Մաթեմատիկան դպրոցում

Հեղինակ: 

Երեխաների ոգևորությունը և առարկայի նկատմամբ նրանց հետաքրքրությունը սպանելու ավելի վստահելի եղանակ չկա, քան այն ներառելը դպրոցական ծրագրի պարտադիր մասում: Ներառեք այն միասնական պետական քննությունների ցանկում և հաստատապես  կտեսնեք, թե ինչպես է կրթական բյուրոկրատիան ծծում նրա կենսական բոլոր հյութերը: 

Կրթության վարչություններում չեն հասկանում, թե ինչ է մաթեմատիկան, ինչպես և դա չեն հասկանում ո՛չ դպրոցների տնօրենները, ո՛չ դասագրքերի հեղինակները, ո՛չ նրանց հրատարակիչները, և, ցավոք, ո՛չ էլ ուսուցիչները: Խնդիրն այնքան մեծ է, որ դժվարությամբ եմ հասկանում, թե որ ծայից սկսեմ շարադրելը: 
Սկսենք մաթեմատիկական կրթության բազմաթիվ բարեփոխումների տապալումից: Արդեն երկար տարիներ ավելի ու ավելի շատ ուշադրություն է դարձվում մաթեմատիկական կրթության համակարգում առկա անհամաձայնություններին: Հետազոտություններ են ֆինանսավորվում, անցկացվում են գիտաժողովներ,  ստեղծվում են ուսուցիչների, հեղինակների և դասագրքերի հրատարակիչների բազմաթիվ հանձնաժողովներ՝ «իրավիճակը շտկելու» համար: 

Բաց չթողնելով սեփական հրատարակչական օգուտի ոչ  մի կաթիլ (կրթական քաղաքականության ցանկացած տատանումներին նրանք արձագանքում են՝ առաջարկելով իրենց անընթեռնելի հրեշների նոր խմբագրված տարբերականեր), այս բոլոր բարեփոխիչները բաց են թողել գլխավորը՝ մաթեմատիկական ծրագիրը ոչ թե պետք է շտկել, այն պետք է դեն նետել: Այս ամբողջ շաղակրատությունն ու ցուցամոլականությունը այն մասին է, թե  «ծրագրի որ կետերը» և ինչ կարգով պետք է սովորեցնել, օգտագործել գրելու այս համակարգը մյուսի փոխարեն, ինչ մոդելի հաշվիչ է, ներիր ինձ Աստված, պետք դպրոցականին: Այս ամենը հիշեցնում է խորտակվող «Տիտանիկի» տախտակամածին աթոռները վերադասավորելուն: Մաթեմատիկան մտքի երաժշտություն է:
Զբաղվել մաթեմատիկայով, նշանակում է բացահայտումներ անել և կառուցել ենթադրություններ, ապրել ոգեշնչմամբ և ինտուիցիայով, նշանակում է լինել հուսահատության մեջ ոչ այն պատճառով, որ առարկան իմաստ չունի, այլ որ դու նրան իմաստ ես հաղորդել և դեռ չես հասկանում, թե ինչպես իրեն կպահի քո ստեղծագործությունը, նշանակում է զգալ և՛ գաղափարների աղբյուրի բխումը, և՛ նկարչի պարտությունը, և սարսափից անզգայանալ գրեթե ֆիզիկապես անտանելիից՝ ձեզ համակող  գեղեցկության զգացումից։ Այո՛, ուղղակի նշանակում է կենդանի լինել, սատանան տանի:Այս ամենը հանեք մաթեմատիկայից և կարող եք հավաքել այնքան խելացի գիտաժողովներ, որքան ցանկանում եք, և դա ոչինչ չի փոխի։ Գործեք, որքան ցանկանում եք, թանկագին բժիշկներ, հիվանդն արդեն մահացած է:
Այս բարեփոխումների ամենատխուր մասը «մաթեմատիկան հետաքրքիր» և «երեխաների կյանքում կարևոր» դարձնելու փորձերն են: 

