործում», ընդ որում անիվ հայտնագործողը պահանջում է ոչ պակաս ուշադրություն և խրախուսում, ինչքան ինքնաթիռ հայտնագործողը: Իսկ ամենակարևորը, մենք պետք է դիմակայենք ետ մնացող աշակերտին անիվը ցույց տալու մեծ փորձությանը, ինչ է թե նա կարողանա արագ անցնել ինքնաթիռի վրա աշխատելուն: Մաթեմատիկայում՝ հաստատ, իսկ մյուս առարկաներում գուցե նույնպես, ցանկացած գիտելիք, որը երեխան ինքը չի գտել, նրան ավելի շուտ կթվա անօգտակար և արագ կմոռանա:

Ուղղանկյուններ կամ կենտրոնում անցք ունեցող ուղղանկյուններ կառուցելու վերաբերյալ այս գլուխկոտրուկները երեխաներին բավականին հետաքրքիր թվացին, գոնե դպրոցական պայմաններում: Խիստ կասկածում եմ, թե երեխաներն իրենց ազատ ժամանակը կծախսեն նման խնդիրներ կազմելու և լուծելու համար: Դրանք, ինչպես և վերևում նկարագրված այլ տեսակի խնդիրները, կարող են հետաքրքիր և օգտակար լինել հատկապես այն երեխաների և մեծահասակների համար, ում մոտ վառ արտահայտված է մաթեմատիկայից վախը:

Շատ կարևոր մաթեմատիկական օրենքներ բացահայտվել են այնպիսի հասարակ խաղերի հիման վրա, ինչպիսին պոլիմինոն է՝ միանման քառակուսիներից տարբեր պատկերների կառուցումը: Հասկանալի է, որ պոլիմինոյով և մյուս գլուխկոտրուկներով, որոնք դասարանում տալիս էի երեխաներին, Կուիզեների փայտիկներ չեն պահանջվում. Քառակուսիները կարելի է կտրատել խիտ թղթից կամ ստվարաթղթից:

ա) 2 քառակուսուց պոլիմինո
բ) 3 քառակուսուց պոլիմինո
գ) 4 քառակուսուց պոլիմինո

Շարունակությունը

Թարգմանություն ռուսերենից
Լուսանկարը՝ Արմինե Մովսիսյանի 

Թարգմանիչ: 
  • Deutsch
  • 日本語
  • Հայերեն
  • English
  • Georgian
  • Русский