Ենթադրություն և գիտական մեթոդ

Մաթեմատիկական հայտնություն

14-րդ գլուխը

Գլուխ 15

Ոչ մաթեմատիկական ինդուկցիան էական դեր է խաղում մաթեմատիկական հետազոտություններում։
Իսայ Շուր, Դիսերտացիա, 1901, I մաս

Գիտելիքի ցանկացած բնագավառում դժվար է ճշմարտությանը բավականաչափ մոտ նկարագրել մեթոդը, որին հետևել է առաջին բացահայտողը...
Այնուամենայնիվ, քանի որ սա վերաբերում է մաթեմատիկական ստեղծագործությանը, կարելի մի պարզ դիտողություն անել, ինչը բազմաթիվ անգամներ հաստատել է գիտության պատմությունը. դիտարկումը կարևոր տեղ ունի և մեծ դեր է խաղում այս պրոցեսում:
Շարլ Հերմիտ, Oeuvres, Փարիզ, 1905 — 1917, հ. IV, էջ 586

Դիտարկումները հայտնագործությունների առատ աղբյուր են ինչպես սուբյեկտիվ երևույթների, այնպես էլ մեր զգայարաններով ընկալվող իրական երևույթների աշխարհում:
Շարլ Հերմիտ, Գրագրություն Ստիլտյեսի հետ, Փարիզ, 1905, հ. I, էջ 332

§1. Գիտա-հետազոտական աշխատանքը միջնակարգ դպրոցի մակարդակում

Մաթեմատիկայի ուսուցումը պետք է նախատեսի սովորողների ծանոթացումը (հասկանալի է, որ թույլատրելի սահմաններում) մաթեմատիկական գործունեության բոլոր կողմերին: Հատկապես կարևոր է, որ ինքնուրույն ստեղծագոծական աշխատանքի ճանապարհ բացի, իհարկե, հնարավորի սահմաններում:

Սակայն մասնագետ-մաթեմատիկոսի գործունեությունը շատ խիստ և շատ կողմերից տարբերվում է դասարանում սովորողների պարապմունքներից: Այս տարբերություններից ո՞րն է հատուկ ուշադրության արժանի: Այս հարցին կպատասխանենք մի քանի օրինակների ծանոթանալուց հետո: Դրանք ցույց կտան, որ լավ ուսուցիչը, ընտրելով հարմար խնդիրներ և դրանք մատուցելով համապատասխան ձևով, նույնիսկ միջին դասարանին կարող է առաջարկել ինքուրույն հետազոտությանը մոտ ինչ-որ բան:

§2. Օրինակ

«Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան տրված P պարագծով հաշվեք նրա S մակերեսը»: Սովորական խնդրագրքերում հենց այսպիսի խնդիրներ են հանդիպում: Ընդհանուր առմամբ, սա վատ խնդիր չէ, միայն թե բավարար չափով հետաքրքիր չէ, եթե առանձին է ներկայացվում՝ նմանատիպ խնդիրներից առանձին: Համեմատեք ստորև բերված մատուցման ձևը սովորականի հետ և ուշադրություն դարձրեք տարբերությանը։

«Տափաստանները յուրացնելու առասպելական ժամանակներում,- ասում է ուսուցիչը,- երբ հողը շատ-շատ էր, իսկ մնացած ամեն ինչը հազիվ էր բավականացնում, Միջին Արևմուտքի ցանկացած բնակիչ շատ արոտավայր ուներ, բայց միայն հարյուր յարդ մետաղալար: Նա իր ունեցած ամբողջ մետաղալարով ցանկանում էր հողակտոր առանձնացնել: Մտորելով հողակտորնորի տարբեր ձևերի մասին, նա զարմացավ, թե որքան փոքր կտոր կարող է առանձնացնել: Եվ ահա, հողակտորի ի՞նչ ձև կնախընտրեիք: Բայց չմոռանաք, որ պետք է նրա մակերեսը հաշվեք, այնպես որ, ավելի լավ է ընտրեք մի պարզ պատկեր»:

- Քառակուսի:
- Ուղղանկյուն՝ 20 և 30 յարդանոց կողմերով:
- Հավասարակողմ եռանկյուն:
- Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն:
- Շրջան:

«Շատ լավ: Կարող եմ ես էլ մի քանի պատկեր ավելացնել՝ 10 և 40 յարդանոց կողմերով ուղղանկյուն, 42, 29 և 29 կողմերով հավասարասրուն եռանկյուն, 42, 13, 32, 13 կողմերով հավասարասրուն սեղան, կանոնավոր վեցանկյուն, կիսաշրջան»:

«Այս բոլոր պատկերները հավասրապարագիծ են, այսինքն, այնպիսին, որոնց պարագծերը հավասար են միմյանց. առաջարկվող խնդրում այն հարյուր յարդ էր: Քառակուսի յարդերով հաշվեք նշված պատկերների մակերեսները և դասավորեք նվազման կարգով: Նախքան մակերեսները հաշվելը, կարող եք փորձել գուշակել, թե որը կունենա ամենամեծ մակերես, որը՝ ամենափոքր»:

Այս խնդիրը կարելի առաջադրել միջին առաջադիմությամբ դասարանին, եթե միայն աշակերտների գիտելիքները բավարարում են»: Ահա խնդրի լուծումը աղյուսակի տեսքով.

«Էլի հարցեր կա՞ն»:

§3. Քննարկում

Մեր հիմնական նպատակը սովորողների ուշադրությունը պատկերների և նրանց մակերեսների այդ ցուցակին հրավիրելն է. այս աղյուսակի զննումը սովորողների՝ նկատառումների շարք պետք է առաջացնի: Ուսուցիչը այստեղ որքան քիչ հուշի, այնքան լավ: Եթե հապաղում են, ուսուցիչը կարող է քննարկումը աշխուժացնել՝ զգուշորեն հուշող հարցեր տալով, օրինակ այսպիսին.

«Ի՞նչ կարող եք ասել այս ցուցակի մասին»:

«Ցուցակում առաջին տեղում շրջանն է։ Ի՞նչ եք մտածում այս մասին»:

«Ցուցակում մի քանի եռանկյուններ և քառանկյուններ կան: Քառանկյուններից ո՞րն է ավելի առաջ մյուսներից: Իսկ ինչպե՞ս է վիճակը եռանկյունների դեպքում»:

«Այո, հնարավոր է, որ դուք ճիշտ եք, բայց դա ապացուցե՞լ եք»:

«Եթե դա չեք ապացուցել, ի՞նչ հիմքեր ունեք դրանք ճիշտ համարելու»:

«Եռանկյունը կարելի է դիտարկել որպես այլափոխված քառանկյուն, որի մի կողմը 0 է (կամ անկյուններից մեկը 180⁰ է): Կօգնի ձեզ այս դիտարկումը»:

Ի վերջո, շուտ թե ուշ և հնարավորին չափ ինքնուրույն, սովորողները պետք է գան հետևյալ եզրակացություններին.

Մեր ցուցակը հուշում է, որ.

• հավասար պարագիծ ունեցող բոլոր հարթ պատկերներից ամենամեծ մակերես շրջանն ունի.
• հավասար պարագիծ ունեցող քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսը քառակուսին ունի.
• հավասար պարագիծ ունեցող բոլոր եռանկյուններից ամենամեծ մակերես ունի հավասարակողմ եռանկյունը.
• կողմերի տրված n քանակը և նույն պարագիծն ունեցող բոլոր բազմանկյունների մեջ ամենամեծ մակերես ունի կանոնավորը:

Այս ցուցակը ուսումնասիրով կարելի հանգել եզրակացության, որ եթե երկու կանոնավոր բազմանկյուններ հավասար պարագծեր ունեն, ավելի մեծ մակերես կունենա այն բազմանկյունը, որի կողմերի քանակը ավելի մեծ է: (Ինչքան բազմանկյունը մոտ է շրջանի, հավանաբար, նրա մակերեսը այնքան մեծ է)։

Ասված պնդումներից ոչ մեկը չի ապացուցվում մեր ցուցակով, չնայած, այն կարող է որոշակի հիմք լինել, որպեսզի այդ պնդումներին հավատանք (հասկանալի է, ավելի կամ պակաս չափով):