Պետք չէ մաթեմատիկան հետաքրքիր դարձնել, նա արդեն ավելի հետաքրքիր է, քան կարող եք պատկերացնել: Եվ նրա հաղթանակը կյանքի համար անկարևորությունն է, այդ պատճառով էլ այդքան հետաքրքիր է: Մաթեմատիկան առօրյա գործերի համար օգտակար և կարևոր ներկայացնելու փորձերը միշտ լարված և խղճուկ են. «Տեսնո՞ւմ եք, երեխանե՛ր, որքան հեշտ է, երբ հանրահաշիվ գիտեք, ինչ հեշտ է հաշվել, թե  քանի տարեկան է Մարին, եթե  երկու տարով մեծ է, քան յոթ տարի առաջ իր տարիքի կրկնապատիկը»։ Կարծես կյանքում ինչ-որ մեկը կստանա այս խենթ տեղեկատվությունը իրական տարիքի փոխարեն: Հանրահաշիվը կյանքի գործիք չէ, դա համաչափության և թվերի արվեստ է, ուստի արժանի է ինքնին ընկալման:
Տրված են երկու թվերի գումարը և տարբերություն: Որո՞նք են այդ թվերը: Ահա մի պարզ, գեղեցիկ հարց, և այն գրավիչ դարձնելու համար  կաշվից դուրս գալու հարկ չկա: Հին Բաբելոնցիները սիրում էին լուծել նման խնդիրներ, և մեր սովորողները նույնպես սիրում են դրանք: (Հուսամ, ձեզ էլ դուր կգա): Պետք չէ տարբեր հնարքների դիմել՝ մաթեմատիկան առօրյա կյանքում կարևորելու համար: Նրա կարևորությունը, ինչպես և առհասարակ արվեստի կարևորությունը, մարդկային փորձի իմաստավորումն է:

Կամ, գուցե,  կարծում եք, որ երեխաները իրենց առօրյա գործունեության հետ կապված ինչ-որ բա՞ն են ուզում:Գուցե նրանք հիանում են գործնական ինչ-որ բանո՞վ, օրինակ՝ վարկի բարդ տոկոսադրույքով: Մարդկանց հիացնում է ֆանտազիան, և սա հենց այն է, ինչ մաթեմատիկան կարող է ապահովել՝ փախուստ առօրյայից, կախարդական բալասան գործնական հոգսերից: Մեկ այլ խնդիր է, երբ դասագրքերի հեղինակները սկսում են «սվսվացնել», որպեսզի մաթեմատիկան «ընկերական» դարձնեն և հաղթահարեն «մաթեմատիկայից վախը» (դպրոցի կողմից իրականում առաջացրած բազմաթիվ հիվանդություններից մեկը):  Որպեսզի սովորողները կարողանան հիշել շրջանագծի երկարության և շրջանի մակերեսի բանաձևերը, կարող եք մի ամբողջ պատմություն հորինել այն մասին, թե ինչպես է պարոն Ա-ն մեքենայով պտտվում տիկին  Ս-ի շուրջը և պատմում, թե որքան լավն էր նրա երկու պիստակով ռուլետը (L=2πR), բայց պիստակով ռուլետը քառակուսաձև էր (S=πR²), կամ ինչ-որ նման այլ անհեթեթություն: Բայց ինչ եղան կորերի չափման խնդրի,  Եվդոքսի, Արքիմեդեսի և անբաժանելիների մեթոդի, π թվի տրանսցենդենտ լինելու մասին իրական պատմությունները:  Ի՞նչն է ավելի հետաքրքիր. չափել օղակի մոտավոր չափը վադակների միջոցո՞վ, իսկ հետո հաշվարկել շրջանագծի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը, որը քեզ տրվել է առանց բացատրության, թե՞ լսել մարդկության պատմության մեջ ամենագեղեցիկ, հուզիչ խնդիրներից մեկի և ամենապայծառ, ամենահզոր գաղափարներից մեկի պատմությունը: Ի վերջո, երեխաների մոտ սպանում ենք հետաքրքրությունը շրջանների նկատմամբ:

Ինչո՞ւ թույլ չենք տալիս, որ սովորողները լսեն այս մասին, էլ չեմ ասում հնարավորություն չենք տալիս  ինքնուրույն զբաղվել մաթեմատիկայով, գալ սեփական գաղափարների և կարծիքների:  Ուրիշ ո՞ր առարկան է ուսումնասիրվում՝ առանց նույնիսկ հիշատակելու նրա պատմությունը, փիլիսոփայությունը, հիմքերը, գեղագիտական չափանիշները և ներկայիս իրավիճակը:  Ուրիշ ո՞ր առարկան է մի կողմ դնում սկբնաղբյուրները՝ պատմության ամենաստեղծարար ուղեղների կողմից արված արվեստի հրաշալի գործերը՝ հօգուտ անճաշակ երրորդ կարգի դասագրքերի: Դպրոցական մաթեմատիկայի  հիմնական դժվարություն այն է, որ խնդիրներ չունի:  Այո՛, գիտեմ, թե դասերին ինչ է առաջադրվում որպես խնդիր՝ այդ անճաշակ, ձանձրալի վարժությունները:  «Սա է խնդիրը: Ահա, թե ինչպես լուծել այն։ Այո՛, այդպիսին լինում են քննություններին, տնային առաջադրանքները՝ 1-15-ն են»: Մաթեմատիկա սովորելու ինչպիսի ձանձրալի  մեթոդ՝ դառնալ վարժեցված շիմպազե: Բայց խնդիրը՝ իրական, մինչև ողնուղեղը անկեղծ, մարդկային բնական հարցը, այլ բան է:  Որքա՞ն է խորանարդի անկյունագծի երկարությունը: Անվերջությունը թի՞վ է, թե՞ ոչ: Քանի՞ եղանակով կարելի է համաչափորեն սալիկապատել մակերևույթը: Մաթեմատիկայի պատմությունը այս հարցերի լուծման պատմությունն է, ոչ թե բանաձևերը ու ալգորիթմները անմտորեն ծամծմելը՝ դրանք օգտագործելու համար շինծու վարժություններով:

Լավ խնդիրն այն է, որի լուծումը չգիտենք:  Ահա թե որտեղ է առեղծվածը, ահա թե ինչն է տալիս իրական հնարավորություններ: Լավ խնդիրը միայնակ չի լինում, այլ ծառայում է որպես մեկնարկային այլ հետաքրքիր խնդիրների համար:  Եռանկյունին գրավում է արտագծված ուղղանկյան կեսը: Իսկ ի՞նչ կասեք խորանարդում ներդրված բուրգի մասինը: Կարելի՞ է այս խնդիրը նույն կերպ լուծել:

Ես ընդունում եմ  սովորողներին լուծման տեխնիկան սովորեցնելու գաղափարը, և ինքս էլ անում եմ: Բայց դա նպատակ չէ: Մաթեմատիկայում տեխնիկան, ինչպես ցանկացած արվեստում, պետք է ուսումնասիրվի համատեքստում: Հայտնի խնդիրներ, դրանց պատմությունը, ստեղծագործական գործընթացը. սա է համատեքստը: Սովորողներին տվեք լավ խնդիր, թող գլուխ կոտրեն, թող չկարողանան լուծել: Տեսեք, թե ինչ է նրանց մոտ ստացվում:  Սպասեք, մինչև այն պահը, երբ նրանք շատ կուզենան թարմ գաղափար ունենալ: Դրանից հետո սովորեցրեք նրանց որոշ տեխնիկա, միայն ոչ շատ:

Մի կողմ դրեք  դասերի պլանները և պրոյեկտորները, տհաճ գունագեղ դասագրքերը, սկավառակները և շրջիկ կրկեսի այլանդակությունների մնացած ամբողջ շքերթը և սովորողների հետ մաթեմատիկայով զբաղվեք: Նկարչության ուսուցիչները ժամանակ չեն կորցնում դասագրքեր կարդալու և տեխնիկան անգիր սովորելու վրա, նրանք պարզապես թույլ են տալիս երեխաներին նկարել: Իրենք անցնում են մոլբերտից մոլբերտ, տալիս հուշումներ և ուղղություններ:

-Մտածում էի եռանկյան խնդրի մասին և ինչ-որ բան նկատեցի: Նայեք, եթե եռանկյունը լրիվ թեքված է, ապա այն չի զբաղեցնում ուղղանկյան կեսը:

- Գերազանց դիտարկում: Եռանկյան մասին մեր դատողությունները ենթադրում էին, որ գագաթը գտնվում է հիմքի վերևում: Հիմա մեզ նոր գաղափար է պետք:

- Փորձե՞նք այլ կերպ հատել:

- Իհարկե, փորձեք ամենատարբեր հնարավոր գաղափարներ, հետո կասեք, թե ինչ է ստացվում:

Երեխաներին ինչպե՞ս մաթեմատիկա սովորեցնենք: Ընտրելով հետաքրքրաշարժ և բնական խնդիրներ՝ իրենց նախասիրություններին, հետաքրքրություններին և փորձին համապատասխան: Նրանց բացահայտումներ կատարելու  և  վարկածներ կառուցելու ժամանակ տալով: Օգնելով նրանց ապացույցներ կառուցելու և առողջ, կենսունակ մաթեմատիկական քննադատության մթնոլորտ ստեղծելով: Կռահելով, թե դեպի ուր է փոխվում նրանց հետաքրքրությունը: Մի խոսքով, սովորողների հետ անկեղծ և բաց մտավոր հարաբերություններ կառուցելով: 

Դա պահանջում է չափազանց մեծ պատասխանատվություն և չափազանց մեծ անկեղծություն, կարճ ասած՝  չափազանց շատ աշխատանք:

Շատ ավելի հեշտ է լինել պատրաստի դպրոցական «նյութերի» պասիվ փոխանցողը և հետևել հրահանգներին, ինչպես շամպույնի շշի վրա՝ «դասախոսություն, քննություն, կրկնել», քան խորը մտածել սեփական առարկայի մասին և անկեղծորեն, լավագույն կերպով այդ իմաստը փոխանցել սովորողներին:

Մեզ պարզապես համոզում են հրաժարվել սեփական մտքով և խղճով որոշումներ կայացնելու բարդ գործից և փոխարենը «անցնել ծրագրիը»:

Սա պարզապես նվազագույն դիմադրության ուղին է։

Ընտրել ճիշտ պատասխանը․

դասագրքերի հեղինակները ուսուցիչների հետ  հարաբերվում են այնպես, ինչպես՝

ա) դեղագործական ընկերությունները՝ բժիշկներին

բ) ձայնագրման ընկերությունները՝ սկավառակային ժոկեյներին

գ) կորպորացիաները՝ պատգամավորներին

դ) վերը նշված բոլորը։

Մաթեմատիկայի աշխատանքը, ինչպես նկարչությունն ու պոեզիան, քրտնաջան ստեղծագործական աշխատանք է:

Մաթեմատիկան դանդաղ հայեցողական գործընթաց է:

Արվեստի գործ ստեղծելու համար ժամանակ է պետք, իսկ այն հասկանալու համար՝ հմուտ ուսուցիչ: Իհարկե, ավելի հեշտ է փակցնել կանոնների ցուցակ, քան իր ետևից տանել ապագա նկարիչների, ինչպես հեշտ է հեռուստացույցն օգտագործելու ուղեցույց գրելը, քան սեփական տեսակետով գիրք:

Մաթեմատիկան արվեստ է, իսկ արվեստը պետք է դասավանդեն գործող վարպետները կամ գոնե արվեստը սիրող և այն ճանաչող ունակ մանկավարժները:  Պարտադիր չէ պրոֆեսիոնալ կոմպոզիտորի մոտ երաժշտություն սովորել, բայց ձեր երեխային կուղարկե՞ք սովորելու մեկի մոտ, ով ինքը նվագել չգիտի և իր ամբողջ կյանքի ընթացքում չի լսել որևէ երաժշտական ստեղծագործություն: Կընտրե՞ք նկարչության ուսուցիչ մեկին, ով երբեք մատիտ չի բռնել և երբեք չի եղել թանգարանում: Այդ դեպքում ինչպե՞ս ենք մաթեմատիկայի ուսուցիչ ընդունում մեկին, ով չի ստեղծել ոչ մի մաթեմատիկական աշխատանք, չգիտի առարկայի ոչ պատմությունը, ոչ առարկայի փիլիսոփայությունը, ոչ էլ մաթեմատիկայի վերջին նվաճումները, և, ի վերջո, ոչինչ այն մասին, թե ինչ պետք է նա դասավանդի իր դժբախտ սովորողներին: Նա ի՞նչ ուսուցիչ է: Ինչպե՞ս կարող են սովորեցնել այն, ինչը իրենք չգիտեն: Ես պարել չգիտեմ, բայց իմ մտքով երբեք չի էլ անցնի, որ ես կարող եմ պարի դաս տալ (չնայած կարող էի փորձել, բայց դա սարսափելի կլիներ): Տարբերությունն այն է, որ ես գիտեմ, որ չեմ կարող պարել: Ոչ ոք ինձ չի ասի,  որ ես լավ եմ պարում, նույնիսկ եթե ես գիտեմ շատ պարային տերմիններ:

Նույնիսկ չեմ փորձում ասել, որ մաթեմատիկայի ուսուցիչները պետք է լինեն պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսներ։ Ոչ, ես այդպես չեմ էլ մտածում:Բայց մի՞թե նրանք գոնե չպետք է հասկանան, թե ինչ է մաթեմատիկան, իմանան և սիրեն այն:

Եթե ուսումը վերածվում է  տեղեկատվության պարզ փոխանցման, եթե չկա սովորողի հետ կիսելու հիացմունք և հրաշք, եթե ուսուցիչները տեղեկատվության պասիվ ստացողներ են, և ոչ թե նոր գաղափարներ ստեղծող, ապա մեր սովորողները ունե՞ն հույս: Եթե ուսուցչի համար կոտորակներ գումարելը պատահական կանոնների շարք է և  ոչ թե ստեղծագործության կամ գեղագիտական տեսանկյունից հիմնավորված ընտրության արդյունք, ապա խեղճ սովորողները դատապարտված են:

Դասավանդումը   տեղեկատվություն հաղորդելը չէ: Դասավանդումը սովորողների հետ անկեղծ, մտավոր հարաբերություններն են: Սա չի պահանջում ոչ մեթոդներ, ոչ ձեռնարկներ, ոչ էլ հատուկ  ուսուցում: Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ինքդ քեզ չկեղծես: Եթե  չես կարող չկեղծել, ապա իրավունք չունես քեզ փաթաթել անմեղ երեխաների վզին: Մասնավորապես դուք չեք կարող դասավանդել սովորեցնել: Մանկավարժական դպրոցները լրիվ քարացել են:

Կարող եք դասընթացներ լսել վաղ մանկության զարգացման և այլ բաների մասին, սովորել «գրատախտակն արդյունավետ օգտագործել», պատրաստել կազմակերպված «դասի պլան» (որն, ի դեպ, ապահովում է ձեր դասի պլանավորումը, հետևաբար՝ կեղծ լինելը), բայց դուք երբեք ուսուցիչ չեք դառնա, եթե հակված չեք իսկական մարդ լինելու:

Դասավանդումը անկեղծություն և ազնվություն է, գիտելիքի ուրախությունը կիսելու ցանկություն, սովորելու սեր: Առանց սրա աշխարհում դասավանդման բոլոր դիպլոմները չեն օգնի ձեզ և բոլորովին անօգուտ են:

Այնքան պարզ է: Սովորողները այլմոլորակայիններ չեն: Նրանք հասկանում են գեղեցիկը, տեսնում են պատկերները, նրանք, բնույթով հետաքրքրասեր են, ինչպես մեզանից ցանկացածը: Ուղղակի պատմեք նրանց։ Եվ ավելի կարևոր է՝ լսեք նրանց:

Պարզաբանություն: Դե լավ, ինձ համար պարզ է, որ մաթեմատիկայում կա արվեստի տարր, և որ մենք կարող ենք դա ավելի լավ բացատրել: Բայց սա երևի չափազանց խելացի բան է դպրոցից ակնկալելու համար: Մենք այնտեղ փիլիսոփաներ չենք պատրաստում։ Մեզ անհրաժեշտ է, որ նրանք թվաբանությունն իմանան այն աստիճանի, որ նորմալ ներառվեն հասարակությանում:

Սալվիատի: Այդպես չէ: Դպրոցական մաթեմատիկան շատ բաներ է ընդգրկում, որոնք կապված չեն հասարակության մեջ ներառվելու ունակության հետ, օրինակ՝ հանրահաշիվը և եռանկյունաչափությունը:

Այս առարկաները բացարձակապես անօգուտ են առօրյա գործունեության համար: Պարզապես առաջարկում եմ. եթե դրանք ներառում ենք միջնակարգ կրթության ծրագրում, եկեք անենք օրգանական և բնական ճանապարհով: Բացի դա, ինչպես արդեն ասացի, փաստը, որ կարող եք գործնական օգուտ ստանալ առարկայից, դեռ չի նշանակում, որ ուսուցումը պետք է կենտրոնացած լինի այդ օգուտի վրա:

Մենք նրանց կարդալ սովորեցնում ենք ավելի բարձր նպատակների համար՝ նրանց հնարավորություն ընձեռելու գեղեցիկ և բովանդակալից գաղափարների հետ շփվելու:

Ոչ միայն անօգուտ կլիներ երրորդ դասարանցիներին գրել սովորեցնել հարկային հայտարարագրի ձևերը լրացնելու միջոցով, դա չի էլ աշխատի: Մենք սովորում ենք, քանի որ մեզ հետաքրքրում է այն, ինչ մենք սովորում ենք այստեղ և հիմա, ոչ թե այն պատճառով, որ այն օգտակար կլինի ապագայում: Իսկ դա հենց այն է, ինչ մենք անում ենք մաթեմատիկայի դեպքում:

Պարզաբանություն: Բայց չէ՞ որ երրորդ դասարանցիները պետք է թվաբանություն իմանան:

Սալվիատի: Ինչո՞ւ:  Ցանկանում  եք նրանց սովորեցնել  427-ի և 389-ի գումարո՞ւմը: Սա ութ տարեկան երեխաների հարցերից չէ: Ոչ բոլոր մեծահասակներն են լիովին հասկանում տասական դիրքային թվաբանությունը, իսկ դուք ցանկանում եք, որ երրորդ դասարանցինե՞րը ունենան ամբողջական պատկերացում: Թե՞ ձեզ համար միևնույն է, նրանք կհասկանան, թե՝ ոչ: Բավականին վաղ է այսպիսի մեխանիկական ուսուցման համար: Իհարկե, նրանց կարող ենք վարժեցնել, բայց կարծում եմ, որ վնասը ավելի շատ կլինի, քան՝ օգուտը: Ավելի լավ է սպասելը, մինչև նրանց մոտ բնական հետաքրքրություն կառաջանա թվերի նկատմամբ:

Պարզաբանություն: Այդ դեպքում  երեխաները ինչո՞վ պետք է զբաղվեն մաթեմատիկայի դասերին:

Սալվիատի: Թող խաղան։ Սովորեցրեք նրանց շախմատ և գո, վեցանկյուն և նարդի, ճյուղավորումներ և նիմ խաղալ, խաղեր հորինեք: Հանելուկներ գուշակեք: Ստեղծեք իրավիճակներ, որոնք պահանջում են դեդուկտիվ մտածողություն: Մի մտածեք թվագրման և տեխնիկայի ձևականությունների մասին, այլ խրախուսեք նրանց ակտիվ և ստեղծագործ մաթեմատիկական մտածողությունը:

Պարզաբանություն: Կարծես թե սրանով շատ մեծ ռիսկի ենք դիմում: Դպրոցականներին թվաբանություն չսովորեցնենք․ չէ՞ որ նրանք ի վիճակի չեն լինի գումարել և հանել:

Սալվիատի: Կարծում եմ, որ շատ ավելի մեծ վտանգ է ունենալ դպրոց, որը զուրկ է ստեղծականությունից, որտեղ սովորողի գործառույթներն են տվյալները, բանաձևերը և բառերի ցանկը անգիր անելը, այնուհետև ստանդարտ քննությունների ժամանակ դրանք արտաբերելը՝ պատրաստվելով դառնալ «պայծառ ապագայի կերտողներ»:

Պարզաբանություն: Բայց պետք է լինեն մաթեմատիկական որոշ փաստեր, որոնք ցանկացած կրթված մարդ պետք է իմանա:

Սալվիատի: Այո՛, և այս փաստերից ամենակարևորն այն է, որ մարդիկ զբաղվում են մաթեմատիկայով իրնց հաճույքի համար: Համաձայն եմ, որ լավ է թվերի և երկրաչափական ձևերի մասին մի քանի հիմնական փաստեր իմանալը: Բայց դա չի գալիս սերտելով, կրկնելով, դասախոսություններով և վարժություններով: Դու, իհարկե, կարող ես դրանք անգիր սովորել: Հանդիպում ենք միլիոնավոր մեծահասակների, որ կրկնում են «մինուս b գումարած կամ հանած արմատ b  քառակուսի հանած 4ac բաժանած 2a-ի», և այս ամենը՝ առանց չնչին գաղափար ունենալու, թե դա ինչ է նշանակում: Եվ պատճառն այն է, որ նրանց երբեք ինքնուրույն ինչ-որ բան հայտնաբերելու կամ հորինելու հնարավորություն չի տրվել: Նրանք երբեք հետաքրքրաշարժ խնդիր չեն լուծել, չեն չարչարվել դրա համար, չեն փնտրել լուծման եղանակ:

Ոչ ոք նրանց չի պատմել մարդու և թվերի միջև հարաբերությունների պատմության մասին՝ ոչ բաբելոնյան տախտակների վրա գրված խնդիրների, ո՛չ Ախմեսի պապիրուսի, ո՛չ Liber abaci-ի, ո՛չ Ars magma-ի: Եվ, որ ամենակարևորն է, նրանք հարց տալու հնարավորություն չեն ունեցել, քանի որ նրանց բոլոր հարցերին  պատասխանել են ավելի շուտ, քան նրանք կարող էին տալ:

Պարզաբանություն: Բայց  մենք այդքան ժամանակ չունենք, որպեսզի յուրաքանչյուր սովորող իր  համար  մաթեմատիկա հնարի: Դարեր է պահանջվել մարդկությունից Պյութագորասի թեորեմը հայտնագործելու համար։ Ցանկանում ես, որ սովորական դպրոցականն ի՞նքը այն բացահայտի:

Սալվիատի: Ես դա չեմ ցանկանում: Պարզ ասեմ, ափսոսում եմ, որ մաթեմատիկայի ծրագրում իսպառ բացակայում են արվեստը և հայտնագործությունը, պատմությունը և փիլիսոփայությունը, համատեքստը և հեռանկարը:

Չեմ ուզում ասել, որ նշագրումը, տեխնիկան և գիտելիքների  կուտակումն ավելորդ են: Պետք են, իհարկե: Պետք է ունենանք և՛ այս, և՛ այն: Եթե ես դեմ եմ, որ ճոճանակը մի կողմի վրա չափազանց շատ է շեղվել, չի նշանակում, որ ես կողմ եմ, ճոճանակի՝ մյուս կաղմի վրա մինչև վերջ շեղվելուն: Մարդիկ իրականում ավելի լավ են սովորում, երբ արդյունքը գալիս է գործընթացից: Պոեզիայի հանդեպ իրական սերը  գալիս է ոչ թե հարյուրավոր բանաստեղծություններ անգիր սովորելուց, այլ սեփական բանաստեղծություն գրելուց:

Պարզաբանություն: Այո՛, բայց մինչև բանաստեղծություն գրելը պետք է այբուբենը սովորել: Ամեն ինչ պետք է ինչ-որ տեղից սկսել: Սկզբում  սովորում ենք քայլել, հետո՝ վազել:

Սալվիատի: Ո՛չ,  սկզբում պետք է իմանաս, թե ուր պետք է վազել: Երեխաները սովորում են գրել բանաստեղծություններ և պատմություններ և միաժամանակ՝  գրել և կարդալ: Վեց տարեկան երեխայի պատմությունը հրաշալի է, և ուղղագրական և ոճական սխալները չեն նսեմացնում այդ հրաշքը: Նույնիսկ ամենափոքր երեխաներն են երգեր ստեղծում, չնայած նրանք չգիտեն, թե ինչ չափի և ինչ տոնայնության մեջ:

Պարզաբանություն: Բայց արդյո՞ք մաթեմատիկան չի տարբերվում երաժշտությունից: Մի՞թե մաթեմատիկան խորհրդանիշների համակարգ, ինքնին լեզու չէ, որը պետք է սովորել՝ դրանով  խոսելուց առաջ:

Սալվիատի: Ո՛չ, դա բացարձակապես այդպես չէ: Մաթեմատիկան լեզու չէ, այլ՝ արկած: Մի՞թե երաժիշտները «այլ լեզվով են խոսում»՝ իրենց գաղափարները կրճատելով մինչև փոքր սև նոտաներ: Նույնիսկ եթե այդպես լիներ, միևնույն է, դա չէր խանգարի փոքրին ու նրա երգին: Այո՛, մաթեմատիկական գրառման որոշակի  համակարգ ձևավորվել է դարերի ընթացքում, բայց դա ինքնին կարևոր չէ: Մաթեմատիկայով հաճախ ընկերների հետ զբաղվում են անձեռոցիկների վրա՝ մի բաժակ սուրճի շուրջ: Մաթեմատիկան գաղափարներ է, և գաղափարները գերազանցում են այն խորհրդանիշները, որոնցով նրանք գրվում են: Գաուսը մի առիթով ասել է. «Մեզ գաղափարներ են պետք, ոչ թե իդիոմներ»:

Պարզաբանություն: Բայց մի՞թե ճիշտ չէ ասելը, որ մաթեմատիկական կրթության  նպատակներից մեկը դպրոցականներին տրամաբանորեն ճիշտ մտածել սովորեցնելն է, «մաթեմատիկական մտածողության հմտություններ» զարգացնելը, ինչպես ասում են ծրագրում: Բանաձևերն ու կանոննե՞րը չեն հղկում սովորողների միտքը:

Սալվիատի: Ո՛չ,  չեն «հղկում»: Եթե ուզում ես իմանալ՝ համակարգը ճիշտ հակառակ ազդեցությունն է տալիս, այն բթացնում է: Մտքի սրությունը պայմանավորված է խնդիրներ լուծելով, այլ ոչ թե անգիր անելով, թե ինչպես դա անել:

Պարզաբանություն: Լավ, համաձայն եմ: Բայց ի՞նչ կարելի է ասել այն սովորողների մասին, ովքեր գնում են գիտության և ճարտարագիտության ուղղությամբ: Արդյո՞ք նրանց պետք չէ ստանդարտ ուսումնական ծրագիրը: Արդյո՞ք սա չէ պատճառը, որ դպրոցում մաթեմատիկա ենք դասավանդում:

Սալվիատի: Գրականության դասերից հետո շա՞տ սովորող է գրող դառնալու: Գրականությունը դրա համար չենք դասավանդում: Սովորեցնում ենք կրթելու համար, ոչ թե մասնագիտական կրթություն տալու: Ի վերջո, ինչպես գիտնականի, այնպես էլ ճարտարագետի ամենակարևոր հմտությունը ստեղծագործ և ինքնուրույն մտածելու կարողությունն է: Ո՞ւմ է պետք այս վարժեցւմը:

 

Թարգմանիչ: 
  • Deutsch
  • 日本語
  • Հայերեն
  • English
  • Georgian
  • Русский