Մանկական անհաջողությունների պատճառները

Սկիզբը
Նախորդ հատվա

1961, մարտի  5

Որոշ մարդիկ կարդալ չիմացող երեխաների մասին ասում են. «Այս երեխաները չեն կարդում կամ չեն կարողանում կարդալ, որովհետև իրենց ուղեղը սխալ են օգտագործում»: Ուրիշներն առարկում են. «Ոչ, որովհետև նրանց ուղեղն այն չէ»: Հիմնավորումները նույնքան սխալ են, որքան և անօգուտ` խոսակցություն խոսակցության համար. նման տարբերություն մեր ուղեղներում և դրանց օգտագործման մեջ չկա: Մարդկային ուղեղը մեքենա չէ, որպեսզի մեր մեջ ինչ-որ մեկը կամ ինչ-որ բան այն օգտագործի ավելի կամ պակաս հաջողությամբ: Ուղեղը կա, աշխատում է՝ վատ կամ լավ, բայց գործնականում միանման բոլոր դեպքերում:

Մեզ պատմում են, որ հնդկական կրոնավորները կարող են տարիներով կանգնել ձեռքը բարձրացրած կամ ձեռքը կամ ոտքը ինչ-որ անբնական վիճակում պահած: Որոշ ժամանակ հետո այդ անդամը բթանում է: Ինչ իմաստ ունի վիճելը, թե ինչն է պատճառը՝ նրա կազմությո՞ւնը, թե՞ կիրառությունը: Պարզ է, որ ձեռքը կամ ոտքը որոշակի ձևով են օգտագործվում, հենց դա էլ նրանց ձեռք կամ ոտք է դարձնում, այլ ոչ ուրիշ բան: Հնարավոր է, որ դա նաև ուղեղին է վերաբերում, և այն, թե ինչպես ենք օգտագործում, որոշում են նրա հնարավորությունները:  Եթե ուղեղը երկար ժամանակ վատ է օգտագործվում, նրա պոտենցիալ հնարավորությունները փոքրանում են: Ուղեղի ակտիվ կիրառումը ընդարձակում է նրա պոտենցիալ հնարավորությունները:

Հետևաբար, պետք է մեծ զգուշությամբ վերաբերվել արտահայտություններին`քանի որ ուսման դժվարությունները ուղեղի վատ աշխատանքով են պայմանավորված, դրանք վերացնելը հնարավոր չէ: Ուղեղը՝ որպես մարդկային մարմնի օրգան, ավելի մեծ ճկունություն և վերարտադրելու կարողություն ունի, քան պատկերացնում ենք: Ինչը չի կարելի անել մի ճանապարհով, հնարավոր է, որ արվի ուրիշով: Եվ հակառակը՝ մեզ պետք է հաշիվ տանք, որ երեխայի ուղեղը բավարար չափով չծանրաբեռնելով, առաջացնում ենք նրա հնարավորությունների փոքրացում:

III գլուխ. լուրջ ուսուցում

1958, ապրիլի 20

Գրառումներ մաթեմատիկայի մեթոդական հանձնաժողովի համար

Մենք երեխաներից պահանջում ենք, որ մտածեն իրենց արածի իմաստի մասին: Ասում ենք, որ սա ճիշտ պատասխանը ստանալու հաստատ ճանապարհն է: Սակայն սա կարող է հանգեցնել տարրական մաթեմատիկային այնքան բնորոշ պարադոքսներից կամ հակասություններից մեկին։ Նման դեպքերում «Դե լավ, կանեմ այնպես, ինչպես պահանջում են, իմ հոգսը չէ:» ստերեոտիպով շարժվող աշակերտը հինալի կերպով կատարում է առաջադրանքը, մինչդեռ մյուս աշակերտը, ով ընդունում է ուսուցչի պահանջը տառացիորեն և փորձում է կշռադատել իր յուրաքանչյուր գործողությունը, ինքը խճճվում է և խճճում է ուսուցչին` զարմանալու աստիճանի:  