Փորձը կարող է ավելի ընդհանուր դատողությունների բերել այս պնդումների մասին. օրինակ՝ պնդման ճշմարտացի լինելը ավելի շատ դեպքերի համար լուրջ փաստարկ է նրա ճշմարիտ լինելու համար:

Մեր ցուցակից կարելի է էլի շարք եզրակացություններ անել, ընդ որում օրինակների քանակի մեծացնելը կխթանի նոր վարկածների առաջացումը: 

§4. Էլի լի օրինակ

«Հին հույները,- ասում է ուսուցիչը,- եռանկյան մակերեսի մասին հիանալի առաջադրություն գիտեին, որը հիմա հայտնի է Հերոնի բանաձև անունով և արտահայտվում է S²=p(p-a)(p-b)(p-c) բանաձևով, որտեղ S–ը եռանկյան մակերեսն է, а, b և с-ն նրա կողմերը, իսկ   կիսապարագիծը:

Հերոնի բանաձևի ապացույցը այնքան էլ հեշտ չէ, և այսօր մտադիր չեմ դրանով զբաղվելու: Սակայն, առանց ապացույցի չենք կարող վստահ լինել, որ հավասարությունը ճիշտ է գրված. այս բանաձևը գրելիս հիշողությունս կարող էր դավաճանել ինձ: Կարո՞ղ եք ստուգել այս բանաձևը: Ինչպե՞ս կարելի է վարվել»:

- Ստուգենք հավասարակողմ եռանկյան դեպքում:

Այս դեպքում а=b=с, , և բանաձևը ճիշտ արդյունք է տալիս:

«Էլ ի՞նչ կարող ենք անել»:

- Եկեք ուղղանկյուն եռանկյան դեպքը ստուգենք:

- Եկեք հավասարասրուն եռանկյան դեպքը ստուգենք:

Առաջին դեպքում с²=а²+b², երկրորդ դեպքում а=b և երկու դեպքում էլ (այստեղ մեզ որոշակի հանրահաշվական ձևափոխություններ պետք կլինեն) բանաձևը ճիշտ արդյունք է տալիս: (Ընթերցողին խուրհուրդ ենք տալիս այդ ձևափոխությունները կատարել):

«Դե, սա ձեզ դուր եկա՞վ»:

- Այո, բանաձևը վստահության արժանի է:

«Կարո՞ղ եք ուրիշ մասնավոր դեպք մտածել, որը օրինակ կարող է ծառայել»:

«Ի՞նչ կարծիք ունեք այլափոխված եռանկյան մասին: Նկատի ունեմ եռանկյան սահմանային դեպքը, երբ այն վեր է ածվում հատվածի»:

Այդ դեպքում р=с (կամ а, կամ b), և մեր բանաձևը, ակնհայտորեն, ճիշտ արդյունք է տալիս:

- Ուսուցիչ. խնդրում եմ ասեք, թե քանի ստուգում պետք է անել համոզվելու համար, որ բանաձևը ճիշտ է:

Ընթերցողը կարող է երևակայել վերջին հարցից սկսվող բանավեճ:

§5. Ինդուկտիվ դատողության գրաֆիկական պատկերումը

Ի՞նչի հասանք և ինչի՞ չհասանք 4–րդ պարագրաֆում Հերոնի բանաձևի վերջին մի քանի ստուգումների արդյունքում: Յուրաքնաչյուր ստուգում վերաբերում էր որոշակի տեսակի եռանկյան, այդ պատճառով էլ հարցը կարող է լուծվել բոլոր հնարավոր ձևի եռանկյունները դիտարկելով:

Դիցուք, եռանկյան կողմերն են х, у և z, որոնք գրված են աճման կարգով, այսինքն՝ ։

Ընդ որում պարտադիր է, որ x+y>z:

Քանի որ մեզ համար կարևոր է միայն եռանկյան ձևը, այլ ոչ չափսերը, կարելի է համարել, որ z=1։

Այսպիսով, երեք անհավասարություն ունենք. 

