Ֆլեշմոբը դասապրոցեսում

Արդեն մեկ տարուց ավելի է` կրթահամալիրում կազմակերպվում է ամենամսյա (նաև ամառային ամիսներին) ֆլեշմոբ[1] մաթեմատիկայից: Ֆլեշմոբից հետո առաջադրված խնդիրները քննարկվում են նաև ուսումնական պարապմունքի ժամանակ:

2016թ. սեպտեմբերյան ֆլեշմոբի չորրորդ մակարդակի առաջադրանքում կար հետևյալ խնդիրը.

Հայտնի է, որ 1993-ը պարզ թիվ է: Կա՞ն այնպիսի x և y բնական թվեր, որ x4-y4=1993:

Այս խնդրի՝ երկու անհայտով դիոֆանտյան հավասարման, լուծումը քննարկելուց հետո x2+y2=1993, x2-y2=1993, x3-y3=1993, x3+y3=1993, x4+y4=1993 հավասարումները դիտարկելու առաջարկ եղավ (մաթեմատիկայում կարևոր է արդեն քննարկված հարցից նոր հարցեր ստանալը):

Բերված հավասարումները հերթով դիտարկեցինք: Առավել հետաքրքիր և արդյունավետ եղավ  x2+y2=1993 հավասարումը (թվերի տեսությունում հայտնի հավասարում է, և նրա մասին շատ աշխատանքներ կան. օրինակ «Квант» ամսագրի 1999թ. 3-րդ համարում կա «Суммы квадратов и целые гауссовы чуска» հոդվածը, որտեղ այս հավասարումը քննարկված է): Այս աշխատանքում կարևոր էր ոչ այնքան մաթեմատիկական արդյունքը (մեր բացահայտածը համընկավ արդեն հայտնիի հետ), որքան ընթացքը:  Համացանցը մեզ մատուցեց, որ թվերի տեսությունում կա Ֆերմա-Էյլերի թեորեմ, ըստ որի 4k+1 տեսքի ցանկացած պարզ թիվ (որը 4-ի բաժանելիս 1 մնացորդ է տալիս) կարելի է ներկայացնել երկու բնական թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով և միայն մեկ ձևով: Քանի որ 1993-ը այդպիսի թիվ է (1993=4*498+1), ուրեմն առաջարկված հավասարումը լուծում ունի: Ուսումնասիրությունը ցույց տվեց, որ այդ թվերն են 45 և 12: Երկուսից մեծ ցանկացած պարզ թիվ կարելի է ներկայացնել կա՛մ 4k+1 (օրինակ՝ 5, 13, 17 ...), կա՛մ 4k+3 (օրինակ 3, 7, 19…) տեսքով:  Կարողացանք ապացուցել, որ 4k+3 տեսքի պարզ թիվը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով:

Փորձեցինք ընդհանրացնել խնդիրը (մաթեմատիկոսի համար կարևոր կարողություն), հանելով թվի պարզ լինելու պայմանը՝ գտնել այնպիսի չափանիշ, որին բավարարելու դեպքում թիվը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու ամբողջ (ներառյալ 0-ն) թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով: Այս խնդիրը լավ նյութ դաձավ մաթեմատիկոսի գործունությանը բնորոշ որոշակի աշխատանք կատարելու համար: Ուսումնասիրությունն աշխատատար էր (մի քանի պարապմունք պահանջվեց), և սովորողները տեսան, որ մաթեմատիկայում հանդիպում են խնդիրներ, որոնք լուծելու համար հարկ է լինում երկար ժամանակ ծախսել: Փորձեցինք գտնել 200-ից փոքր բոլոր այն բնական թվերը, որոնք կարելի է ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով (փորձարարություն): Դրա համար կազմեցինք 1-ից մինչև 14 բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը (15-ի քառակուսին արդեն 225 է) և գտանք դրանց հնարավոր բոլոր զույգերի գումարները (պահանվջում էր խնամքով աշխատանք, ինչը ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկոսն իր աշխատանքը շատ ուշադիր է կատարում): Արդյունքում 200-ից փոքր բնական թվերը բաժանվեցին երկու մասի՝ թվեր, որոնք հնարավոր է ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով, և թվեր, որոնք հնարավոր չէ: Բայց այդ թվերի դիտարկումը որևէ վարկած չհուշեց: Այդ ժամանակ հիշեցինք խնդիրը, որտեղից սկսել էինք, որ 4k+1 տեսքի պարզ թիվը կարող ենք ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով, իսկ 4k+3 տեսքի պարզ թիվը չենք կարող: Դժվար չեղավ ապացուցելը, որ 4k+3 տեսքի թիվը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու ամբողջ թվերի քառակուսիներ գումարի տեսքով: Բայց այդտեղից դեռ չէր հետևում, որ մնացած տեսքի թվերը կարելի է ներկայացնել:

Մեր աշխատանքի հաջորդ քայլը եղավ մինչև 200-ը եղած բնական թվերը պարզ արտադիրչների արտադրյալի տեսքով ներկայացնելը (նորից ծավալուն աշխատանք, որը պետք է խնամքով արվեր՝ միաժամանակ կրկնելով պարզ թվերը և բնական թիվը պարզ արտադրիչների վերլուծելը): Այդ արտադրիչների ուսումնասիրությունն էլ (փորձնական արդյունքների դիտարկումը) տվեց մեզ հետաքրքրող վարկածը՝ եթե բնական թվի պարզ արտադրիչների վերլուծության մեջ հանդիպում է 4k+3 տեսքի արտադրիչ՝ կենտ աստիճանով, ուրեմն այդ թիվը հնարավոր չէ ներկայացնել երկու բնական թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով: Մեր ստացած վարկածը փորձեցիք մի քանի քառանիշ թվի համար: Նշեցինք, որ ինչքան էլ բարենպաստ փորձերի քանակը մեծ լինի, այն դեռ ապացույց չէ: Մեր վարկածի ապացույցով չզբաղվեցինք. առայժմ մեր առջև այդպիսի խնդիր չենք դրել (հետագայում, միգուցե սովորողներից ինչ-որ մեկը հիշի այս խնդիրը և փորձի ապացուցել):

Այս աշխատանքում փորձ արվեց սովորողներին ներկայացնելու գիտական մեթոդի քայլերը՝ փորձարարություն (ինչը մաթեմատիկա դասավանդելիս, ցավոք, քիչ են օգտագործում), դիտարկում, եզրահանգում: Մաթեմատիկական պնդման ապացույցի անհրաժեշտության մասին խոսեցինք, բայց դրանով չզբաղվեցինք:  




[1] Մաթեմատիկայի ֆլեշմոբ – ամեն ամսվա վերջին չորեքշաբթի օրը կրթահամալիրի կայքում տեղադրվում են առաջադրանքներ մաթեմատիկայից՝ չորս մակարդակով: Առաջադրված տարբերակներից սովորողն ընտրում է իրեն հարմարը, լուծում առաջադրված խնդիրները և պատասխանները լրացնում դրանց համար նախատեսված տեղում: Առաջադրանքները կարող են կատարել մենակ, խումբ սովորողներով, ծնողների հետ:  

 

Համար: 
  • Deutsch
  • 日本語
  • Հայերեն
  • English
  • Georgian
  • Русский