Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրեր

Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրները, հավանաբար, նույնքան հին են, որքան մաթեմատիկան: Առանց շատ հեռուն գնալու, նշենք, որ այդ խնդիրներից հանդիպում են Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки» գրքում: Այսպես, այդ գրքի 1914թ. հրատարակված (չորրորդ հրատարակություն) առաջին մասի 35-րդ խնդիրն այսպիսին է. «Երկու մարդ պետք է հավասրապես բաժանեին ութ դույլ գինին, որը լցված է ութ դույլանոց տակառում: Նրանք ունեին հինգ և երեք դույլանոց երկու տակառ: Ինչպե՞ս կարող են կիսել գինին, օգտվելու միայն այդ երեք տակառներից»: Այդ գրքում հաջորդ երկու խնդիրները նույնատիպ խնդիրներ են: Այսպիսի խնդիրներ հանդիպում են թվաբանության վերաբերյալ գրեթե բոլոր գրքերում և դասագրքերում: Ուսուցիչների մեծ մասը լուծում են այսպիսի խնդիրներ իրենց դասերի ընթացքում:

«Մաթեմատիկոսի գործունեություն» ընտրությամբ դասաժամերին, որոշեցինք 4-5 -րդ դասարանցիների հետ ավելի մանրամասն զբաղվել վերալցումների վերաբերյալ խնդիրերով:

Խնդիրը կարելի է այսպես ձևակերպել. «Ունենք տարբեր տարողությամբ երկու տարա, որոնց վրա նշումներ չկան: Ինչպե՞ս ջրի տարբեր ծավալներ ստանանք»:

Մեր առջև դրված նպատակը ոչ թե միայն այդպիսի խնդիրներ լուծելն էր, այլ դրանք որպես նյութ օգտագործելով` մաթեմատիկայով զբաղվելը:

Սկսեցինք պարզագույն դեպքից:

Խնդիր 1: Ունենք ջրի ծորակ և երկու տարբեր տարողությամբ տարաներ`1լ, 3լ:
Հարց: Փորձեք ստանալ 1լ, 2լ, 3լ ջուր:

Լուծում: Նախ ուսումնասիրեցինք տարաները, պարզեցինք, որ 1լ տարողությամբ տարայի մեջ հնարավոր չէ տեղավորել 2 լ ջուր, առավել ևս` 3լ:
1լ ստանալու համար 1լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
3լ ստանալու համար 3լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
2 լ ստանալու համար 1լ տարայի մեջ լցնենք ջուր, դատարկենք 3լ տարայի մեջ: Կրկնենք այս աշխատանքը:
Կամ՝ 3 լիտրանոց տարան լիքը լցնենք ջրով, և դրանից դատարկենք մեկ լիտրանոց տարայի մեջ: Այդ դեպքում 3 լիտրանոց տարայում կմնա ճիշտ 2լ:

Խնդիր 2։ Ունենք 1լ և 4 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք` 1լ, 2լ, 3լ, 4լ ծավալով ջուր:

Լուծում: 
1լ ստանալու համար1լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:
2լ ստանալու համար չորս լիտրանոց տարայի մեջ դատարկենք նախապես լցված մեկ լիտր տարողությամբ տարայի ջուրը, աշխատանքը կրկնենք: Կամ 4 լիտրանոցը լիքը լցնենք և երկու անգամ 1 լիտրանոցով դատարկենք:
3լ ստանալու համար մեկ լիտր տարողությամբ տարան երեք անգամ ջուր լցնենք և ջուրը դատարկենք չորս լիտրանոց տարայի մեջ: Կամ 4 լիտրանոցը լիքը լցնենք ջրով և մեկ լիտրը դատարկենք:
4լ ստանալու համար 4լ տարողությամբ տարան ամբողջությամբ լցնենք ջրով:

Տեսանք, որ եթե տարաներից մեկը մեկլիտրանոց է, խնդիրը միշտ պարզ լուծում է ունենում:

Խնդիր 3։ Ունենք 3լ և 5 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք` 1լ, 2լ, 3լ, 4լ, 5լ ջուր:

Լուծում:
3լ ստանալու համար 3 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք ջրով:
5 լ ստանալու համար 5 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք ջրով:
1լ ստանալու համար 3 լիտրանոցը լիքը կլցնենք և կդատարկենք 5 լիտրանոցի մեջ, նորից 3 լիտրանոցը լիքը կլցնենք և կդատարկեն 5 լիտրանոցի մեջ, մինչև այն լիքը լցվի: Այդ դեպքում 3 լիտրանոցի մեջ կմնա 1 լիտր ջուր:
2լ ստանալու համար 5 լիտրանոցը ամբողջությամբ կլցնենք, հետո կդատարկենք 3 լիտրանոցի մեջ, մինչև այն լցվի. 5 լիտրանոցի մեջ կմնա ճիշտ 2 լ ջուր:
4լ ստանալու համար կրկնենք 1լիտր ստանալու համար արված քայլերը, մինչև 5 լիտրանոցում ունենանք 1լ ջուր, այնուհետև ավելացնենք ևս 3 լիտր ջուր: 5 լիտրանոցում կունենանք 4լ ջուր:

Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրների լուծման ժամանակ հարմար է քայլերը գրառել աղյուսակի տեսքով:

Խնդիր 4: Ունենք 3լ և 7 լ տարողությամբ երկու տարա: Ինչպե՞ս ստանանք.

Ա) 1լ
Բ) 2լ
Գ) 3լ
Դ) 4լ
Ե) 5 լ
Զ) 6լ
Է) 7լ ջուր:

Լուծում:

Ա) 1լ ստանալու համար 7 լիտրանոցը պետք է լիքը լցնենք, հետո երկու անգամ դրանից 3լ դատարկենք: Այս լուծումը հարմար է աղյուսակի տեսքով ներկայացնել: Այպես լուծումը ավելի տեսանելի է, հակիրճ է, երևում է քայլերի քանակը:

0 3 0 3
7 4 4 1

Բ) 2լ ստանալու համար`

3 0 3 0 3 2
0 3 3 6 6 7

Գ) 3լ ստանալու համար`

3
0

Դ) 4լ ստանալու համար`

0 3
7 4

Ե) 5լ ստանալու համար`

3 0 3 0 3 2 2 0 3 0
0 3 3 6 6 7 0 2 2 5

Կամ

0 3 0 3 0 1 1 3
7 4 4 1 1 0 7 5

Զ) 6լ ստանալու համար`

3 0 3 0 3
0 3 3 6 6

Է) 7լ ստանալու համար`

0
7

Խնդիրը մի քանի տարբեր տարաների համար (տարաների տարողությունները մենք էինք տալիս) լուծելուց հետո առաջարկեցինք, որ յուրաքանչյուր սովորող ինքը ընտրի տարաների տարողությունը և փորձի խնդիրը լուծել: Եղան սովորողներ, որ գործը հեշտացնելու համար տարաներից մեկը վերցրին մեկ լիտրանոց: Պատահեցին նաև մեզ հետաքրքրող դեպքեր՝ 3լ և 6լ, 2լ և 10լ, 3լ և 9լ: Այս թվազույգերը ընտրած սովորողները չկարողացան (մենք էլ չկարողացանք) բոլոր անհրաժեշտ ծավալներն ստանալ: Մեզ հետաքրքրեց պատճառը, թե ինչու որոշ թվազույգերի համար կարողանում ենք ստանալ բոլոր ծավալները, իսկ ուրիշների համար՝ ոչ: Դրա համար կազմեցինք թվազույգերի համար աղյուսակ՝

կարողանում ենք

(3, 5)

(3, 8)

(3, 7)

(4, 7)

չենք կարողանում

(3, 6)

(2, 10)

(3, 9)

(5, 10)

