«Մաթեմատիկոսի ողբը»: Ակնարկ դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդման մասին

Անոտացիա

Ակնարկը միջնակարգ դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդման մասին է: Չնայած այստեղ խոսվում է ամերիկյան ժամանակակից միջնակարգ դպրոցի մասին, բայց Լոկհարտի արծարծած շատ խնդիրներ վերաբերում են աշխարհի ցանկացած երկրի, բացառությամբ, թերևս, Էլդորադոյի, որը գոյություն չունի: Շատ ավելի քիչ են կապված ամերիկյան իրականության հետ հեղինակի մտքերն այն մասին, թե ի՞նչ է մաթեմատիկան, և ինչպե՞ս պետք է այն դասավանդել: Նույնիսկ եթե դուք մաթեմատիկոս չեք և կապ չունեք դասավանդման հետ, այս գիրքը ձեզ համար հետաքրքիր կլինի, և միգուցե ինքներդ որոշ փոքրիկ հայտնագործություններ անեք և կոտրեք որոշ կարծրատիպեր: Ի վերջո, դպրոցում մաթեմատիկա սովորե՞լ եք…

Ներածություն

Երաժիշտն արթնանում է մղձավանջային երազից: Երազում տեսել էր, իբր երաժշտական կրթությունը դարձել է պարտադիր: «Մենք օգնում ենք սովորողներին մտնել ձայներով հարուստ այս աշխարհը», -ուսուցիչները, դպրոցական համակարգը և կառավարությունը ձեռնամուխ են եղել այս կարևոր նախագծի իրականացմանը: Անցկացվում են հետազոտություններ, ստեղծվում հանձնաժողովներ, կայացվում են որոշումներ…Եվ այս ամենը` առանց  որևէ երաժիշտի կամ կոմպոզիտորի հետ խորհրդակցելու։

Հայտնի է, որ երաժիշտներն իրենց մտքերը գրում են նոտաներով. ստացվում է, որ այս սև շրջանակները և ձողիկները «երաժշտության լեզուն» են: Կարևոր է, որ աշակերտներն ազատ խոսեն այս լեզվով, եթե պատրաստվում են երաժշտություն սովորել: Ինքնին հասկանալի է, որ անհեթեթություն կլինի երեխայից ակնկալել, որ կարողանա ինչ-որ գործիքով մեղեդի նվագել կամ երգել, եթե չի սովորել նոտագրություն և երաժշտության տեսություն: Իսկ նվագել և երաժշտություն լսել, էլ չենք խոսում սեփական  ստեղծագործություն գրելու մասին, դասավանդում են բուհում և ասպիրանտուրայում:

Իսկ կրտսեր և միջին դասարաններում ուսուցման նպատակը դպրոցականներին երաժշտության լեզուն սովորեցնելն է. պետք է սերտել այդ սիմվոլների հետ աշխատելու կանոնները: «Երաժշտության դասին մենք վերցնում ենք նոտաների թերթիկ, ուսուցիչը գրատախտակին նոտաներ է գրում, իսկ մենք դրանք արտագրում ենք կամ տեղափոխում այլ տոնայնության մեջ: Պետք է սովորենք, թե ինչպես նկարել սոլի և բասի բանալիները և չխառնել դրանց տոնայնությունը: Մեր ուսուցիչը շատ խիստ է: Նա միշտ նայում է, որպեսզի քառորդ  նոտաները լինեն ամբողջովին ներկված: Մի անգամ լուծեցի քրոմատիկ սանդղակը, և ամեն ինչ ճիշտ էի արել, բայց ինձ երկու  նշանակեցին, որովհետև դադարները նկարել  էի հակառակ կողմից»:

Նույնիսկ ամենափոքրերը կարող են դա սովորել: Երրորդ դասարանցուն ամոթ է, որ չճանաչի կվինտային շրջանը: «Ես ստիպված էի կրկնուսույց  վարձել որդուս համար: Նա պարզապես չի կարողանում կատարել երաժշտության տնային առաջադրանքները։ Նվնվում է, որ ձանձրանում է: Նայում է պատուհանից, ինչ-որ բան է սուլում կամ անհեթեթ երգեր դնդնում»:

Ավագ դպրոցում ծրագիրը ծանրաբեռնված  է. աշակերտները պատրաստվում են միասնական և ընդունելության քննությունների: Նրանք ուսումնասիրում են գամմաները և լադերը, տարբեր չափեր, հարմոնիա և ձայնակարգություն: «Նրանք շատ բան ունեն սովորելու, բայց ցածր կուրսերում, երբ լսեն այս ամենը, կհասկանան, թե որքան կարևոր էր յուրացնել դպրոցական ծրագիրը»: Իհարկե, ոչ բոլոր ուսանողներն են պատրաստվում մասնագիտանալ երաժշտության մեջ, այնպես որ նրանցից  ոմանք երբեք չեն լսի այն  հնչյունները, որոնք պատկերվում են նոտաների սև շրջանակներով: Այնուամենայնիվ, չափազանց կարևոր է, որ հասարակության յուրաքանչյուր անդամ կարողանա ճանաչել մոդուլյացիան կամ ֆուգան, նույնիսկ նրանք, ովքեր երբեք դրանք չեն լսել: «Ճիշտն ասած` աշակերտների մեծամասնությունը  միջակ է երաժշտությունից: Նրանք միայն սպասում են դասամիջոցի զանգին, ոչինչ չգիտեն, տնային առաջադրանքները գրում են հավի չանչերի նման: Նրանք չեն մտածում այն մասին, թե որքան կարևոր է երաժշտությունը ժամանակակից աշխարհում, նրանք ցանկանում են միայն ավարտել դպրոցը, անցնել նվազագույնը և գնահատական ստանալ ատեստատում: Հավանաբար, կան երաժշտության նկատմամաբ ունակ և ոչ ունակ երեխաներ: Մի   հիանալի աշակերտուհի ունեի։ Նրա նոտայի տետրերը անթերի էին, յուրաքանչյուր նոտան իր տեղում էր, ուներ գեղեցիկ ձեռագիր, դիեզները, բեմոլներն իրենց տեղերում էին: Մի օր նա հայտնի կոմպոզիտոր կդառնա»:

Մեր երաժիշտն արթնանում է սառը քրտինքի մեջ կորած և հասկանում, որ դա, բարեբախտաբար, պարզապես երազ էր: «Իհարկե, - բարձրաձայն խոսում է ինքն իր հետ, որպեսզի հանգստանա,- ոչ մի հասարակություն չի հասնի այն աստիճանի, որ երաժշտության գեղեցիկ և իմաստալից արվեստը հասցնի նման անմիտ ու տրիվիալ ձևականության. ոչ մի մշակույթ չի կարող այնքան դաժան լինել երեխաների նկատմամբ, որ նրանց զրկի ինքնադրսևորման բնական և հաճելի այդ ձևից: Ի՜նչ անհեթեթություն էր երազս»:

Նույն այդ ժամանակ քաղաքի մյուս կողմում մի նկարիչ է արթնանում նմանատիպ մղձավանջից…

***

Ես հայտնվեցի սովորական դասարանում, որտեղ ո՛չ մոլբերտներ կային, ո՛չ ներկեր: «Մենք մինչև տասներորդ դասարան ներկի ձեռք  չենք տալիս, - ասացին  աշակերտները,- յոթերորդ դասարանում մենք սովորում ենք միայն ներկերի և վրձինների տեսությունը»: Նրանք ինձ ցույց տվեցին իրենց նկարչական տետրերը, որտեղ կային գունավոր քառակուսիներ, որոնց կողքին դատարկ տեղեր էին: Առաջադրանքում պահանջվում էր քառակուսիների կողքին գրել դրանց գույների անունները: «Ես սիրում եմ նկարչությունը, - ասաց նրանցից մեկը։ - Ինձ ասում են, թե ինչ պետք է անեմ, և ես դա անում եմ: Շատ հեշտ է»:

Դասից հետո խոսեցի ուսուցչի հետ: «Ստացվում է, որ աշակերտները ոչինչ չե՞ն նկարում»,- հարցրեցի ես: «Ավագ դպրոցում նրանք կգունազարդեն գիրք-գունազարդիկները»:
- Իսկ ավագ դպրոցի այն դասարաննե՞րը …
- Հա՜, խորացված ուսուցմամբ դասարաննե՞րը: Վերջերս ավելի ու ավելի շատ երեխաներ են  փորձում ընդգրկվել այդ դասարաններում: Կարծում եմ, որ ծնողներն են նրանց դրդում, քանի որ ատեստատի  մեջ  այդ դասարանի մասին նշումը բուհ ընդունվելիս առավելություն է տալիս:
- Առավելություննե՞ր, իսկ բուհի ինչի՞ն է պետք, որ ուսանողը կարողանա ներկել նկարազարդ գրքերը նշված գույնով:
- Ինչպե՞ս: Դրանով նրանք ցույց են տալիս իրենց տրամաբանական մտածողության պարզությունը: Եվ, իհարկե, եթե դպրոցականը նախատեսում է ընդունվել որևէ դիզայներական բաժին, ավելի լավ է` այդ գիտելիքները ստանա դեռ դպրոցում:
- Պարզ է, իսկ ե՞րբ են աշակերտները սկսում նկարել... ասենք, մաքուր կտավի վրա։
- Դուք խոսում եք, ինչպես իմ ծեր պրոֆեսորներից մեկը: Նրանք անընդհատ խոսում են արվեստում ինքնարտահայտման, զգացմունքների և վերացական ամեն տեսակ դատարկ բաների մասին: Ինքս, ի դեպ, ավարտել եմ գեղարվեստի ֆակուլտետը, բայց ինձ ոչ մի անգամ չի հաջողվել նկարել ամբողջական նկար՝ մաքուր կտավի վրա: Իսկ դասարանում օգտագործում ենք ներկազարդումների հավաքածուներ, որոնք դպրոցը գնում է:

* * *

Ավաղ, դպրոցական մաթեմատիկայի դասավանդման մեր համակարգը հենց այդպիսի մղձավանջ է: Իրականում, եթե ինձ առաջարկեին հորինել երեխաների մեջ բնածին հետաքրքրասիրությունը, համակարգեր որոնելու ձգտումը ոչնչացնելու ձևեր, ես չէի կարողանա այդ աշխատանքը կատարել ավելի լավ, քան արդեն արվում է, պարզապես երևակայությունս չէր բավարարի` հասնելու դպրոցական մաթեմատիկայի ժամանակակից դասավանդման այսպիսի անմիտ և անհոգի մեթոդիկայի։

Ընդ որում, բոլորը հասկանում են, որ ինչ-որ բան կարգին չէ: Քաղաքական գործիչներն ասում են. «Մեզ ավելի բարձր չափանիշներ են պետք»: Դպրոցներն ասում են. «Մեզ ավելի շատ փող և ավելի շատ սարքավորում է պետք»: Յուրաքանչյուրն իրենն է պնդում, բայց նրանք բոլորը սխալվում են: Իսկ ովքեր հասկանում են, թե ինչ է կատարվում, նրանց ոչ միայն չեն լսում, այլ ավելի հաճախ, քան մյուսներին, մեղադրում են տեղի ունեցածի համար: Ես խոսում եմ երեխաների մասին: Նրանք ասում են. «Մաթեմատիկայի դասերը ձանձրալի են և անմիտ»: Եվ նրանք ճիշտ են:

Մաթեմատիկան և մշակույթը

Առաջինը, որ պետք է հասկանանք՝ մաթեմատիկան արվեստ է: Մաթեմատիկայի և մյուս արվեստների միջև, ինչպիսին են երաժշտությունը կամ նկարչությունը, տարբերությունը այն է, որ մեր մշակույթը մաթեմատիկան չի ճանաչում որպես արվեստ: Բոլորն էլ հասկանում են, որ բանաստեղծներն ու երաժիշտները ստեղծում են արվեստի գործեր՝ ինքնարտահայտվելով խոսքով, նկարով և ձայնով: Մեր հասարակությունը, կարելի է ասել, առատաձեռն է մշակույթի ոլորտում արվեստի ճանաչման հարցում. ճարտարապետները, խոհարարները և նույնիսկ հեռուստահաղորդավարները ճանաչվում են որպես արվեստի մարդիկ: Ուրեմն ինչու՞ ոչ մեթեմատիկոսները:

Մի կողմից խնդիրն այն է, որ հասարակության մեջ ոչ ոք չի պատկերացնում, թե ինչ են անում մաթեմատիկոսները: Ընդհանուր ըմբռնումն այն է, որ մաթեմատիկան կապված է բնական գիտությունների հետ: Մաթեմատիկոսներն օգնում են գիտնականներին  իրենց բանաձևերով կամ համակարգչում որևէ գիտական խնդրի համար հաշվարկում են հսկայական թվեր: Անկասկած, եթե ստիպված լինեինք աշխարհը բաժանել «պոետիկ երազողների» և «ռացիոնալ մտածողների», մարդկանց մեծամասնությունը մաթեմատիկոսներին կներառեր վերջին կատեգորիայի մեջ:

Այնուամենայնիվ, աշխարհում չկա ոչինչ այնքան պոետիկ և երևակայական, այնքան կատարյալ, շռնդալից և հոգեմետ, որքան մաթեմատիկան: Այն նույնքան խելագարեցնող է, որքան ֆիզիկան կամ տիեզերաբանությունը (ի վերջո, մաթեմատիկոսները մտածել էին սև խոռոչների  մասին շատ ավելի վաղ, քան աստղագետները հայտնաբերեցին դրանք), և ավելի ազատ է արտահայտչական միջոցներում, քան պոեզիան, նկարչությունը կամ երաժշտությունը (քանի որ դրանք կախված են նյութական տիեզերքի հատկություններից): Մաթեմատիկան արվեստներից ամենամաքուրն է և ամենից առեղծվածայինը:

Թույլ տվեք բացատրեմ, թե ինչ է մաթեմատիկան, և ինչ են անում մաթեմատիկոսները: Չեմ կարող գտնել ավելի լավ նկարագրութուն, քան այն, ինչ տալիս է  Գ.Գ. Հարդին. Մաթեմատիկոսը նկարչի և բանաստեղծի նման նախշեր է ստեղծում: Եվ եթե նրա նախշերն ավելի դիմացկուն են, դա նրանից է, որ հյուսված են գաղափարներից:

Նշանակում է, որ մաթեմատիկոսները նստած պատկերներ են հյուսում: Ի՞նչ պատկերներ: Ի՞նչ  գաղափարներից: Գաղափարներ` ռնգեղջույրների մասի՞ն: Ո՛չ, եկեք դրանք թողնենք կենսաբաններին: Գաղափարներ` մշակույթի և լեզվի՞ մասին: Սովորաբար` ո՛չ: Սրանք դժվար թե մաթեմատիկոսների ճաշակով լինեն: Եթե մենք ստիպված լինենք մաթեմատիկայում գտնել միավորող գեղագիտական սկզբունք, կլինի՝ պարզը գեղեցիկ է: Մաթեմատիկոսները սիրում են մտածել պարզ բաների մասին, իսկ ամենապարզերը  երևակայականներն են:

Օրինակ, երբ ես տրամադրություն եմ ունենում մտածել երկրաչափական պատկերների մասին, իսկ ես հաճախ եմ այդպիսի տրամադրություն ունենում, պատկերացնում եմ ուղղանկյանը ներգծված մի եռանկյուն:

Մտածում եմ, թե ուղղանկյան որ մասն է զբաղեցնում եռակյունը: Մոտավորապես երկու երրորդը, կարծես: Այստեղ կարևոր է հասկանալը, որ ես չեմ մտածում  ուղղանկյան մեջ եռանկյուն պատկերի մասին: Ոչ էլ խոսում եմ կամրջի մաս կազմող եռանկյան մասին։ Սրա մեջ չկա թաքնված գործնական նպատակ։ Ես խաղում եմ: Հենց սա է մաթեմատիկան՝ հետաքրքրություն, խաղ, զվարճանք սեփական երևակայությամբ: Մի կողմից, հարցը, թե եռանկյունը ուղղանկյան որ մասն է զբաղեցնում, ուղղակի նշանակություն չունի իրական օբյեկտների համար: Նույնիսկ ծայրաստիճան ճշգրիտ գծած եռանկյունը պարզապես թռվռան ատոմներից բաղկացած անհուսալի բարդ կառուցվածք է, և դրա չափսը փոփոխվում է վայրկյանների ընթացքում, եթե չենք խոսում ինչ-որ մոտավոր չափումների մասին: Դա հեշտ չէ, և, հետևաբար, գեղեցիկ հարց չէ, որը կախված է իրական աշխարհի շատ մանրուքներից: Սա է մաթեմատիկայի գեղագիտությունը: Այդ հարցը կթողնենք գիտնականներին: Մաթեմատիկական հարցը տրվում է երևակայական ուղղանկյան մեջ ներգծված երևակայական  եռանկյան  մասին: Նրա կողմերը կատարյալ են, որովհետև ես այդպես եմ ուզում, կամ որովհետև ինձ դուր է գալիս մտածել այդպիսի օբյեկտների մասին: Սա մաթեմատիկայի սկզբունք է՝ օբյեկտները այնպիսին են, ինչպիսին դու ես պատկերացնում: Ձեր ընտրությունն անսահմանափակ է, և իրականությունը չի խոչընդոտում ձեզ:

Մյուս կողմից, երբ ընտրությունը կատարել եք (օրինակ, ես կարող եմ իմ եռանկյունը սարքել համաչափ կամ` ոչ), ձեր ստեղծած պատկերներն իրենց որոշակի կերպ են պահում՝ ուզեք, թե՝ ոչ:  Երևակայական նախշերի զարմանալի հատկությունն է՝ նրանք ձեզ պատասխանում են: Եռանկյունը զբաղեցնում է ուղղանկյան որոշակի մասը, և իմ ուժից վեր է այդ մասը փոխելը: Դա թիվ է, միգուցե հավասար է երկու երրորդին, միգուցե` ոչ, բայց գլխավորն այն է, որ ես չեմ կարող պարզապես որոշել, թե դա ինչ է լինելու: Ես պետք է այն գտնեմ:

Այսպես, մենք սկսում ենք խաղալ և կառուցել երևակայական պատկերներ,  հարցեր տալ այդ պատկերների վերաբերյալ: Բայց ինչպե՞ս ենք գտնում այս հարցերի պատասխանները: Ամենևին էլ ոչ այնպես, ինչպես  բնական գիտություններում: Չկա լաբորատորիայում այնպիսի փորձ կամ որևէ հատուկ տեխնիկա, որով կկարողանան ուսումնասիրել իմ  հորինվածքը: Երևակայական օբյեկտների մասին ճշմարտությունն իմանալու միակ միջոցը ձեր երևակայության լարումն է, և դա հեշտ գործ չէ:

Ուղղանկյան մեջ գտնվող մեր եռանկյան դեպքում ես տեսնում եմ պարզ և գեղեցիկ մի բան.

Եթե ուղղանկյունը կետագծերով բաժանեմ երկու մասի, պարզ տեսանելի կլինի, որ եռանկյան կողմերը ուղղանկյան յուրաքանչյուր մասը կիսում են երկու հավասար մասերի: Նշանակում է, որ եռանկյունուց դուրս կա ուղղանկյան նույնքան մաս, ինչքան ներսում, և, հետևաբար, եռանկյան մակերեսը ուղղանկյան մակերեսի ուղիղ կեսն է:

Ահա այսպիսի տեսք ունի ու այսպես է  զգացվում մաթեմատիկան: Այս փոքրիկ նկարագրությունը մաթեմատիկոսի արվեստի օրինակ է. նա պարզ և էլեգանտ հարցեր է տալիս երևակայական օբյեկտների վերաբերյալ, հետո տալիս է ճիշտ և գեղեցիկ բացատրություններ: Մաքուր գաղափարների այս թագավորությանը նմանը չկա, այն հմայիչ է, հետաքրքիր և ոչ մի ծախս չի պահանջում:

Հասկանալի է, բայց որտեղի՞ց ծագեց իմ գաղափարը: Ինչպե՞ս կռահեցի գիծը գծել: Նկարիչը ի՞նչ գիտի, թե որտեղ վրձինը քսի: Ոգեշնչում, փորձ, փորձառություն, սխալներ և կույր բախտ: Սա է արվեստը՝ ստեղծել մտքի այս գեղեցիկ պոեմները, մաքուր բանականության այս սոնետները: Արվեստի այս տեսակի մեջ հիանալի մի բան կա, որը մեզ փոխակերպում է: Եռանկյան և ուղղանկյան միջև եղած  կապը առեղծված էր, և մի փոքրիկ գիծ այն պարզեցրեց: Ես այն չէի տեսնում, և հանկարծ տեսա: Ինչ-որ կերպ ես ստեղծեցի խորը և պարզ գեղեցկություն և դրանով փոխվեցի: Միթե՞ սա չէ այն, ինչը արվեստ ենք անվանում:

Ահա թե ինչու եմ ես ցավում, երբ տեսնում եմ, թե մաթեմատիկան ինչի է վերածվում դպրոցում: Երևակայության հմայիչ, բեղմնավոր խաղը ստերջացվել է սերտած փաստերի և լուծումների եղանակների անպտուղ հավաքածուով: Երկրաչափական պատկերների վերաբերյալ պարզ ու բնական հարցերի, հայտնագործության ու բացահայտման ստեղծարար ու օգտակար գործընթացի փոխարեն, ուսանողներին մատուցվում է հետևյալը.

«Եռանկյան մակերեսը նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսն է»: Աշակերտներից պահանջվում է անգիր սովորել բանաձևը և այն «փորձարկել»  «վարժություններում» կրկին ու կրկին: Չքանում է և՛ ուրախությունը, և՛ անհամբերության դողը, և՛ աշխատանքը, և՛ նույնիսկ ստեղծագործելու ընթացքի դառնությունը: Չէ՞ որ դա այլևս խնդիր չէ: Հարցը տրվում է պատասխանի հետ միասին, իսկ աշակերտին անելիք չի մնում:

Ես այստեղ պետք է հստակ բացատրեմ, թե ինչին եմ դեմ: Ես դեմ չեմ բանաձևերը կամ հետաքրքիր փաստերը մտապահելուն: Սա հիանալի է համատեքստում, և, ինչպես լեզու սովորելիս բառերն անգիր սովորելը, թույլ կտա ձեզ ստեղծել ավելի խորը ուսումնասիրություններ` լի բազում նրբություններով: Բայց զուտ փաստը, որ  եռանկյունը զբաղեցնում է արտագծված ուղղանկյան կեսը, կարևոր չէ: Կարևորը այն ուղիղ գծով կտրելու գաղափարն է, և այն, թե ինչպես է դա ձեզ ոգեշնչում գտնել այլ հիանալի գաղափարներ և խնդիրներ լուծելիս հանգեցնում է ստեղծագործական պոռթկումների, այն, ինչ չի տա ուղղակի փաստերի իրազեկումը:

Հեռացնելով ստեղծագործական գործընթացը և թողնելով միայն այդ գործընթացի արդյունքը` դուք գրեթե երաշխավորում եք, որ իրականում ոչ ոք չի ուզենա զբաղվել այդ առարկայով: Դա նույնն է, որ ասեք` Միքելանջելոն ստեղծել է հիանալի քանդակներ՝ առանց երբևէ դրանք ցուցադրելու: Կարելի՞ է  դրանից ոգեշնչվել: (Իրականում ամեն ինչ շատ ավելի վատ է. երկրորդի դեպքում, համենայն դեպս, գոնե ես կիմանայի, որ արվեստի այս գործերը գոյություն ունեն, պարզապես դրանք ինձ ցույց չեն տալիս):

Երբ կենտրոնանում են ինչ-ի վրա, բայց անտեսում են ինչու-ն, մաթեմատիկայից մնում է դատարկ թաղանթ, առերևույթ մի բան: Արվեստը ոչ թե  ճշմարտության  մեջ է, այլ բացատրության, փաստարկի: Բացատրությունը ենթատեքստ է տալիս ճշմարտությանը, սահմանում է, թե իրականում ինչ է ասվում և ինչ է նշանակում: Մաթեմատիկան բացատրության արվեստ է: Եթե աշակերտներին հնարավորություն չընձեռեք զբաղվել բացատրությամբ՝ ձևակերպել իրենց սեփական խնդիրները, առաջադրել իրենց վարկածները, անել իրենց բացահայտումները, սխալներ թույլ տալ, ստեղծականորեն ձախողվել, ոգեշնչվել և ավելացնել իրենց սեփական, թեկուզ անշնորհք բացատրություններն ու ապացույցները, դուք նրանցից կխլեք մաթեմատիկան: Ես դեմ չեմ բանաձևերին և փաստերին: Ես բողոքում եմ մեր մաթեմատիկայի դասերին մաթեմատիկայի բացակայությունից:

Եթե ձեր նկարչության ուսուցիչը ասի, որ նկարչությունը շաբլոնի համարակալված դատարկ տարածքները ներկելն է, դուք անմիջապես կզգաք խարդախությունը: Մշակույթն ինքը ձեզ կասի դա. չէ որ կան թանգարաններ և պատկերասրահներ, և դուք զգում եք արվեստի շունչը նույնիսկ տանը: Հասարակությունը նկարչությունը լավ ընկալում է`  որպես մարդու ինքնարտահայտման միջոց: Նմանապես, եթե աստղագիտության ուսուցիչն ասի, որ աստղագիտությունը զբաղվում է ճակատագրի կանխատեսմամբ՝ ծննդյան ամսաթվով, միանգամից կհասկանաք, որ նա խելքը թռցրել է, քանի որ գիտությունն այնքան է ներթափանցել մշակույթ, որ գրեթե բոլորը գիտեն ատոմների, գալակտիկաների և բնության օրենքների մասին: Բայց եթե  մաթեմատիկայի ուսուցիչը ձեզ ասի, որ մաթեմատիկան բանաձևեր, սահմանումներ և հաշվարկման մեթոդներ են, որոնք դուք պետք է հիշեք, ո՞վ կամ ի՞նչը  ձեզ ճշմարտությունը կասի:

Այս մշակութային խնդիրը ինքն իրեն կերակրող հրեշ է. սովորողներն իմանում են մաթեմատիկայի մասին ուսուցիչներից, իսկ ուսուցիչները՝ իրենց ուսուցիչներից, և մեր մշակույթում մաթեմատիկան շարունակում է մնալ չհասկացված ու անընդունելի: Նույնիսկ ավելի վատ, այս կեղծ մաթեմատիկային անընդհատ օժանդակելը` շեշտը դնելով սիմվոլների հետ ճշգրիտ, բայց չմտածված գործողությունների վրա, ստեղծում է իր սեփական մշակույթը՝ սեփական արժեքներով: Դրա կողմնակիցները ահռելի ինքնագնահատական են ստանում իրենց հաջողություններից: Նրանք ամենաքիչն են ուզում լսել այն մասին, որ մաթեմատիկան առաջին հերթին մաքուր ստեղծականություն և գեղագիտություն է: Համալսարանների շատ շրջանավարտներ, որոնց տասը տարի շարունակ ասում էին, որ իրենք մաթեմատիկայի տաղանդ ունեն, սարսափում են այն գիտակցումից, որ իրենք իրական մաթեմատիկայի տաղանդ չունեն, և որ իրականում նրանց տաղանդը ցուցիչներին հետևելն է, և ոչ ավելին: Իսկ մաթեմատիկան ոչ թե ցուցիչներին հետևելն է, այլ դրանք կարգավորելը:

Ես դեռ չեմ խոսում դպրոցում մաթեմատիկական քննադատության բացակայության մասին: Դպրոցականները այդպես էլ չեն իմանում, որ մաթեմատիկան, ինչպես ցանկացած գրականություն, մարդիկ ստեղծում են զվարճանքի, մտքի խաղի համար, որ մաթեմատիկական աշխատությունները պետք է քննադատվեն, կամ որ մարդը պետք է մաթեմատիկական ճաշակ զարգացնի: Մաթեմատիկական եզրահանգումը պոեմի է նման, և մենք պետք է հարց տանք` արդյո՞ք այն բավարարում է մեր գեղագիտական չափանիշները. հիմնավո՞ր է դրա փաստարկը, կա՞ նրանում որևէ իմաստ, արդյո՞ք պարզ է և էլեգանտ, թույլ տալի՞ս է հասնել հարցի էությանը: Իհարկե, դպրոցում դուք չեք գտնի նման քննադատություն:

Ինչու՞ չենք ցանկանում, որ մեր երեխաները սովորեն մաթեմատիկա: Միգուցե նրանց չե՞նք վստահում կամ մտածում ենք, որ այն չափազանց դժվա՞ր է:  Համարում ենք, որ նրանք կարող են արտահայտել սեփական կարծիքը Նապոլեոնի մասին, բայց ոչ եռանկյունների՞: Կարծում եմ, որ  պատճառն այն է, որ մենք, որպես մշակույթ, չգիտենք, թե ինչ է մաթեմատիկան: Մեր ստացած տպավորությունն այն է, որ մաթեմատիկան ինչ-որ սառը և զուտ տեխնիկական բան է, որը, հավանաբար, ոչ ոք իրականում չի հասկանում. և ստացվում է ինչ-որ  մարգարեություն, որն ինքն իրեն իրականանում է, եթե դա ընդհանրապես հնարավոր է:

Դժբախտությունը կիսով չափ կլիներ, եթե մեր մշակույթը պարզապես մաթեմատիկորեն անկիրթ լիներ, բայց ցավալին այն է, որ մարդիկ կարծում են` իրենք գիտեն, թե ինչ է մաթեմատիկան, և հետևաբար բոլորովին սխալ տպավորություն ունեն, որ մաթեմատիկան ինչ-որ կերպ գործնականում օգտակար է հասարակությանը: Սա արդեն ցույց է տալիս մաթեմատիկայի և այլ արվեստների ընկալման հսկայական տարբերությունը. հասարակությունը մաթեմատիկան դիտում է որպես բնական գիտություն և տեխնիկական խնդիրների լուծման գործիք: Բոլորը գիտեն, որ երաժշտությունն ու պոեզիան անհրաժեշտ են հոգին ուրախացնելու և ոգին ազնվացնելու համար (այդ իսկ պատճառով դրանք դժվար թե առկա լինեն դպրոցական ծրագրում), բայց մաթեմատիկան՝ ոչ, մաթեմատիկան կարևոր է:

Սիմպլիցիո: Դու պնդում ես, որ մաթեմատիկան հասարակության մեջ գործնական կիրառություն չունի՞:

Սալվիատի: Իհարկե, ոչ: Պարզապես ուզում եմ ուշադրություն հրավիրել այն փաստի վրա, որ եթե ինչ-որ առարկա ունենում է գործնական արդյունքներ, չի նշանակում, որ այն նախատեսված է դրա համար: Երաժշտությունը բանակին մարտի է տանում, բայց մարդիկ դրա համար չեն ստեղծում սիմֆոնիաներ: Միքելանջելոն նկարազարդում էր առաստաղը, սակայն մտքում ավելի բարձր բան ուներ:

Սիմպլիցիո: Բայց չէ՞ որ պետք է մարդկանց սովորեցնել այս գործնական արդյունքները: Մեզ պետք չե՞ն հաշվապահներ, հյուսներ և այլն:

Սալվիատի: Շա՞տ մարդ է օգտագործում այդ «գործնական» մաթեմատիկան, որը սովորել է դպրոցում: Կարծում եք` հյուսնին պե՞տք է եռանկյունաչափություն: Քանի՞ մեծահասակ գիտեք, որ կարող է բաժանել կոտորակները կամ լուծել քառակուսային հավասարումներ: Ակնհայտ է, որ ներկայիս գործնական ուսուցումը չի գործում, և հասկանալի է, թե ինչու. այն անտանելի ձանձրալի է և գործնականում  ոչ ոքի պետք չէ: Եվ ինչու՞ են մարդիկ կարծում, որ դա կարևոր է: Ես չեմ տեսնում արդյունավետություն այն բանում, որ քաղաքացիներն իրենց գլխում պահում են հանրահաշվական բանաձևերի և երկրաչափական գծագրերի  աղոտ հիշողություններ, և պայծառ հիշողություններ, թե որքան զզվելի է այդ ամենը: Մյուս կողմից, շատ ավելի օգտակար կլիներ նրանց ցույց տալ գեղեցիկ ինչ-որ բան, հնարավորություն տալ դառնալու ստեղծական, մտքով ճկուն մտածողներ` առանց նախապաշարումների, ինչպիսին նրանց կստիպեր դառնալ իրական մաթեմատիական կրթությունը:

Սիմպլիցիո: Բայց ախր մարդիկ պետք է կարողանա՞ն  փող հաշվել:

Սալվիատի: Դրա համար կան հաշվիչներ, ինչու՞ չօգտագործել դրանք, շատ ավելի հեշտ ու ճշգրիտ են: Իմ հիմնավորումը ոչ միայն այն է, որ այսօրվա համակարգը շատ սարսափելի է, այլ այն, որ նրանում մենք կորցնում ենք իսկապես հիանալի ինչ-որ բան: Մաթեմատիկան պետք է դասավանդվի որպես արվեստ՝ հանուն արվեստի, և «երկրային» օգտակար ասպեկտները ինքնըստինքյան անմտորեն կհայտնվեն: Բեթհովենը կարող էր հեշտությամբ երգ գրել գովազդային հոլովակի համար, բայց նա երաժշտություն էր սովորել հրաշալի գործեր ստեղծելու համար:

Սիմպլիցիո: Ոչ բոլորն են նկարիչ ծնվում: Այդ դեպքում ինչպես վարվել այն երեխաների հետ, ովքեր պարզապես «մաթեմատիկոսներ» չեն: Ինչպե՞ս եք նրանց տեղավորում ձեր սխեմայի մեջ:

Սալվիատի: Եթե յուրաքանչյուր երեխայի մաթեմատիկան մատուցվեր իր բնական ձևի մեջ` իր հետ բերած դժվարին ուրախություններով և իմացումի հրճվանքով, կարծում եմ` ականատես կլինեինք մաթեմատիկայի նկատմամբ երեխաների վերաբերմունքի դրամատիկ փոփոխության, իսկ մեծահասակները` այն բանի, թե ինչ է նշանակում լինել  «մաթեմատիկայից ուժեղ»: Մենք այնքան շատ չկայացած շնորհալի մաթեմատիկների ենք կորցնում՝ ստեղծագործողների, օժտվածների, որոնք միանգամայն արդարացիորեն մերժում են իրենց կարծիքով անիմաստ առարկան: Նրանք պարզապես չափազանց խելացի են այդպիսի անհեթեթությունների վրա ժամանակ վատնելու համար:

Սիմպլիցիո: Իսկ չե՞ս կարծում, որ եթե մաթեմատիկայի դասերը  կազմակերպվեին նկարչության դասերի նման, շատ երեխաներ ընդհանրապես ոչինչ չէին սովորի:

Սալվիատի: Նրանք այսպես, թե այնպես ոչինչ չեն սովորում: Ավելի լավ կլիներ, եթե մաթեմատիկայի դասերը ընդհանրապես չլինեին, քան այսպիսին լինեին: Այն ժամանակ գոնե ինչ-որ մեկը կկարողանար իր համար բացահայտել նրա գեղեցկությունը:

Սիմպլիցիո:  Ուզում ես մաթեմատիկա առարկան հանե՞լ դպրոցական ծրագրից:

Սալվիատի:  Այն վաղուց են հանել: Հիմա հարցն այն է, թե ինչ կարելի է անել դրանից մնացած դատարկ չորացած կաշին: Իհարկե, կնախընտրեի այն փոխարինել մաթեմատիկական գաղափարների ուրախ, ակտիվ ծանոթությամբ:

Սիմպլիցիո: Ուսուցիչներից շատե՞րը գիտեն առարկան  այնքան, որ այդպես դասավանդեն:

Սալվիատի:   Քչերը, շատ քչերը: Եվ սա միայն այսբերգի գագաթն է…

Թարգմանություն ռուսերենից

Пол Локхард, «Плач математика»