Հինգերորդ դասարաններից մեկում աշակերտներին առաջարկվել էր մտածել, թե ինչպես ամբողջը բաժանենք կոտորակի: Ուսուցիչն ասաց. «Փորձեք ինքնուրույն 6-ը բաժանել ½-ի»: Աշակերտները հստակ յուրացրել էին այն, ինչն իրենց առաջ սովորեցրել էին, որ «8-ը 4-ի բաժանելը» պետք է մեկնաբանել կա՛մ «Քանի՞ անգամ է չորսը պարունակվում 8-ի մեջ», կա՛մ «Եթե 8-ը բաժանենք 4 հավասար մասի, որքան կպարունակի յուրաքանչյուր մասը»:    Դասարանի մեծ մասը գնաց առաջին ճանապարհով. «Քանի՞ անգամ ½-ը կպարունակվի 6-ի մեջ», և հանգեց ճիշտ պատասխանի՝ 12: Բայց աղջիկներից երկուսը, որ մի քանի օր առաջ փայլուն յուրացրել էր կոտորակով բազմապատկումը, որոշեց այլ ճանապարհով գնալ. «Եթե 6-ը բաժանեք կեսի, որքա՞ն կլինի յուրաքանչյուր մասը». «Բնականաբար՝ 3»: Աղջիկների տրամաբնությունը անթերի էր, իմը` անպիտան, և հանգեցրեց անախորժությունների: Ես նրանց չասացի, որ երկրորդ մեկնաբանությունը այստեղ տեղին չէ, դեռ ավելին՝ կոտորակների դեպքում անիմաստ է: Չասացի, որովհետև ինքս էլ չէի հասկանում: Քանի որ ես նրանց պատմել էի կանոնը, նրանք եզրակացրել էին, որ դա պետք է իմաստ ունենա, և փաստորեն այն ձևափոխել էին այնպես, որ իմաստ ունենար: 6-ը ½-ի բաժանելը կնշանակեր միայն 6-ը կիսել:

Նրանց չհասկանալը պայմանավորված էր իմ ոչ ճիշտ սահմանումով: Ինչպես մարդկանց մեծ մասի մոտ, «բաժանել» բառի իմ կիրառությունը հակասում է նրա մաթեմատիկական իմաստին: Ասում ենք. «Կարկանդակը բաժանիր չորս մասի», հասկանալով, որ կարկանդակը պետք է կտրտել երկու փոխուղղահայաց գծերով, որոնք հատվում են կարկանդակի կենտրոնում, ասում ենք. «Հատվածը կիսիր», նկատի ունենալով, որ պետք է գտնել այդ հատվածի միջնակետը. կարճ ասած, մենք ասում ենք կեսերի բաժանել, երբ ճիշտ կլիներ առաջարկել բաժանել 2-ի: Այդ պատճառով էլ այդ աղջիկների համար լրիվ բնական էր որոշելը, որ 6-ը ½-ի վրա բաժանելու, այսինքն՝ կիսելու, արդյունքը 3 է լինում:

Տղաներից մեկը, ինքն էլ չուզենալով, ավելի մեծ խառնաշփոթ առաջացրեց: Դասի սկզբում նա գրատախտակի մոտ շատ հասկանալի բացատրեց, որ խնդրի իմաստը պարզելն է թե ինչքան ½ է պարունակվում 6-ի մեջ. պատասխան՝ 12: Եվ անմիջապես մի սխալ արեց, որը կանեին և շատ մեծահասակներ: «Տասներկու ի՞նչ»,- հարցրեց նա և պատասխանեց. «Տասներկու կես»,- և գրատախտակին համապատասխանաբար գրեց 12/2: Նա անմիջապես նկատեց իր սխալը, ուղղեց, բայց արդեն ուշ էր. ընդդիմությունը իր առաջնորդին գրատախտակի մոտ ուղարկեց, և նա, օգտվելով բաժանման այլ մեկնաբանությունից, ապացուցեց, որ 6:1/2=12/2, այսինքն 6: Քանի որ սա անհեթեթություն էր, բոլոր կողմերը իրենց կարծիքին մնացին:

Քննարկման մեջ ուրիշ աշակերտներ ընդգրկվեցին, որպեսզի աղջիկներին ապացուցեն, որ նրանք ճիշտ չեն, բայց ոչինչ չստացվեց: Որպեսզի մոլորված մարդկանց անտառից դուրս հանես, պետք է հասնես նրանց: Բայց ոչ ոք չկարողացավ հասկանալ, թե աղջիկներն ինչպես էին այդպիսի արդյունք ստանում, և ոչ ոք չկարողացավ նրանց օգնել: Յուրաքանչյուրն անընդհատ իրենն էր կրկնում: Վերջապես մեկը գլխի ընկավ, որ աղջիկներին խնդրի՝  գրատախտակի վրա հաշվեն 6x1/2-ը։ Նա գրեց 6x1/2= 3: Լավ, կնշանակի՝ 6-ը և՛ 1/2–ով բազմապատկելիս, և ½-ի բաժանելիս նույն արդյո՞ւնքն է ստացվում: Այստեղ աղջիկն ասաց. «Մեզ խաբել են»: Հետաքրքիր է, թե որքան հաճախ են երեխաները խաբված զգում մեր՝ ուսուցիչներիս կողմից:

Մյուս աղջիկը շշնջաց ընկերուհուն. «Անհարմար վիճակի մեջ ընկանք», հետո կմկմաց, որ կոտորակի վրա բաժանելը և բազմապատկելը, հավանաբար, նույնն են: Նա չէր հասկանում, որ երկու անգամ էլ կոտորակով բազմապատկում է: Չդիմանալով ընդհանուր ճնշմանը՝ նա ընկերուհուն ասաց. «Դե, լավ, չվիճենք: 6-ի կեսը 12 է: Չգիտեմ, թե ինչու, բայց 12 է»:

Այս բառերը պարզորոշ բացահայտում են երեխաների վերաբերմունքը այն ամենի նկատմամբ, ինչ տեղի է ունենում դպրոցում: Ինչքա՞ն բան կա, որ սովորեցնում եմ, և աշակերտների կողմից այս ձևով է ընկալվում: Երեխային կարող էր թվալ, որ իմ բառերը հակասում են առողջ դատողությանը, անգլերեն բառերի իմաստին և նույնիսկ այն բանին, ինչ ինքս որոշ ժամանակ առաջ ասել էի, բայց նա պետք է ենթարկվեր ուսուցչի հեղինակությանը, և նրա խոսքը ընդուներ անկախ նրանից՝ դրանցում իմաստ կա, թե ոչ: 

Ի վերջո, աղջիկներին օգնեցի հասկանալու իրենց սխալը և ազնվորեն խոստովանեցի, որ պատճառը իմ սեփական բառերն են եղել: Բայց հետո մի քանի շաբաթ մտածեցի դասարանում իմ բացատրությունների հնարավոր հակասությունների մասին և դրանց նկատմամբ զգայունություն ձեռք բերեցի:  Այս դեպքն ինձ ցույց տվեց, որ ուսուցիչներս, պետք է սկսենք մեր գաղափարները և մեթոդիկաները դիտարկել նրա աչքերով, որ ոչինչ չգիտե, ում ամեն ինչ պետք է ապացուցել, և ով չի հանդուրժում անհետևողականություն և պարադոքսներ: Մենք պետք է ազատվենք դասարանում ոչ միարժեքությունից, անճշտությունից և հակասություններից: «Տարրական» մաթեմատիակայում հստակություն և հետևողականություն ներմուծելու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկոսների առջև կանգնած հիմնական խնդիրներից է, և հեշտ խնդիր չէ:

1958, հուլիսի 28

Մի անգամ, մի քանի տարի առաջ, ընկերներիցս մեկը հարցրեց ինձ. «Երբևէ տեսե՞լ ես սիլիկոնե ծեփամածիկ»,- և, լսելով իմ բացասական պատասխանը, մի գունդ մեկնեց ինձ: Ես տրորեցի, տափակեցրի, ձգեցի դարձրի երկար բարակ պարան, կտրտեցի փոքրիկ կտորների:  «Հիմա գնդիկ սարքիր և գցիր գետին»,- առաջարակեց ինձ: Այդպես էլ արեցի: Աչքերս, ուղեղս, յուրաքանչյուր ոսկորս գիտեին, թե ինչ պետք է լիներ. ծեփամածիկը պետք է տափակեր հատակին և կպած մնար: Երբ գունդը գցեցի հատակին, հայացքս, լրիվ բնազդորեն, ետեևից ուղղվեց ներքև, բայց գնդիկը հայտնվեց գրեթե աչքերիս մակարդակին. այն վեր էր թռել: Վայրկայնի մի սարսափելի (փոքր) մասի ընթացքում տիեզերքը շուրջս տատանվեց: Ես վայրի սարսափի եզրին էի: Բայց իսկույն ինչ-որ բան միացավ գլխումս, ներքին մի ձայն ասաց. «Ահ, թռչկոտում է. մարդիկ ինչ ասես չեն հորինի»,- և աշխարհում նորից կարգը և բանականությունը տիրեցին:  

Դա ինձ հիշեցրեց մի փոքրիկ աղջկա մասին՝ առաջի՞ն, թե՞ երկրորդ դասարանցի, որը լաց էր եղել, երբ դասարանում ուսուցիչը ցույց էր տվել, թե ինչպես է գրվում «մի անգամ» բառը: Ուսուցիչը վստահ էր, որ աղջիկը լաց է լինում, որովհետև բառը դժվար է: Բայց բացառված չէ, որ նա լաց լիներ այն պատճառով, որ փշրվել էր իր պատկերացումը այն մասին, թե ինչպես պետք է բառերը գրվեն: Միգուցե նրա համար ավելի հեշտ լիներ, եթե ուսուցիչը հնարավոր համարեր, որ բառերը գրելու կանոնները անհասանելի են նորմալ ուղեղի համար: Հավանաբար, երեխաներին դպրոցից վանում է ոչ միայն այն, որ ուսուցչի բառերը նրանց անհեթեթ են թվում, այլ ավելի շուտ ուսուցչի՝ անմիտ բաները նորմալների հետ մի շարքում մատուցելու սովորությունը, և երեխան սկսում է զգալ, որ եթե ինքը ինչ որ բան չի հասկացել, իր մեղքն է, ինչպես և մտածված էր: 