Փորձեցինք պարզել, թե ինչ տարբեր հատկություններ ունեն այս թվազույգերը: Ճիշտ ժամանակն էր կրկնել բաժանարար, բազմապատիկ հասկացությունները, պարզ թվերը (4-րդ դասարանցիների համար սա նորություն էր, բայց շուտ ընտելացան): Փորձեցինք գտնել այդ թվազույգերում բերված թվերի բաժանարարները: Տեսանք, որ վերևում գրված թվազուգերի համար 1-ից բացի ուրիշ ընդհանուր բաժանարար չկա, մինչդեռ ներքևի տողում գրված թվերի համար կան (3-ի և 6-ի դեպքում 3-ն է, 2-ի և 10-ի դեպքում՝ 2-ը, 3-ի և 9-ի դեպքում՝ 3-ը, 5-ի և 10-ի դեպքում՝ 5-ը): Հասանք փոխադարձաբար պարզ թվերին՝ որպեսզի մեր խնդիրը կարողանանք լուծել, տարաների ծավալները արտահայտող թվերը պետք է փոխադարձաբար պարզ լինեն: Որպես մեր ստացած եզրակացության ստուգում` փորձեցինք 9լ և 10լ դեպքը և տեսանք, որ 1-ից մինչև 10 թվերից յուրաքանչյուրը կարողանում ենք ստանալ:

Վերալցումների վերաբերյալ խնդիրը քննարկելուց հետո խնդիրը ձևափոխեցինք: Մինչև հիմա փորձում էինք ստանալ տարաներից մեծի տարողությունից փոքր ծավալներ: Իսկ ի՞նչ կարելի է ասել դրանից մեծ թվերի մասին:

Խնդիր 5: 1-100 միջակայքում ընկած թվերը փորձեք ներկայացնել 3 և 7 գումարելիների գումարի տեսքով, այլ կերպ ասած` գտնել երկու այնպիսի թիվ, որ մեկը բազմապատկելով 3-ով, մյուսը՝ 7-ով և ստացված արտադրյալները գումարելով, ստանանք տրված թիվը (այս դեպքում այդ թվերը կարող են նաև 0 լինել):