Հիմա դիտարկենք x, y, 1 կողմերով եռանկյուն, կարճ ասած, (x, y, 1) եռանկյուն, հարթության (x, y) կետով (որտեղ x, y-դեկարտյան կոորդինատներ են): Երեք անհավասարությունները՝ միասին դիտարկելով բնորոշում են երեք կիսահարթությունների ընդհանուր մասով կամ հատումով որոշված կետերի բազմությունը: Այդ հատումը (1, 1), (0, 1) և գագաթներով եռանկյուն է (տես նկարը, որը պարունակում է (1, 1) գագաթը, նրանից ելնող երկու կողմերը, բայց չի պարունակում մյուս երկու գագաթները և երրորդ կողմը). այն իրենից ներկայացնում է տարբեր ձևի եռանկյունների ամբողջությունը, իսկ առանձին (x, y) կետը՝ առանձին (x, y, 1) եռանկյուն, ընդ որում տարբեր կետեր ներկայացնում են տարբեր ձևի եռանկյուններ:

Նկարի ո՞ր կետերն են համապատասխանում 4-րդ պարագրաֆում դիտարկված մասնավոր դեպքերին: Սկզբում Հերոնի բանաձևը ստուգեցինք հավասարակողմ եռանկյան համար: Այդ եռանկյանը համապատասխանում է (1, 1, 1) նշանակումը, որը նկարում պատկերված է (1,1) կոորդինատներ ունեցող կետով: Հետո այդ բանաձևը ստուգեցինք ուղղանկյուն եռանկյան համար: Եթե (х, у, 1)-ը ուղղանկյուն եռանկյուն է, նրա մեծ կողմը՝ 1-ը կլինի ներքնաձիգը և x² +y²=1:

Այստեղից հետևում է, որ ուղղանկյուն եռանկյունները գծագրի վրա պատկերվում են շրջանագծի (միավոր) աղեղով:

Այնուհետև դիտարկեցինք հավասրասրուն եռանկյունները: Այստեղ երկու դեպք պետք է տարբերենք. առաջինը՝ եռանկյուններ, որոնց երկար կողմերն են հավասար, և հետևաբար y=1, և երկրոդ՝ եռանկյուններ, որոնց կարճ կողմերն են իրար հավասար, այսինքն՝ երբ x=y։

Այստեղից հետևում է, որ հավասարասրուն եռանկյուններ ներկայացնող կետերը գծագրի վրա լցնում են երկու սահմանային հատվածները (այս գծագրի վրա՝ հոծ գծեր, որոնք նախորդ գծագրերի վրա կետերով էին պատկերված):

Վերջապես, այլափոխված (х, у, 1) եռանկյունների համար («զրոյական մակերեսով եռանկյուններ»). x+y=1:

Այդ եռանկյունները պատկերված են երրորդ սահմանային հատվածով, որը գծագրի վրա պատկերված է հոծ գծով (նախորդ նկարների վրա այն նշված էր սպիտակ կետերով):

Ուսումնասիրելով գծագրերը՝ կարող ենք մեզ համար տեսանելի պատկերացնել ինդուկտիվ դատողության զարգացումը: Սկզբում ստուգելու աստիճանը պատկերելու համար բավական էր մեկ կետը: Հետո գծագրի վրա ավելանում են ավելի և ավելի շատ հոծ գծեր, որոնք ներկայացնում են ստուգումներում ընդգրկված ավելի ու ավելի նոր դեպքեր:

Հատուկ տեսակի եռանկյուններին, որոնց համար ստուգել ենք Հերոնի բանաձևը, համապատասխանող կետերը տեղադրվում են գծերի վրա: Սակայն բանաձևը մնում է չստուգված ընդհանուր տեսքի եռանկյունների «հիմնական զանգվածի» համար, որոնք պատկերվում են այդ գծերով սահմանափակված տիրույթների ներքին կետերով: Ամեն դեպքում, այստեղ կարելի է նկատել՝ քանի որ բանաձևը ճիշտ էր եռանկյունը սահմանափակող գծերի բոլոր կետերի, ինչպես նաև այդ տիրույթը հատող գծի կետերի համար, բնական է հուսալ, որ այն ճիշտ կլինի նաև մնացած կետերի համար: Մասը հուշում է ամբողջը, և բավականին համոզիչ է հուշում:

§6. Մի օրինակ պատմությունից

Այստեղ կդիտարկենք մի տարածաչափական խնդիր: Ընդ որում կգնանք երկու խոշոր մաթեմատիկոսների հետքերով. նրանց անունները ավելի ուշ կհայտնեմ, թե չէ պատմությանս ազդեցությունը մասնակիորեն կկորչի:

1°. Նմանանությունը հարց է հուշում. բազմանիստը սահմանափակված է հարթ նիստերով, ինչպես բազմանկյունը սահմանափակված է ուղղի հատվածներով: Տարածության մեջ բազմանիստի և հարթության վրա բազմանկյան անալոգիան ակնհայտ է: Սակայն բազմանկյուններն ուսումնասիրելը ավելի հեշտ և մատչելի է, քան բազմանիստները. կարելի է սպասել, որ բազմանկյունների վերաբերող ցանկացած հարց շատ ավելի հեշտ կլինի, քան համապատասխան տարածաչափական հարցը, որը վերաբերում է բազմանիստների հատկություններին: Բազմանկյուններին վերաբերող ինչ-որ փաստ նկատելուց հետո պետք է փորձենք նմանատիպ հանգամանք գտնել բազմանիստների համար. ընդ որում լավ հնարավորություն կունենանք ուսանելի ինչ-որ բան հայտնաբերելու համար: Օրինակ, հայտնի է, որ եռանկյան ներքին անկյունների գումարը նույնն է բոլոր եռանկյունների համար և կախված չէ ո՛չ եռանկյան ձևից, ո՛չ չափսերից, և հավասար է 180^o, կամ երկու ուղիղ անկյան, կամ  (ռադիանային միավորներով. հետագայում անկյունների չափման համար կգերադասենք հենց այս միավորը): Ավելի ընդհանուր պնդում է, որ n-անկյան անկյունների գումարը (n-2) է: Չկա՞ նմանատիպ ինչ-որ բան բազմանիստների համար:

2°. Ձգտում ենք սպառել բոլոր հնարավորությունները. Մեր նպատակը դեռևս այնքան էլ պարզ չէ: Ցանկանում ենք ինչ-որ բան իմանալ բազմանիստի անկյունների գումարի մասին, բայց ի՞նչ անկյուններ նկատի ունենք: Բազմանիստի յուրաքանչյուր կողին երկնիստ անկյուն է համապատասխանում, որը կազմված է այդ կողով հատվող նիստերով: Բազմանիստի յուրաքանչյուր գագաթի մարմնային անկյուն է համապատասխանում՝ կազմված այդ գագաթում հատվող նիստերով (երեք կամ ավելի): Ո՞ր անկյունները արժի քննարկել: Այս կամ այլ տեսակի անկյունների գումարն ունի՞ ինչ-որ պարզ հատկություն: Ինչպիսի՞ն է վիճակը, օրինակ քառանիստի վեց երկնիստ անկյունների գումարի համար: Իսկ ի՞նչ կարելի ասել նրա չորս մարմնային անկյունների համար:

Պարզվում է որ այդ գումարներից ոչ մեկը անկախ չէ քառանիստի ձևից (տես օրինակ 15-ը): Ի՜նչ հիասթափություն: Չէինք սպասում, որ քառանիստը իրեն այդպես վատ կպահեր. կարծում էինք, թե այն նման է եռանկյանը: Սակայն, հավանաբար, ամեն ինչ դեռ կորած չէ, քանի որ դեռ բոլոր հնարավորությունները չեն սպառվել: Բազմանիստը, բացի դիտարկվածներից, ունի նաև այլ տեսակի անկյուններ (որոնք, ի միջայլոց, ավելի հասանելի են մյուսներից). բազմանիստի յուրաքանչյուր n-անկյուն նիստը ունի n հատ ներքին հարթ անկյուն: Այդ անկյունները ուղղակի կանվանենք բազմանիստի հարթ անկյուններ և կփորձենք գտնել բազմանիստի բոլոր հարթ անկյունների գումարը, որը կնշանակենք՝ (տես նկարը):