Այն, ինչը մեզ թվում է հասարակ, բնական և ակնհայտ, երեխայի համար ամենևին էլ այդպիսին չէ: Օրինակ, վերցնենք 10 թիվը: Մենք այնպես ենք վարժվել դրան, որ չենք պատկերացնում, թե 1-ը և 0-ն առանձին-առանձին ճանաչող մեկն ինչ զարմանք կարող է ապրել, երբ նրան ասեն, որ այդ երկու թվանշանները միասին ավելի մեծ թիվ են նշանակում: Երեխաներին այդ թվի հետ ծանոթացնելիս պետք է հասկացնենք, որ այստեղ պայմանականություն կա, որպեսզի նրանք չշվարեն այդ գաղտնիքի առաջ: Հակառակ դեպքում շոկի մեջ կընկնեն, որը երբեք չի ջնջվի նրանց հիշողությունից:

Բայց կարդալը ինքուրույն սովորած երեխաները հիստերիկայի մեջ չեն ընկնում «մի անգամ» բառի տեսքից, կամ ցանկացած այլ բառի, որը այնպես չի գրվում, ինչպես լսվում է: Երեխաները, որոնք ինքնուրույն են սովորել այն, ինչը իրենց հետաքրքիր է, չեն շփոթվում ինչ-որ տարօրինակ կամ անսովոր բանից: Նրանք կարող են մտածել և երևակայել այն թեմայով, որ չեն հասկանում, բայց չհասկանալու փաստը նրանց ամենևին չի անհանգստացնի: Անհանգստությունն առաջանում է այն ժամանակ, երբ մեծերն սկսում են հսկել նրանց ուսումը ու փաթաթում են իրենց պատկերացումները, և երեխաները սկսում են հուզվել չհասկանալուց, որպես մեծերի կողմից տհաճությունների պոտենցիալ աղբյուրի:

Ճիշտ նույն ձևով երեխային չի հուզի և վախեցնի 10 թվի խնդիրը, եթե նրան հնարավորություն տրվի դրա հետ ծանոթանալու ինչպես ուրիշ երեխայի հետ, այսինքն՝ թույլ տրվի նրա հետ գործ ունենալ և մտածել այն ժամանակ, երբ ինքը ցանկանա: Հենց որ վարժվի 10-ին, այդ թիվը արդեն նրան տարօրինակ չի թվա, և ինքն էլ կզարմանա, թե այդտեղ ինչ զարմանալի բան կար:

Մանուկ հասակում ինձ ոչ մեկը չի «բացատրել» 10-ը, կամ հիմքի ֆունկցիան, կամ նրա դերը համրանքի մեր համակարգում: Ես սովորել եմ հին կարգով դպրոցում, որտեղ սահմանափակվում էին նրանով, որ ցույց էին տալիս, թե ինչպես պետք է խնդիրը լուծել, առանց բարեհաճելու բացատրել, թե ինչու պետք է այդպես անել, այլ ոչ ուրիշ կերպ, և որն է դրա իմաստը:  Հավանաբար, առանց հասկանալու կրկնօրինակելուն չհակված երեխաների համար այդ դպրոցում սովորելը դժվար է եղել: Բայց իմ դեպքում ամեն ինչ կարգին էր, ես հանգիստ անում էի այն, ինչ ինձնից պահանջում էին, իսկ ազատ ժամանակ, երբ ցանկացել եմ, մինչև վերջ կշռադատել եմ 10-ի իմաստը, և էլի ուրիշ բաների:

Որովհետև անհաջող բացատրություններն ավելի վատ են, քան դրանց բացակայությունը:

1958, նոյեմբերի 12

Թվաբանության դժվարությունները երեխաների մոտ առաջանում են այն պատճառով, որ նրանք պետք է մեծ քանակի փաստացի նյութ հիշեն, որը նրանց ինչ-որ վերացական բան է թվում՝ առանց պատկերի, մտքի և հետաքրքրության. նաև նրանց ստիպում բազում կանոններ հիշել, որպեսզի կարողանան գործողություններ կատարել այդ փաստերի հետ, և այդ ամենը երեխաները պետք է ընդունեն հավատալով: Ես կարիք չունեմ ամեն անգամ ստուգելու իմ թվաբանական գործողությունները գործնականում, քանի որ ինձ համար ապացուցել եմ, որ թվերի հետ աշխատանքի կանոնները հիմնված են թվերի աշխարհում գործող իրական օրենքների վրա: Ես վստահ եմ, որ հանգիստ կարող եմ կիրառել բազմապատկման ավանդական մեթոդը, որպեսզի 24-ը բազմապատկեմ 36-ով, այսինքն՝ 24x36=(20x30)+(4*30)+(20x6)+(4*6): Բայց եթե վստահ չեմ, որ լուծումը ճշմարտացի է, ավանդական մեթոդների կիրառումն իմաստը կորցնում է: Ո՞րն է երաշխիքը, որ այդ բոլոր խորամանկ ձեռնածությունները, ինչպես «զրոյի տեղափոխումը արտադրյալում» կամ «հաջորդ տողը մի կարգ տեղափոխելը» ճիշտ արդյունք կտան: Ինչպե՞ս դրանում համոզվել առողջ բանականությամբ:

Կուիզեների փայտիկների առավելությունը այն է, որ նրանց միջոցով երեխաները կարող են գլխի ընկնել, թե ինչպես ինքնուրույն կատարեն որոշ գործողություններ, ինչպես նաև համոզվեն դրանց լրիվ համապատասխանությանը թվերի աշխարհի իրական փաստերին:

Քանի որ պատրաստվում եմ պատմել Կուիզեների փայտիկներով երեխաների աշխատանքի մասին, եկել է այդ փայտիկների մասին պատմելու ժամանակը:  Դրանք հորինել է բելգիացի մանկավարժ Կուիզեները: Դրանք մեկ սանտիմետրը մեկ սանտիմետրի վրա հատույթով փայտիկներ են (մոտավորապես ճկույթի հաստության) և 1սմ-ից մինչև 10սմ տարբեր երկարություններով: Փայտիկները տարբեր գույների են. նույն երկարության փայտիկները նույն գույնն ունեն. 1սմ-ը` սպիտակ, 2սմ-ը՝ կարմիր, 3սմ-ը՝ բաց կանաչ, 4-ը՝ մորեգույն (երեխաները հաճախ դրանց վարդագույն են անվանում), 5-ը՝ դեղին, 6-ը՝ մուգ կանաչ, 7-ը՝ սև, 8-ը՝ շագանակագույն, 9-ը՝ երկնագույն, 10-ը՝ նարնջագույն: Այդ փայտիկների մասին խոսելիս հաճախ դրանց գույներով կանվանեմ, բայց փակագծերում կնշեմ երկարությունը, օրինակ դեղին (5): Երեխաների հետ թվաբանությամբ զբաղվողներին խորհուրդ է տրվում ձեռք բերել այդ փայտիկների հավաքածուն, այդ դեպքում նրանք իրենք կհամոզվեն՝ ինչքան ճշմարտացի են իմ պատմածները։

Փայտիկները հորինել և առաջինը կիրառել է Կուիզեները, բայց դրանց տարածման և կիրառման գործում մեծ դեր է ունեցել դոկտոր Քալեբ Գատենիոն (Caleb Gattegno)՝ մաթեմատիկայի և հոգեբանության անգլիացի պրոֆեսոր, որ դրանք տարածեց շատ երկրներում, այդ թվում՝ նաև Միացյալ Նահանգներում, որտեղ դրանք շատ դպրոցներում են օգտագործում (և հաճախ ոչ ճիշտ):

«Կուիզեների փայտիկների արժանիքները...»։ Հիմա ես սրան թերհավատորեն եմ վերաբերում: Բիլը և ես հրապուրվեցինք այդ փայտիկներով, քանի որ սերտ կապ տեսանք այդ փայտիկների ու թվերի աշխարհների միջև և ենթադրեցինք, որ երեխաները, փայտիկներով աշխատելով, կնկատեն թվերի աշխարհի գործողությունների իմաստը: Բայց ամբողջ դժբախտությունն այն էր, որ ես ու Բիլն արդեն թվերի աշխարհի մասին ամեն ինչ գիտեինք: Կարող էինք ասել. «Փայտիկներն իրենց ճիշտ այնպես են պահում, ինչպես թվերը»: Բայց եթե թվերի աշխարհին անտեղյակ լինեինք, կկարողանայի՞նք դա նկատել: Վստահ չեմ: Իհարկե, դրանք օգնեցին իմ և մյուս դասարանների երեխաներին: Բայց նույնքան հաճախ էլ չօգնեցին: Շատ հաճախ էլ դրանք օգտագործող ուսուցիչները չէին տիրապետում մեթոդիկային: Նրանք չեն տեսնում այդ փայտիկների կապը թվերի աշխարհի և թվերի հետ գործողությունների միջև. բնական է, որ չեն կարող օգտագործել փայտիկները թվաբանության դասերին` նյութը բացատրելու համար:

1958, նոյեմբերի 26

Կարո՞ղ են արդյոք Կուիզեների փայտիկներն օգնել ղեկավարելու թույլ աշակերտների ռազմավարությունը, ինչպես մենք ենք ցանկանում: Եվ չի՞ լինի այնպես, որ մեր «ռազմավարները» սխալ գտնեն ուսուցչի տրամաբանության մեջ: Թեկուզ մեր հին ծանոթ Էմիլիին պատկերացնենք: Հարցնում եմ. «Ի՞նչ կստացվի, եթե 3-ը բաժանենք 4-ի»։ «Երեք քառորդ»: «4-ը 3-ի՞»։  «Չորս երրորդ»:  «4-ը` 5-ի՞»։ «Չորս հինգերորդ»: «5-ը բաժանենք 4-ի՞»։ «Հինգ չորրորդ»: Իհարկե, երեխաներին խնդրում եմ փայտիկներին նայել: Իսկ փայտիկները հուշո՞ւմ են պատասխանը: Միգուցե՞ սա մի խաղ է: Ենթադրենք, որ իմ հաջորդ հարցը այսպես ձևակերպեի. «Իսկ եթե պլիխը բաժանենք պլյուխի՞»: Նա կպատասխանե՞ր «Պլիխ պլյուխերորդ»:  «Իսկ եթե պլյուխը պլիխի՞»։ «Պլյուխ պլիխերորդ»: Լավ ռազմավարություն է, եթե ճիշտ պատասխաններ է տալիս: Ենթադրում եմ, որ մյուսներն էլ նույն բանն են անում, իսկ Գիլը ընկերներին այսպիսի խորհուրդ է տալիս. «Կոտորակի համարիչը վերցրու առաջին թիվը…» Եվ այս ռազմավարությունից նրանց չես շեղի, եթե սահմանափակվես միայն փայտիկները բռնել և նայել խորհուրդ տալով:

Այդ «ռազմավարներին» ջրի երես հանելու միջոցներից մեկը հարցերի ձևը փոխելն է: Վերցնենք դեղին փայտիկը (5) և հարցնենք. «Եթե սա 1 է (ամբողջ), ցույց տուր 3/5-ը: Այսպիսի հարցերը թույլ են տալիս պարզել, թե իսկապես նրանք տեսնում են փայտիկները և նրանց հարաբերակցությունը:

Միգուցե այստեղ ինչ-որ բա՞ն կա, երբ հարցին պատասխանել պետք է գործողությամբ, այլ ոչ թե բառերով: Ինչ-որ բան անել, հարցին պատասխանը ցույց տալ...

«Ահա հարցի պատասխանը...»։ Վատ գաղափար չէ, միայն թե դրանով տարվել չարժի: Խոսելու փոխարեն երեխաներին գործել ստիպելը վիճակը ամենևին չի լավացնում, եթե այդ ժամանակ էլ երեխաները առաջվա նման կարիքը ունեն, որպեսզի ուսուցիչը գնահատի իրենց պատասխանը որպես ճիշտ կամ սխալ:

Մեզ պետք են խնդիրներ, որտեղ նպատակը հստակ որոշված է, ինչպես գլուխկոտրուկներում` անջատել օղակները, գնդակը փոսիկը գցել և այլն: Ոչ մեկը չի հարցնի. «Ես ճի՞շտ լուծեցի գլուխկոտրուկը», ամեն ինչ այնպես էլ պարզ է:

Այս մասին հետո կխոսեմ, երբ խոսք լինի մաթեմատիկական լաբորատորիայի մասին:

1958, դեկտեմբերի 6

Բիլ Հալի դասարանում արված դիտարկումներ

Երեկ  դասի ժամանակ աշակերտներին ցույց տվեցիք երկու փայտիկ և առաջարկեցիք որոշել դրանց երկարությունների հարաբերությունը: Որոշ ժամանակ անց ես նկատեցի, որ դուք անընդհատ հարցնում էիք փոքր փայտիկի հարաբերությունը մեծին: Որպես պատասխան երեխաները ասում էին կոտորակ, որի համարիչում փոքր թիվն էր: Եթե ուշացնում էիք արձագանքը, անվճռականություն էիք ցուցաբերում կամ նորից հարցնում, նրանցից մի քանիսը անմիջապես փոխում էին համարիչի և հայտարարի տեղերը. եթե սկզբում ասել էին հինգ յոթերորդ, ապա ուղղված տարբերակով ասում էին յոթ հինգերորդ: Երեքը այդպես վարվեցին՝ Ռեյչելը, տղաներից մեկը և Բարբարան:

Հատկապես Բարբարան, որ սովորաբար մտածող է և խելացի, ինձ ստիպեց այդ երևույթին ուշադրություն դարձնել: Ցույց տալով սև (7) և երկնագույն (9) փայտիկները և փոխելով դրանց տեղերը, հարցրեցիք «Երկրագույնը սևի ո՞ր մասն է կազմում»: Այսինքն՝ փոխեցիք հարցերի հերթականությունը: Աղջիկը պատասխանեց. «Յոթ իններորդ», բայց, տեսնելով ձեր անվճռականությունը, կարմրելով վրա բերեց. «Ինը յոթերորդ»: Ես ո՛չ նրա դեմքին, ո՛չ ձայնում, ո՛չ շարժումներում չտեսա անգամ ակնարկ, որ նա հասկանում է, թե ինչու առաջին պատասխանը սխալ էր, կամ վստահություն, թե ինչու էր երկրորդ պատասխանը ճիշտ: Եթե նա վստահ չէ, վստա՞հ են մյուսները:

Փայտիկները մեզ պետք են, որպեսզի թվաբանության ջունգլիներում երեխաներին ճանապարհ ցույց տանք: Բայց ջունգլիները կուլ չե՞ն տա ճանապարհը: Ի՞նչ իմաստ ունի համոզել Մոնիկային նայել փայտիկներին, եթե դրանցով չի տեսնում պատասխանը: Մի գլուխկոտրուկի փոխարեն նա բախվում է ուրիշին:

1958, դեկտեմբերի 7

Մի անգամ դասասենյակում փորձեցի աշակերտներին ցույց տալ, որ բաժանումը գործողություն է, որը կարելի կատարել ոչ միայն թվերի հետ, և որ այն կարող է անել մարդ, որ ամենևին ծանոթ չէ թվերին: Ասացի՝ պատկերացրեք, որ ունեք գնդիկներով լի մեծ պարկ, որոնք պետք է հավասարապես բաժանեք չորս մարդկանց, ընդ որում գնդիկները հաշվել հնարավոր չէ: Երեխաների մեծ մասն առաջարկեց գնդիկները հերթով բաժանել, մինչև վերջանան: Բայց Պատը և էլի մի տղա որոշեցին այլ կերպ բաժանել: Պատը գրեց. «Կարելի է քանոնով չափել պարկի երկարությունը: Ենթադրենք, ստացվել է 8 դյույմ. 8-ը բաժանում ենք 4-ի, ստանում ենք 2 դյույմ: Կարելի է պարկը բաժանել 2 դյույմանոց նշագծերով (այստեղ առաջարկվեց պարկի գծագիրը, ուղիղներով կտրտած, որոնք նշանակում էին հատույթները) և այդպիսով հավասարապես բաժանել գնդիկները:

Մի տղան մոտավորապես նույնպիսի գաղափար առաջարկեց: Ես նրանց հետ հերթով խոսեցի երես առ երես: Նրանցից յուրաքանչյուրի համար նկարեցի գնդիկներով լի մեծ ծանր պարկը, որին մոտենում եմ մկրատով. «Սկզբում պարկը կիսեմ, և ի՞նչ կստացվի»: Երկուսն էլ շատ ուրախացան՝ տեսանելի պատկերացնելով սեփական բաժանման ձևը, որը մինչ այդ մաքուր տեսություն էր»:

Իհարկե, եթե նրանք կյանքում այդ խնդրին հանդիպեին, երբեք խելքներին չէր փչի պարկը կտրտելը: Միայն դպրոցում են այդպես մտածում:

Սրա հետ կապված մի դեպք եմ հիշում: Ընկերս քիմիայի քննության էր պատրաստվում: Նա փորձում էր հիշել ջրում լուծվող աղերի թվարկումը: Կրկնելով թվարկումը՝ լուծվող աղերի թվում ասաց կալիցումի կարբոնատը: Նրան առաջարկեցի հիշել, թե որ նյութերի մեջ կա այդ աղը: Նա անմիջապես ասաց կիր, գրանիտ և մարմար: «Հետաքրքիր է,- ասացի,- շա՞տ ես տեսել, որ գրանիտը անձրևի տակ հալչի»: Նման գործնական մոտեցում նրա մտքով չէր էլ անցել: Այն քիմիայի, որը նա սովորում էր, և իրական աշխարհի, իր զգացողությունների և առողջ դատողության աշխարհի միջև ոչ մի կապ չկար:

1959, փետրվարի 6

Հանկարծ գլխի ընկա: Ենթադրենք երեխաներին առաջադրանք ենք տալիս, որ երկու հատված գծեն, ընդ որում այնպես, որ նրանցից մեկը հավասար լինի մյուսի հինգ յոթերորդ մասին: Հավանաբար նրանք 5 և 7 դյույմանոց հատվածներ կգծեն: Իսկ հիմա առաջարկենք գծել երկու այլ հատված այնպես, որ մեկի երկարությունը լինի հավասար մյուսի հինգ տանյոթերորդ մասին: Գրեթե բոլորը կասեն, որ դա հնարավոր չէ անել, քանի որ տետրի էջում չի տեղավորվի տասնյոթ դյույմը:

Միակ սփոփանքը այս վիճակում այն է, որ ինչքան շատ ենք հասկանում, թե ինչն ինչոց է, այնքան լավ ենք կարողանում սխալները ուղղել: Եթե ցանկանում ենք, որ երեխաները կոտորակները հասկանան, պետք է կոտորակները կիրառելու տարբեր ձևեր հորինենք:

Զգում եմ, որ ես էլ սկսեցի հասկանալ տարբերությունը կոտորակի, որպես թիվ և կոտորակի՝ որպես օպերատոր: 1/2+1/3=5/6 արտահայտությունը կարող է նշանակել. 1) միավորի 1/2 մասին գումարած միավորի 1/3 մասը հավասար է միավորի 5/6 մասին, 2) ինչ-որ բանի 1/2-ին գումարած նույն բանի 1/3-ը հավասար այդ բանի 5/6-ին, լրիվ անկախ այն բանից, թե ինչ է դա:

Բայց մեկ րոպե սպասեք: Մի՞թե բոլոր թվերը օպերատոր չեն: Երբ ասում ենք. 2+3=5, մի՞թե չենք ենթադրում, որ ինչ-որ բանից 2-ին գումարած նույն բանից 3-ը հավասար է այդ բանից 5: Կարճ ասած, երբ թվաբանություն ենք սովորեցնում, մի՞թե միաժամանակ նաև հանրահաշիվ չենք սովորեցնում: Արդյո՞ք մեր բոլոր դժվարությունները դրանից չեն, որ դա չենք գիտակցում:  Նշանակում է, եթե գրում ենք 2+2=4, ենթադրում ենք, որ 2x+2x=4x:

Մենք վարժվել ենք նրան, որ կոտորակները չենք կարող գումարել, եթե նրանց հայտարարները տարբեր են: Բայց նույնն էլ ամբողջ թվերին է վերաբերում: 2ձի+2ձի=4ձի, բայց 2ձի+3բեռնատար գնացք=ի՞նչ: Հավանաբար 5 օբյեկտ, 5 իր: Այսպիսով մենք ձիերին և բեռնատար գնացքներին ընդհանուր հայտարար ենք վերագրում: (Երեք տարի հետո առաջին դասարանում գրատախտակին գրեցի` առանց նախօրոք որևէ բան բացատրելու՝ 2ձի+3կով=  : Եվ մի քանի երեխա գրեց՝ 5 կենդանի):

Ես վաղուց էի կասկածում, որ թվաբանություն «հասկանալու» տակ ավելի մեծ բան է թաքնված, քան երևում է մակերեսային հայացքով, իսկ հիմա հասկանում եմ, թե այդ «բանը» որքա՜ն մեծ է: «Հասարակ» թվաբանությունում հասարակ բան չկա: Եվ մտածել այն մասին, որ ցանկացած բարի, բարետես կին կարող է երեխաներին սովորեցնել թվաբանություն «հասկանալ», ուղղակի անմտություն է: 

Շուտով համոզվեցինք նաև մեկ այլ մտքի անհեթեթության մեջ` որ մաթեմատիկական գիտությունների դոկտորները կարող են երեխաներին թվաբանություն «հասկացնել»: Մաթեմատիկայի դասավանդման գործում լայնորեն գովազդվող ոչ մի հեղափոխություն՝ ինչ-որ պրոֆեսորի հովանու ներքո, արմատական լավացման չի բերել. անկասկած, նրանք մանր հարցերում որոշ լավ գաղափարներ տվել են, բայց երբեմն նաև վնասել են:

Ես շատ կասկածում եմ, թե կարելի մեկին սովորեցնել ինչ-որ բան հասկանալ, այսինքն՝ տեսնել առանձին մասերի միջև փոխհարաբերությունները և մտովի կազմել կառուցվածքի մոդելը: Մենք կարող ենք հայտնել անուններ և թվեր, բայց ոչ մեկին չենք կարող փոխանցել մեր մտավոր կառույցները: Յուրաքանչյուր մարդ ինքը պետք է դրանք կառուցի: Շատերը կարծիք են հայտնում, թե գիտելիքի կամ փորձի ցանկացած բնագավառ կարող է վերափոխվել հարցերի և պատասխանների շարքի, ինչը ծրագրավորված ուսուցման հիմքն է: Տասմեկերորդցի մի տղա, որ մեկ կամ երկու տարի այդ ձևով սովորել էր, մի անգամ ինձ ասաց, առանց կասկածելու, որ բացահայտում է այդ մեթոդի հիմնական թերությունը. «Երբ ինձ հարց են տալիս, կարող եմ հիշել պատասխանների մեծ մասը, բայց երբեք չեմ հիշում հարցերը»: Սա է ամբողջ խնդիրը:

Շարունակությունը

Թարգմանություն ռուսերենից
Լուսանկարը՝ Սմբատ Պետրոսյանի