Սկզբում նշեցինք 3-ի պատիկ թվերը (3x1, 3x2, 3x3, 3x4, 3x5....)։

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30

31,32,33,34,35,36,37,38,39,40

41,42,43,44,45,46,47,48,49,50

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60

61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

71,72,73,74,75,76,77,78,79,80

81,82,83,84,85,86,87,88,89,90

91,92,93,94,95,96,97,98,99,100

Հետո նշեցինք 7-ի պատիկ թվերը (7x1, 7x2, 7x3, 7x4, 7x5....)։

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30

31,32,33,34,35,36,37,38,39,40

41,42,43,44,45,46,47,48,49,50

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60

61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

71,72,73,74,75,76,77,78,79,80

81,82,83,84,85,86,87,88,89,90

91,92,93,94,95,96,97,98,99,100

Շարունակելով մեր փորձը` գունավորեցինք 3-ի պատիկ թվերի և 7 թվի գումարը

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30

31,32,33,34,35,36,37,38,39,40

41,42,43,44,45,46,47,48,49,50

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60

61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

71,72,73,74,75,76,77,78,79,80

81,82,83,84,85,86,87,88,89,90

91,92,93,94,95,96,97,98,99,100

Շարունակեցինք գունավորել 7-ի պատիկ թվերի և 3 թվի գումարը։

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

11,12,13,14,15,16,17,18,19,20

21,22,23,24,25,26,27,28,29,30

31,32,33,34,35,36,37,38,39,40

41,42,43,44,45,46,47,48,49,50

51,52,53,54,55,56,57,58,59,60

61,62,63,64,65,66,67,68,69,70

71,72,73,74,75,76,77,78,79,80

81,82,83,84,85,86,87,88,89,90

91,92,93,94,95,96,97,98,99,100

Սովորողները նկատեցին, որ 11 թվից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ 3, 7 թվերի օգնությամբ: Նկատեցինք նաև, որ այս թվերը փոխադարձաբար պարզ թվեր են: Հարց առաջացավ` եթե թվերի զույգը փոխադարձաբար պարզ չէ, օրինակ` 5, 10 թվերը, այս դեպքում հնարավո՞ր է ստանալ 1-100 թվերը: Փորձեր կատարելուց հետո համոզվեցինք, որ դա հնարավոր չէ, ստացվում են միայն 5-ի պատիկ թվերը, քանի որ 5-ը և 10-ը ունեն ընդհանուր բաժանարար:

Դիտարկեցինք էլի մի քանի օրինակներ։

Ա) 3, 5, թվերի միջոցով, յուրաքանչյուրից քանի՞ անգամ վերցնելով կարող ենք ստանալ 1-100 թվերը: Ստացանք, որ յոթ թվից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ:

Բ) 4 և 11 թվերի միջոցով, յուրաքանչյուրից քանի՞ անգամ վերցնելով կարող ենք ստանալ 1-100 թվերը: Պարզվեց, որ 29 թվից հետո, հնարարվոր ստանալ բոլոր թվերը:

Այսպիսի հարց ձևակերպեցինք. իմանալով այդ երկու փոխադարձաբար պարզ թվերը` կարո՞ղ ենք գտնել այն ամենփոքր թիվը, որից մեծ ցանկացած թիվ կարող ենք ստանալ:

Նորից դիմեցին աղյուսակի օգնությանը՝

թվազույգերը

(3, 5)

(3, 7)

(4, 11)

որոնելի թիվը

7

11

29

Օրինակներից ելնելով` 5-2 դասարանի սովորող Արղության Անին շատ հետաքրքիր եզրակացություն արեց (իր բառերով՝ «մի գաղտնիք եմ գտել»): Եվ ներկայացրեց իր գտած «գաղտնիքը». «այդ թվերը բազմապատկենք իրար հետ, հետո ստացվածից հանենք թվերից մեկը, հետո մյուսը»: 

Կամ, եթե նշված երկու թվերը փոխադարձաբար պարզ են`
1.հաշվենք այդ թվերի արտադրյալը,
2.հաշվենք այդ թվերի գումարը։
Արտադրյալի և գումարի տարբերությունը կլինի այն թիվը, որից հետո բոլոր թվերը հնարավոր է ստանալ նախապես տրված երկու թվերով:

Օրինակ` ունենք 7 և 11 թվերը:

  1. Հաշվենք այդ թվերի արտադրյալը` 77։
  2. Հաշվենք այդ թվերի գումարը`18։
  3. Տարբերությունը կլինի` 77-18=59։
    Այսինքն` 59-ից հետո բոլոր թվերը կարելի է ստանալ 7, 11-ի միջոցով:

Ստանալուց հետո խոսեցինք, որ սա ընդամենը ենթադրություն է, որը մեր ստուգած դեպքերում ճիշտ է, և ամեն առանձին դեպքում կարող են ստուգել՝ այն ճիշտ է, թե՝ ոչ: Բայց մի քանի տարի էլ որ մեծանան, կփորձենք մեր ստացած արդյունքը ապացուցել:

Նշենք, որ մաթեմատիկական գրքերում շատ է հանդիպում հետևյալ խնդիրը. «Ապացուցեք, որ 7-ից մեծ ցանկացած թիվ կարելի է ներկայացնել 3-երի և 5-երի գումարի տեսքով»: Օրինակ՝ И. С. Соминский «Метод математической индукции», 1965թ. գրքում (առաջին գլուխ, 10-րդ օրինակ): Ի դեպ, այս գիրքը հայերեն թարգմանում է կրթահամալիրի 11-րդ դասարանի սովորող Ֆրեդ Սահակյանը: 

Համար: 
  • Deutsch
  • 日本語
  • Հայերեն
  • English
  • Georgian
  • Русский