Թվերի ընտրության և թվաբանական խնդիրների կազմության սկզբունքները

Սկիզբը 
Նախորդ հատվածը

§4. Խնդիրների թվաբանական բովանդակությունը

Դասավանդման պրակտիկայում հետևյալն է կատարվում: Որպես հիմք` ընդունվում է խնդիրների մեկ կամ մի քանի ժողովածու, որտեղից ուսուցիչն իր հայեցողությամբ ընտրում է այս կամ այն խնդիրը: Սովորույթը հայտնի չափով ապահովում է, որ «թվաբանական դատողության» որոշ տեսակներ ինչ-որ կերպ ներկայացվեն, սակայն դրանք ի՞նչ տեսակներ են, բավարա՞ր են արդյոք, թե՞ հակառակը՝ սովորական նյութում կա ավելորդ բեռ, կոնկրետ ի՞նչ ենք պահանջում աշակերտներից. այս ամենին որոշակի ինչ-որ պատասխաններ չկան: Քիչ թե շատ «որոշվել է», որ աշակերտներին պետք է սովորեցնել լուծել «խառնուրդների», «համեմատական բաժանման», «համատեղ աշխատանքի», «շարժման», «տոկոսների», «եռակի կանոնի» վերաբերյալ խնդիրներ: Եթե հարցնենք խնդիրների լուծման մեթոդների մասին, ապա, սովորաբար, պատասխանը հաճախ սահմանափակվում է վերլուծական և համադրական մեթոդների պարզունակ ենթադրություններով, բարդ խնդիրը մի շարք պարզ խնդիրների տրոհումով, միավորի բերման հնարքով, համեմատության եղանակով, «ենթադրությունների» վրա հիմնված խնդիրներով, («ենթադրենք, որ յուրաքանչյուր տեսակից գնվել է հավասար քանակությամբ»): Աշակերտներին այս կամ այն կարգով ծանոթացնում են խնդիրների համապատասխան «տեսակների» հետ, ընդ որում խնդիր լուծել սովորեցնելը հանգեցվում է կանոնների և «մակերեսորեն սովորեցնելուն», լուծումների մի քանի ստանդարտ հնարքներ աշակերտների կողմից հիշելուն, այս կամ այն հատկանիշներով կողմնորոշվելուն, թե դրանցից որը պետք է կիրառել այս կամ այն դեպքում: Խնդիրների քանակը, որոնք աշակերտներն իրոք ինքնուրույն են լուծում, մտքի այն լարվածությամբ, որը և պետք է հանդիսանար խնդրի լուծման պրոցեսի օգտակարության աղբյուրը, շատ չնչին է:

Արդյունքում՝ պարզագույն թվաբանական իրավիճակներում, զուտ գործնական խնդիրների լուծման ժամանակ կողմնորոշվելու լիովին անօգնականություն և անկարողություն, իսկ հետագայում՝ հանրահաշվում` հավասարություններ կազմելու և հետազոտելու անկարողություն, և ընդհանրապես, նեղ ֆորմալ սխեմաների սահմաններից դուրս գալու անընդունակություն, մի խոսքով, այն ամենը, ինչը հետո կբնութագրվի որպես «մաթեմատիկական զարգացածության բացակայություն»:

Սրա հետ մեկտեղ, հանդիպում են շեղումներ նաև մյուս ուղղությամբ` թվաբանություն են ներմուծվում արհեստական բովանդակությամբ խնդիրներ, որոնք, ըստ էության, պետք է լուծվեին հանրահաշվական եղանակով, ինչից հետո կարելի էր, չնայած երբեմն դժվարությամբ, դրանց «թվաբանական լուծումը» «թխել»: Եթե նմանատիպ խնդիրները զուրկ չեն որոշակի աստիճանի օգտակարությունից, ապա դրանք պետք է ավելի ընդունակ և ուժեղ աշակերտներին առաջարկվեն մրցույթի կարգով՝ խմբակում կամ մաթեմատիկական թերթում:

Այս թերությունները վերացնելու համար, առաջնահերթ անհրաժեշտ է ինքներս մեզ հաշիվ տանք, թե հատկապես ո´ր տարրերը (տրամաբանական դատողություն, երևակայության ակտիվ գործունեություն, հիշողության, մեծ քանակությամբ վարժություններով ամրապնդված գրեթե մեխանիկական հմտություններ և այլն) պետք է կազմեն աշակերտների «թվաբանական» դաստիարակության և վարժանքների բովանդակությունը, ինչ զուգադրություններով և ինչ հերթականությամբ այդ տարրերը պետք է մտնեն խնդիրների մեջ, ինչ կարգի դժվարության և բարդության խնդիրներ պետք է մտնեն պարտադիր նվազագույնի մեջ:

Այս հարցի պատասխանը պետք է հաշվի առնի ինչպես գործնական անմիջական կարիքները, այնպես էլ աշակերտների ընդհանուր և մաթեմատիկական զարգացվածության հիմնական խնդիրը, ինչպես նաև միջնակարգ և բարձրագույն դպրոցներում հետագա ուսուցմանը նախապատրաստելը:

Թվաբանական խնդիրներն ըստ իրենց թեմատիկայի կամ էլ ըստ իրենց հանրահաշվական կառուցվածքի դասակարգելու գոյություն ունեցող փորձերը (նշենք Ալեքսանդրովի (1887), Վորոնովի (1939) և Պոլյակի (1944) համեմատաբար հաջող սխեմաները) այդքան էլ բավարար չեն այս նպատակի համար: Այստեղ անհրաժեշտ է հարցն ամբողջ ծավալով դնել` չսահմանափակվելով խնդրի միայն հանրահաշվական կառուցվածքով, այսինքն` այն գործողությունների բնութագրով, որ անհրաժեշտ է կատարել խնդիրը լուծելու համար: Միևնույն գործողությունները կարող են համապատասխանել բացարձակ տարբեր կոնկրետ իրավիճակների, և աշակերտը կարող է գալ այն եզրահանգման, որ պետք է կատարել տվյալ գործողությունը բացարձակապես տարբեր հիմնավորումներով:

Որպես օրինակ` մի քանի խնդիր բերենք, որ լուծվում է 3-1=2 գործողությամբ:

1. Ինձ երեք խնձոր տվեցին, դրանցից մեկը կերա: Քանիսը՞ մնաց:
2. Երեք մետրանոց ձողով շոշափեցին ջրհորի հատակը, ընդ որում, ձողի 1 մետրը ջրի մակարդակից բարձր էր մնացել: Ինչքա՞ն է ջրի խորությունը:
3. Տանյան ասաց՝ ես 3 եղբայր ավելի ունեմ, քան քույր: Տանյայենց ընտանիքում քանիսո՞վ է եղբայրների քանակը շատ քույրերի քանակից:
4. Մեկ ժամ առաջ գնացքը պետք է ժամանած լիներ կայարան: Սակայն այն ուշանում է 3 ժամով: Գնացքը ե՞րբ կհասնի կայարան:
5. Գերանը 3 մասի բաժանելու համար քանի սղոցում պետք է անել:
6. Հարևան սյուների միջև հեռավորությունը մեկ կիլոմետր է: Ես առաջին սյունից հասա մինչև երրորդը: Քանի՞ կիլոմետր անցա:
7. Աղյուսը բահի հետ միասին 3 աղյուսի զանգված ունի: Մեկ աղյուսը կշռում է մեկ կիլոգրամ: Որքա՞ն է բահի զանգվածը:
8. Երկու թվերի թվաբանական միջինը 3 է, իսկ նրանց տարբերության կեսը հավասար է 1-ի: Ո՞րն է այդ թվերից փոքրը:
9. Մեր տանից մինչև կայարան 3 կիլոմետր է, իսկ նույն ճանապարհով մինչև Մինուխինների տունը` 1 կիլոմետր: Որքա՞ն է կայարանից մինչև Մինուխինների տուն հեռավորությունը այդ ճանապարհով:
10. Հարյուր տարի հետո կտոնենք մեր համալսարանի երեքհարյուրամյա հոբելյանը: Քանի՞ հարյուր տարի առաջ է հիմնված մեր համալսարանը:
11. Երեք ժամում ես կանգնած ջրում լողում եմ 3 կմ, իսկ գերանը հոսանքի ուղղությամբ անցնում է 1 կիլոմետր: Քանի՞ կիլոմետր կլողամ հոսանքի հակառակ ուղղությամբ նույն ժամանակահատվածում:
12. Դեկտեմբերի երկուսը կիրակի էր: Դեկտեմբերի քանի՞ աշխատանքային օր էր նախորդել այդ ամսվա առաջին երեքշաբթիին:
13. Ես քայլում եմ` 3 ժամում անցնելով 3կմ, իսկ ընկերս գնում է ինձնից առաջ՝ հրելով իր մոտոցիկլը և մեկ ժամում անցնում է 1 կմ: Որքանո՞վ է կրճատվում մեր միջև եղած հեռավորությունը մեկ ժամվա ընթացքում:
14. Հողափորների երեք միանման խումբ մեկ շաբաթվա ընթացքում փորեց 3 կմ երկարությամբ առու: Քանի՞ այդպիսի խումբ է անհրաժեշտ, որպեսզի նույն ժամանակահատվածում փորեն 1 կիլոմետրով ավելի կարճ առու:
15. Մոսկվա և Գորկի քաղաքները հարակից ժամային գոտիներում են: Ժամը քանի՞սը կլինի Մոսկվայում, երբ Գորկիում 15:00 է:
16. Անշարժ հրանոթից ինքնաթիռին կրակելու ժամանակ անհրաժեշտ է երեք ինքնաթիռի չափ առաջ նշան բռնել: Սակայն հրանոթը ինքնաթիռի շարժման ուղղությամբ շարժվում է երեք անգամ փոքր արագությամբ: Քանի՞ ինքնաթիռի չափով պետք է նշանը առաջ բռնել:
17. Եղբայրս ինձանից երեք անգամ մեծ է: Քանի՞ անգամ էր նա մեծ իմ հիմիկվա տարիքից այն ժամանակ, երբ ես ծնվեցի:
18. Եթե թվին գումարենք մեկ, այն կբաժանվի երեքի: Ինչքա՞ն է այդ թիվը 3-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը:
19. Մեկ կիլոմետր երկարություն ունեցող գնացքը սյանի կողքով կանցնի մեկ րոպեում, իսկ թունելով, նույն արագությամբ շարժվելով, կանցնի երեք րոպեում: Որքա՞ն է թունելի երկարությունը:
20. Տրամվայի երկուղանի երթուղիով, իրարից երեք կիլոմետր հեռավորությամբ երթևեկում է երեք վագոն: Դրանցից մեկը հիմա մյուսից մեկ կիլոմետր հեռավորության վրա է: Որքա՞ն է երրորդ վագոնի հեռավորությունը մինչև իրեն մոտակա վագոնը:

Այս օրինակները պարզ ցույց են տալիս, որ թվաբանության ուսուցումն իր մեջ, որպես հիմնական տարրերից մեկը, ներառում է մեծությունների միջև իրենց կոնկրետ բնույթով տարբեր փոխհարաբերություններում կողմնորոշվելու կարողությունների դաստիարակումը: «Խնդրի լուծման թվաբանական» մեթոդն ինքնին տարբերվում է հանրահաշվական հնարքներից առաջին հերթին նրանով, որ դատողության բոլոր փուլերում բոլոր զուգորդումները և կատարվող գործողությունները թույլ են տալիս բացարձակ տեսանելի և կոնկրետ մեկնաբանություն` իմաստալից այն մեծությունների շրջանակում, որոնց մասին խոսվում է:

Սրանով էլ զգալիորեն որոշվում է տարբերությունը այն խնդիրների, որոնց համար բնական է թվաբանական լուծումներ պահանջելը, և էությամբ հանրահաշվական այնպիսի խնդիրների, որոնց լուծման համար այդ պահանջն արհեստական բնույթ ունի: Վերջին տեսակի խնդիրների թվաբանական լուծումը կարող է դիտարկվել զուտ որպես մարզման բարձրագույն աստիճան, որը դուրս է մնում հանրակրթական մինիմումի սահմաններից: Բազմաթիվ խնդիրներում որոնելիների և տվյալների միջև կախվածություններն այնպիսին են, որ սովորական ոչ արհեստական դատողություների ընթացքը, բնականաբար, բերում է համապատասխան հանրահաշվական հավասարումների: Ընդ որում, լուծման թվաբանական ճանապարհը կպահանջեր անհայտ մեծությունների նկատմամբ գործողություններ, որոնք իրենց բնույթով հանրահաշվական են և դժվար հիշելի:

Դրա օրինակ է հետևյալ խնդրի լուծումը. «Եթե վաճառենք 20 կով, պահեստավորված խոտը տասն օր ավելի կբավականացնի, իսկ եթե գնենք 30 կով, խոտի պաշարը նախատեսվածից տասը օրով շուտ կսպառվի: Քանի՞ կով կար, և քանի՞ օրվա համար էր նախատեսված պահեստավորված խոտը»:

Այստեղ առկա մեծությունների միջև փոխկապակցվածության հստակ պատկերացումը բավական է, որպեսզի առանց դժվարության հնարավոր լինի խնդրի պայմանները ձևակերպել հավասարման տեսքով:

Սակայն պահանջել, որ օրերի քանակը որոշելու համար սովորողն ինքն իրեն գա (200+300):10 բանաձևին, կնշանակի ձգտել հասնելու անհայտ մեծություններով գործողություններ կատարելու այնպիսի ճկունության, որը գործնականում պետք չէ, իսկ հանրակրթությունում անհասանելի է:

Ավելի ընդունելի է հետևյալ խնդիրը. «Նույն չափի գումարով գնել են երկու տեսակի ապրանք, ընդ որում, առաջին տեսակից գնել են երկու անգամ ավելի քիչ, քան երկրորդից: Դրանք խառնեցին և խառնուրդի կեսը վաճառեցին բարձրի գնով, իսկ մնացածը` ցածրի գնով: Վաճառքից քանի՞ տոկոս եկամուտ կամ վնաս ստացան»:

Սա, ըստ էության, չափի կամայական միավորի ներմուծումով լուծվող տիպիկ խնդիր է: Սակայն այս պայմաններում ևս լուծման համար անհրաժեշտ անհայտ մեծությունների հետ գործողությունների կատարումը հստակ արտահայտված հանրահաշվական բնույթ ունի:

Այս ամենի հետ մեկտեղ հանդիպում են խնդիրներ, որոնցում, ընդհակառակը, լուծման թվաբանական ճանապարհը զգալիորեն հեշտ է, քան հանրահաշվականը: Դա կարող է պայմանավորված լինել երկու գործոնով: Որոշ դեպքերում տվյալից անհայտին անցումը այնքան պարզ է, որ հավասարում կազմելը (անհայտից հայտնիի անցումը) կբերեր ավելորդ ծանրաբեռնվածության, որը կդանդաղեցնի խնդրի լուծումը:

Այդպիսին է, օրինակ, այս խնդիրը, որի թեմատիկան կարող է խոչընդոտ լինել գործնական դասավանդման մեջ նրա օգտագործման համար, չնայած մաթեմատիկայի պատմության մեջ խաղերի (այդ թվում` նաև մոլախաղերի) ուսումնասիրման հանրահայտ նշանակությանը. «А, В, С և D ընկերները չորս պարտիա խաղացին, ընդ որում պարտվողը պարտավոր էր կրկնապատկել մյուսներից յուրաքանչյուրի մոտ պարտիայից առաջ եղած գումարը: Հերթականությամբ պարտվեցին А-ն, В-ն, С-ն և D-ն, և արդյունքում բոլոր չորս մասնակիցների մոտ մնաց 48-ական ռուբլի: Սկզբում որքա՞ն գումար ուներ յուրաքանչյուր մասնակից»:

Երկրորդը դասական խնդիր է` հետաքրքիր պայմանի ձևակերպման տարիմաստությամբ: «Համադրական» լուծման փուլերն այստեղ, ինչպես և նախորդ խնդրում, բացահայտվում են իրադարձությունների ընթացքին հակառակ կարգով: «Ձու վաճառողն առաջին գնորդին վաճառեց զամբյուղում եղած ձվերի կեսը և էլի կես ձու, երկրորդ գնորդին` մնացած ձվերի կեսը և էլի կես ձու, երրորդին` մնացածի կեսը և էլի կես ձու, որից հետո նրա մոտ ոչինչ չմնաց: Սկզբում քանի՞ ձու կար զամբյուղում»:

Ուրիշ դեպքերում հավասարում կազմելը պահանջում է այնպիսի դատողություն, որը ինքնին բավական է նպատակին հասնելու համար: Դրանք բառի բուն իմաստով թվաբանական խնդիրներ են. դրանց հանրահաշվական լուծումը ավելի հեշտ չէ, այլ ավելի դժվար և, սովորաբար, զուգորդվում է լրացուցիչ անհայտների ներմուծմամբ, որոնք հետագայում անհրաժեշտ է լինում բացառել, և այլն: Դրանց թվին է պատկանում վերևում բերված` 3-1=2 գործողությամբ լուծվող խնդիրների մեծ մասը: Այսպես, օրինակ, եթե 3-րդ խնդրում եղբայրների թիվը որոշենք х–ով, քույրերի թիվը` у–ով, ապա հավասարումը կլինի х—(у—1) = 3, սակայն եթե մենք արդեն կռահեցինք, որ պետք է գրել у—1 (քույրն ինքն իրեն չի հաշվել), ապա այսպես, թե այնպես պարզ է դառնում, որ եղբայրները ոչ թե 3-ով, այլ 2-ով են շատ քույրերից: Բերենք ևս մի քանի օրինակ:

«Ես թիավարում էի հոսանքի ուղղությամբ և կամուրջի տակով անցնելիս կորցրեցի գլխարկս: Տասը րոպեից դա նկատելով` որոշեցի վերադառնալ, և թիավարելով նույն ուժով, գլխարկին հասա կամրջից 1 կիլոմետր այս կողմ: Որքա՞ն է գետի հոսանքի արագությունը»:

«Սովորաբար, երբ գնացքով հասնում էի կայարան, իմ ետևից մեքենա էր գալիս: Մի անգամ, մեկ ժամ շուտ ժամանելով, ոտքով ճամփա ընկա և, հանդիպելով իմ ետևից ուղարկված մեքենային` նրանով տեղ հասա սովորականից քսան րոպե ավելի շուտ: Քանի՞ անգամ է մեքենան ավելի արագ գնում, քան ես քայլում եմ»:

Սրանք շատ լավ թվաբանական խնդիրներ են, սակայն, իհարկե, չեն կարող ընդգրկվել «պարտադիր նվազագույնի» մեջ: Սակայն, ինչպես վերը նշվել էր, մեծ քանակությամբ համեմատաբար պարզ խնդիրներ պատկանում են հենց թվաբանական խնդիրների տեսակին. ընդունված է համարել, որ շատ դեպքերում խնդիրների այդպիսի բնույթը վկայում է դրանց մեթոդական բարձր արժեքի մասին. դրանց յուրահատկությունը հենց հիմնված է այն բանի վրա, որ դրանք պահանջում են համապատասխան կոնկրետ իրավիճակի հստակ պատկերացում, այլ ոչ թե անգիր արած ձևական օրինակների գործածում:

Ահա թվաբանական խնդրի ևս մեկ օրինակ, որի լուծման համար հարկավոր չէ որևէ «գործողություն» կատարել:

«Կարմիր գինով լի բաժակից մեկ գդալ գինի լցրեցին նույն քանակությամբ սպիտակ գինով լի մեկ այլ բաժակի մեջ: Խառնելով, այդ խառնուրդից մեկ գդալ նորից ետ լցրեցին կարմիր գինով բաժակի մեջ և նույն գործողությունը կրկնեցին: Հետաքրքիր է` արդյունքում սպիտակ գինու խտությո՞ւնն է մեծ առաջին բաժակում, թե՞ կարմիրինը՝ երկրորդում»:

Խնդրի լուծման համար բավարար է պատասխանել հետևյալ հարցին. ուր մնաց կարմիր գինու այն քանակությունը, որը դուրս մղվեց սպիտակ գինով առաջին բաժակից:

Հընթացս նշենք, որ թվաբանական խնդիրների լուծման ժամանակ հաճախ հանդիպող «ենթադրության» հնարը (իր դասական ձևակերպմամբ` «ենթադրենք, որ և´ մեկից, և´ մյուսից գնվել է միևնույն քանակությամբ», կամ «ենթադրենք, որ բոլոր վագոնները երեքառանցքանի են», կամ «ենթադրենք, որ առաջին անգամ գնվել է երկու անգամ ավելի շատ, իսկ երկրորդ անգամ՝ երեք») մենք դասում ենք թվաբանական խնդիրների լուծման օրինաչափ հնարների դասին, չնայած բերված ձևակերպումներից վերջինում, օրինակ, խոսքը հանրահաշվական տեսանկյունից երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծման մասին է:

Իսկապես, եթե վերլուծենք այս մեթոդի տրամաբանական էությունը և նրա կիրառման հոգեբանական նախադրյալները կոնկրետ դեպքերում, կտեսնենք, որ ըստ էության այստեղ խոսքը հաճախակի կիրառվող բեկոնյան մակածական տրամաբանության օրենքներից մեկի մասին է՝ իր տարրական քանակական ասպեկտով, ընդ որում, որը սերտորեն կապված է տվյալ խնդրի թվային տվյալների առանձնահատկությունների պատճառային պայմանավորվածությունների հետ: Պարզագույն դեպքերում նշված «ենթադրություններին» հանգեցնող խնդրի պայմանների վերլուծման գործընթացը սկսվում է հենց «ինչո՞ւ» հարցից: Ինչո՞ւ թվային տվյալների այդպիսի տարբերություն կա, ինչո՞ւ է հենց սա ավելի և հենց այդ չափով: Այն բանից հետո, երբ սովորողը որոշակի կոնկրետ իրավիճակներում անհրաժեշտ քանակական արդյունքն ստանալ է սովորում, բացարձակապես բնական է դառնում առավել բարդ իրավիճակում մի քանի գործոնների համատեղ ազդեցության ժամանակ նրանցից մեկի ազդեցությունը առանձնացնելու ձգտումը, իրավիճակը այդ գործոնի առկայության կամ բացակայության դեպքում համեմատելը, կոմպենսացնելը, մնացածի ազդեցությունը ժամանակավորապես բացառելը, և, այսպիսով, արդեն իսկ ծանոթ և պարզ իրավիճակին վերադառնալը, անհրաժեշտ թվային արդյունքն ստանալը:

Սա հանրահաշիվ չէ, սա անդամների միացում չէ և «հակառակ նշանով տեղափոխում չէ» մի կողմից մյուսը: Սա հենց երևակայականի կապված տրամաբանություն է` սակայն ուսումնասիրվող մեծությունների ոլորտում բավականին ռեալ նշանակություն ունեցող գործողությունների հետ, որի զարգացումը և կատարելագործումը ուղղակիորեն մտնում է թվաբանության խնդիրների մեջ:

Իրենց բնույթով թվաբանական և հանրահաշվական խնդիրների վերը բերված տարբերակումը, ինչպես մեզ թվում է, և´ տեսականորեն, և՛ գործնականում համապատասխանում է խնդրի էությանը. դժվար թե այստեղ հնարավոր լինի ավելին անել. այս երկու տեսակի խնդիրների միջև սահմանները իրենց բնույթով մի փոքր լղոզված են, քանի որ դրանք կախված են քանակական հատկանիշներից, որ տարբեր ձևով կարելի է գնահատել, ինչպես հնարավոր չէ սահմանել «մի քանի հատիկի» և «մի բուռ հատիկի» միջև տարբերությունը:

Նմանօրինակ դիտողությունը վերաբերում է նաև թվաբանական խնդիրները՝ ըստ իրենց բարդության աստիճանի որոշելուն: Այստեղ պետք է հասկանանք ոչ թե տվյալների համադրման դժվարությունը, որի մասին խոսվել է վերևում, այլ համեմատաբար ծավալուն պայմանի առկայությունը, որը լուծողից պահանջում է համակարգվածություն և ուշադրություն խնդիրն ավելի պարզ մասերի տրոհելիս և դատողության՝ սովորողին արդեն ծանոթ տարրերը միավորելիս: Կասկած չկա, որ այդպիսի խնդիրները (իհարկե, բնական պայմաններով, այլ ոչ թե տխրահռչակ «բաղադրյալ» խնդիրների ձևով, որոնք հիմնված են զուտ արտաքին և այդ պատճառով էլ տարաբնույթ տարրերի ծիծաղելի միացումով) պետք են հենց որպես այդպիսիք, քանի որ բարդ իրավիճակում կողմնորոշվելու համապատասխան ունակությունների զարգացումը դաստիարակության էական տարրերից է, որը կարևոր գործնական նշանակություն ունի: Բացի դրանից, այդպիսի խնդիրները կարող են վերահսկիչ դեր ունենալ այն հարցում, թե որքան լավ է սովորողը յուրացրել դատողության ընթացքի տարրերը, քանի որ այստեղ այս տարրերը գործիքների դեր են կատարում, որոնք սովորողը առանց վարանելու պետք է ընտրի և կիրառի անհրաժեշտության դեպքում:

Այս ընդունակությունը, հաջող դասավանդման արդյունքում, պետք է տարածվի և այնպիսի դեպքերի վրա, որոնցում իրավիճակը չի պատկանում նախկինում մանրամասնորեն դիտարկված և մի շարք նմանատիպ վարժություններով ամրապնդվածների թվին: Այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտ է տակտով, և միևնույն ժամանակ ամեն օր (նկատի չունեմ ստուգման դեպքերը), սովորողներին առաջարկել նաև այնպիսի խնդիրներ, որոնք պահանջում են նոր, իրենց համար անսովոր իրավիճակներում կողմնորոշվել, մտքը ինքնուրույն լարել: Այդ ունակությունը զարգացնելու համար խնդիրների լուծման ժամանակ անհրաժեշտ է խուսափել դոգմատիզմից և պատրաստի դեղատոմսերից, և աշխատել սովորողների մտածելակերպը և երևակայությունը այնպես մարզել, որպեսզի լուծման ճանապարհը նրանց մոտ միշտ բնական եղանակով առաջանա: Խնդիրները, որոնք առաջարկվում են ինքնուրույն կողմնորոշման համար (այլ ոչ թե սովորած հնարքը ամրապնդելու), պետք է համապատասխանեն միջին աշակերտի ուժերին, այսինքն, հիմնվեն տրամաբանական և կոնկրետ պատերացումների այնպիսի տարրերի վրա, որոնց առկայությունը կարելի է ենթադրել սովորողների զարգացման տվյալ փուլում:

Մենք կանգ առանք մեթոդական այս պարզունակ դատողությունների վրա, քանի որ այստեղ խոսքը դասավանդման պրակտիկայի ամենաէական թերություններից մեկի մասին է: Սովորողներին մաթեմատիկական գործիքների ամբողջությանը սովորեցնելու խնդիրը` ինչպես տարրական գործողություններ կատարելու, այնպես էլ պետք եղած դեպքում անհրաժեշտ գործիք ընտրելու կարողության իմաստով, հաճախ փոխարինում են ավելի հեշտ հասանելի նպատակով` աշակերտներին սովորեցնել այդ գործիքները կիրառել որոշակի, կանոնակարգված, շատ դեպքերում բավականին բարդ հետևողականությամբ, սակայն որոշակիորեն հաստատված կանոններով: Եթե հետագա գործունեությանը այսպես պատրաստեինք, ասենք, փականագործին, ապա նրան չէր լինի վստահել անգամ պարզագույն վերանորոգման աշխատանք, քանի որ յուրաքանչյուր ապրանք յուրովի է փչանում և գործողությունների ոչ մի համակարգված կանոն այստեղ չի կարելի կիրառել:

Ճիշտ նույն ձևով անհնարին է լողալ սովորել, եթե մշտապես լողավազանի եզրերից բռնվես, կամ էլ միշտ լողագոտուց օգտվես, պետք է կարողանալ ինքնուրույն պահել մարմինը ջրի վրա, և հենց սա է խնդրի ամբողջ էությունը:

Մի քանի խնդիրնի բերենք, որոնք այս տեսանկյունից օգտակար ենք համարում:

«Երեք կրպակներում վաճառողուհիների մոտ նույն քանակությամբ մանդարին կար: Երբ նրանցից յուրաքանչյուրը վաճառեց 600 մանդարին, այդ ժամանակ բոլոր վաճառողուհիների մոտ միասին մնաց այնքան մանդարին, որքան ի սկզբանե կար նրանցից յուրաքանչյուրի մոտ: Ո՞ր է եղել այդ թիվը»:

«Ես հիմա երեք անգամ ավելի մեծ տարիքի եմ, քան այն ժամանակ, երբ եղբայրս իմ տարիքին էր: Երբ կլինեմ այնքան տարեկան, որքան հիմա իմ եղբայրն է, մեր ընդհանուր տարիքը կկազմի 96: Քանի՞տերեկան է հիմա մեզանից յուրաքանչյուրը»:

Այս խնդրի թվաբանական լուծումը պահանջում է խնդրում խոսվող երկու մեծությունների համատեղ աճի պրոցեսի և նրանց աճի «փուլերի» մասին հստակ պատկերացում ունենալ: Լրացուցիչ և օգտակար միջոց կարող է լինել խնդրի պայմանների գրաֆիկական գծային պատկերումը:

«Կայարանի կողքով անցնելիս, տեսա կանգնած բեռնատար գնացքը, որը 31 վագոն ուներ և լսեցի աշխատողների խոսակցությունը: Առաջինը, ասաց, որ 105 սռնի է ստուգել: Երկրորդը նկատեց, որ գնացքը շատ քառասռնի վագոն ունի՝ երեք անգամ ավելի շատ, քան երկսռնիները, իսկ մնացածը եռասռնի են: Երկու կայարանների միջև ընկած հաջորդ տեղամասն անցնելիս պարապությունից որոշեցի հաշվել, թե ամեն տեսակից քանի վագոն կար այդ գնացքում: Ինչպե՞ս դա անեմ»:

Թվաբանական լուծումը հանրահաշվականից ավելի հեշտ է և պահանջում է հստակ պատկերացնել, որ երկսռնանի և քառասռնի վագոնները գնացքում (քանակական հարաբերությամբ) որոշակի խմբերով են (4-ական վագոն): Բոլոր վագոնների երևակայական «փոխարինումը» եռասռնիներով աշակերտների համար սովորական և լավ ծանոթ քայլ է: Խնդիրը թույլ է տալիս նաև տեսական-թվային (ոչ միարժեք) լուծում այն դեպքում, երբ վագոնների քանակը հայտնի չէ:

«Երկու գրադարանում 50000 կտոր գիրք կար: Մեկ տարում առաջինի գրքերի քանակն ավելացավ 5 տոկոսով, իսկ երկրորդինը` 6 տոկոսով, այնպես որ գրքերի ընդհանուր քանակն ավելացավ 2800-ով: Սկզբում քանի՞ գիրք կար յուրաքանչյուր գրադարանում»:

Օգտակար խնդիր է, որը բերում է «քաշի» պատկերացում կազմելու ունակության, և որի ժամանակ պետք է հաշվի առնել մեկ ամբողջության մեջ միավորվող տոկոսային աճը:

«Նավակով գետի հոսանքի ուղղությամբ որոշակի տարածություն անցնելու համար երեք անգամ ավելի քիչ ժամանակ է պետք, քան հոսանքի հակառակ ուղղությամբ լողալիս: Քանի՞ անգամ է նավակի շարժման արագությունը մեծ գետի հոսանքի արագությունից»:

Պետք է կռահել և ժամանակից անցնել տարածության:

Համանման խնդիր. «Շոգենավը հոսանքի ուղղությամբ իջնում է 2 ժամ, իսկ վերադառնում 3 ժամում: Քանի՞ ժամում գերանը այդ նույն երկու կետերի միջև հեռավորությունը կանցնի հոսանքի ուղղությամբ»:

Ամենաերևակայական պատասխաններ են լինում, ինչը ոչ ճիշտ «բաղադրատոմսի» կիրառման ակնհայտ օրինակ է:

«Գնացքը 15 վայրկյանում անցնում է հեռագրասյան կողքով և 450 մետր երկարություն ունեցող թունելն անցնում է 45 վայրկյանում: 300 մետր երկարություն ունեցող գնացքի հանդիպելիս երկու գնացքներն իրար կողքով անցնում են 21 վայրկյանում: Գտեք երկրորդ գնացքի արագությունը»:

Լ.Ն. Տոլստոյի խնդիրը. «Հնձվորները պետք է 2 արտ հնձեն: Առավոտվանից սկսեցին հնձել մեծ արտը, իսկ կեսօրից հետո բաժանվեցին. մի կեսը մնաց առաջին արտում և երեկոյան արդեն հնձեց վերջացրեց այդ արտը, իսկ երկրորդն անցավ մյուս արտը հնձելուն, որի մակերեսը առաջինի մակերեսից երկու անգամ փոքր էր: Քանի՞ հնձվոր է եղել, եթե հայտնի է, որ հաջորդ օրվա ընթացքում մնացած աշխատանքներն ավարտել է ընդամենը մեկ հնձվոր»:

Սա դիտարկվող տեսակի առավել բնորոշ խնդիրներից է: Լուծման հաջողությունը կախված է նրանից, թե որքանով են զարգացած լուծողի երևակայությունը և քանակական հարաբերակցությունները համադրելու ունակությունը:

Եզրափակելով, ևս մեկ դիտարկում անենք, որը վերաբերում է թվաբանության (ինչպես նաև հանրահաշվի)  դասերին խնդիրները կիրառելուն:

Իհարկե, դատողության որևէ հնարքի կամ էլ աշակերտի համար որևէ նոր հարաբերությունների ոլորտի հետ սկզբնական ծանոթացման ժամանակ կարելի է յուրաքանչյուր խնդիր դիտարկել հարցի որոշակի դրվածքով, որպես ավարտված օրինակ, և դատողությունների միևնույն թվաբանական կմախքի դեպքում ձգտել, հասկանալի նպատակներով, օրինակների որակական հնարավոր բազմազանության. հարմար դեպքերում, պետք է աշակերտների ուշադրությունը հրավիրել թվաբանական ընդհանրացման և վերացարկման համապատասխան տարրերի վրա: Բայց, երբ աշակերտներն արդեն իսկ տիրապետում են դատողության բոլոր հիմնական ձևերին, որոնք բավական են տվյալ թեմատիկայի խնդիրները լուծելու համար, օգտակար է խնդրի նյութը այլ կերպ օգտագործել, կիրառելով այն մեթոդը, որը կարելի է մոնոգրաֆիկ անվանել: Նկատի ունենք մեծությունների միջև միևնույն կախվածության ուսումնասիրման ժամանակ հարցի դրվածքի ձևափոխությունները: Այդպիսի փոփոխությունն օգնում է աշակերտին միավորել տվյալ օբյեկտին վերաբերող բոլոր պատկերացումները, իսկ դասավանդողին հնարավորություն է տալիս նախ` ակտիվացնել դասարանի աշխատանքը, և, երկրորդը` ստուգել և ճշտել տվյալ հարցին վերաբերող թվաբանական տարրական ունակությունների ամբողջությունը, շատ օգտակար է նաև միևնույն հարցի լուծման տարբեր ձևերի համադրումը:

Ենթադրենք առաջադրված է լուծելու հետևյալ խնդիրը:
«Ջրի և սպիրտի հավասար ծավալներով խառնուրդը ավելի քիչ ծավալ ունի է, քան երկու խառնվող նյութերի ծավալների գումարը: Այդպիսի խառնուրդի մեկ լիտրը կշռում է 936 գ, մինչդեռ մաքուր սպիրտի մեկ լիտրը կշռում է 729 գ, իսկ ջրի մեկ լիտրը` 1կգ: Մեկ լիտր խառնուրդ ստանալու համար որքա՞ն է պետք վերցնել ջուր և սպիրտ»:

Այստեղ տեղին է նախապես կամ էլ խնդրի լուծման ժամանակ դիտարկել, ասենք, այսպիսի հարցեր: Ենթադրենք` որևէ նյութի ծավալի կրճատման դեպքում ծավալի միավորը 1 կիլոգրամի փոխարեն պարունակում է 1,25 կիլոգրամ: Որքա՞ն է տոկոսներով և հասարակ կոտորակներով ծավալի միավորի քաշի ավելացումը: Տոկոսով որքա՞ն է ծավալի փոքրացումը սկզբնականի համեմատ: Ինչպե՞ս են այդ երկու ցուցանիշները կապված միմյանց հետ: Ի՞նչ պետք է իմանալ, ինչպիսի՞ փորձեր կատարել, ինչպիսի՞ թվային տվյալներ ստանալ, որպեսզի դրանք գտնենք: Ինչպիսի՞ տոկոսային ցուցանիշներ կստացվեն, եթե խոսենք հակառակ անցման մասին (ծավալի մեծացում և զանգվածի պակասեցում):

Ինչպե՞ս իմանանք, թե նյութերից որքան է հարկավոր վերցնել ելման վիճակում (ըստ ծավալի, ըստ զանգվածի), որպեսզի ստանանք նրա տվյալ քանակությունը (ըստ զանգվածի, ըստ ծավալի) նոր վիճակում:

Դիտարկել այս խնդիրները ջրից սառույց վիճակին փոխակերպման համար և հակառակը, ընտրել այլ համանման տեսակի կոնկրետ տվյալներ (դյուրահալ մարմինների ծավալի փոփոխում, պինդ մարմինների ընդարձակումը տաքացնելուց և այլն): Եթե սա համապատասխանում է իրավիճակին, ապա զուգահեռ անհրաժեշտ է դիտարկել համապատասխանող չափաբաժինները` սովորողին ստիպելով ստույգ ձևակերպել, թե տվյալ դեպքում ինչպիսի համեմատականության մասին է խոսքը: Սրա հետ մեկտեղ, եթե իրավիճակները թույլ են տալիս, կարելի է կապել նաև տոկոսների փոխհամակցության հարցերը` «հարյուրից», «հարյուրով», և «հարյուր անգամ»: Կարելի է լրացուցիչ առաջարկել այսպիսի խնդիրներ. «Կաթը թանկացավ 20 տոկոսով, իսկ մեկ շաբաթից էժանացավ 20 տոկոսով: Արդյունքում կաթը թանկացա՞վ, թե էժանացավ: Մեկ այլ քաղաքում նույն սկզբնական արժեքով կաթը սկզբում էժանացավ 20 տոկոսով, իսկ հետո թանկացավ 20 տոկոսով: Ինչպիսի՞ն է արդյունքը, եթե համեմատենք առաջին քաղաքում կաթի գնի հետ»: Այստեղ կարելի է ստուգել սովորողների ունակությունը, թե ինչպես են նրանք կապում տոկոսները հասարակ կոտորակների հետ՝ որևէ մեծություն р%–ով մեծացնելը և 1+–ով բազմապատկելը և այլն, այսինքն` հաճախակի հանդիպող և գործնական կիրառություններում չափազանց կարևոր պատկերացումների առկայությունը նրանց մոտ:

Պարզաբանման համար այստեղ կարելի է սխեմատիկ դիագրամներ օգտագործել:
Օգտակար է սովորողներին ոչ մեծ տեղեկատվական աղյուսակներ (սառույցի և ջրի տարբեր քանակության դեպում և այլն) կազմել առաջարկելը, դրանք գրաֆիկներով ձևավորելը և այլն:

Լուսանկարի աղբյուրը