Հայտնագործությա՞ն օրենքներ

Մաթեմատիկական հայտնություն

12-րդ գլուխը

Գլուխ 13

Չնայած նման դեպքերում ընդհանուր հարհանգներ տալը դժվար է, և յուրաքանչյուր մարդ պետք է հետևի սեփական գիտակցության հրահանգներին, ամեն դեպքում կփորձեմ սկսնակներին ճանապարհ ցույց տալ:
Մինչև հիմա ես զբաղված էի մի շարք խնդիրներ լուծելով, քանի որ գիտություն ուսումնասիրելիս օրինակներն ավելի կարևոր են կանոններից:
Նյուտոն, Ընդհանուր թվաբանություն

§ 1. Կանոնները տարբեր են լինում

Խնդիրը լուծողի գործը առաջ գնալու հետ խնդրի արտաքին տեսքը անընդհատ փոփոխվում է: Լուծման յուրաքանչյուր նոր փուլում լուծողը հանդիպում է նոր իրավիճակի, և նրա առջև նորից կանգնում է միջանկյալ ճիշտ լուծում ընտրելու հարցը՝ ինչպե՞ս պետք է վարվել տվյալ իրավիճակում, ո՞րն է մոտակա քայլը: Եթե նա տիրապետում է խնդիրը լուծելու կատարյալ մեթոդի, անթերի ռազմավարության, նա կարող է հաջորդ քայլը գտնել միայն դատողությունների միջոցով՝ ելնելով եղած իրավիճակից և ղեկավարվելով խիստ կանոններով: Սակայն խնդիր լուծելու ամենահաս և անթերի մեթոդ, ցավոք, չկա. դեռևս գտնված չեն ցանկացած իրավիճակում կիրառելի խիստ կանոններ և, ամենայն հավանականությամբ, երբեք էլ չեն գտնվի:

Բայց կանոնները կարող են տարբեր բնույթի լինել: Վարքի կանոնները, սկզբունքները, ասույթները և ցուցումները հաճախ բավականին օգտակար են լինում, ամենևին չլինելով նույնքան խիստ, ինչպես մաթեմատիկայի կամ տրամաբանության կանոնները: Մաթեմատիկական օրենքը հիշեցնում է սևը սպիտակից բաժանող «երկարություն առանց լայնության»: Սակայն կան նաև շատ խելամիտ կանոններ, որոնք որոշակի ազատություն, հետագա շարժումների համար  որոշակի տարածություն են թողնում. այստեղ խիստ զատող գիծ չկա, իսկ երբեմն չկա ո՛չ սև, ո՛չ սպիտակ, այլ միայն գորշի տարբեր երանգներ:

Հավանաբար պետք է լինեն դրույթներ, մտածողության ձևեր, մտավոր ունակություններ, որոնք օգտակար են խնդիրներ լուծելիս հանդիպող շատ իրավիճակներում, հնարավոր է և նման իրավիճակներից շատերում: Ինչ էլ որ լինի, օրինակները և դատողությունները, որոնցով լիքն էին նախորդ գլուխները, կարծես վկայում են նման դրույթների գոյության օգտին: Այդ պատճառով էլ պետք չէ հարցնել. «Կա՞ն էվրիստիկայի օրենքներ, այսինքն՝  ճշգրիտ կանոններ, որոնց անհրաժեշտ է հետևել ինչ-որ բան հայտնագործելու համար»: Հարցը այլ կերպ պետք է ձևակերպել, հավանաբար այսպես. «Կա՞ն ինչ-որ սկզբունքներ կամ ասույթներ, որոնք արտահայտում են խնդիրը լուծելուն օգնող դրույթներ»:

§ 2. Բանականություն

Գործողությունը կամ դատողությունը բանական կանվանենք, եթե հիմված է պարզ, տեսանելի փաստարկումների վրա, ոչ թե մշուշապատ աղբյուրներից է բխում, որպես սովորություն, ճշգրիտ ուսումնասիրության չտրվող տպավորություն, զգացողություն և «ներշնչանք»: Պնդում, որը նրա ապացույցի քրտնաջան և քննադատական ուսումնասիրությունից հետո հասցնում ենք մաթեմատիակական թեորեմի աստիճանի. ահա բանական դատողության նախատիպ: Որոշակի տեսանկյունից մաթեմատիկական ապացույցների ուսումնասիրությունից ստացվող գլխավոր օգուտն այն է, որ նրանք մեզ ընդհուպ մոտեցնում են մտածելու այն իդեալական բանական գործելաձևին, որը ամենից շատ է վայել մարդուն,  homo sapiens «բանական էակին»:

Սակայն պարզ չէ, թե ինչպես պետք է արտահայտվի խնդիրը լուծողի գործողությունների բանականությունը: Դիտարկենք նրա դժվարություններն ավելի կոնկրետ՝ պատկերացնելով հաճախ հանդիպող տիպային ինչ-որ վիճակ: Ա խնդիրը լուծելիս պարզվում է, որ այն կապված ուրիշ Բ խնդրի հետ: Վերջինի ուսումնասիրությունը, հնարավոր է, որ մոտեցնի նպատակին, այսինքն՝ սկզբնական Ա խնդիրը լուծելուն: Սակայն հնարավոր է, որ Բ խնդրի ուսումնասիրությունը ժամանակի և ուժերի անպտուղ վատնում լինի: Այսպիսով, խնդիրը լուծողն ընտրության անհրաժեշտության առջև է կանգնած՝ շարունակի՞ աշխատանքը Ա խնդրի վրա՝ անտեսելով նրա նմանությունը Բ խնդրին, թե՞ հակառակը, ժամանակավորապես մի կողմ թողնի Ա խնդիրը, և զբաղվի նոր՝ Բ խնդիրն ուսումնասիրելով: Նրա առջև ծագած երկընտրանքն այն է, որ չգիտի՝ պետք է թե պետք չէ Ա խնդիրը վերլուծելիս որպես օժանդակ կամ միջանկյալ խնդիր ընդգրկել՝ Բ խնդիրը: Ի՞նչ հիմք ունի իր ընտրած որոշումը բանական համարելու: Կարևորագույն օգուտներից մեկը, որը լուծողը կարող է ստանալ Բ խնդրից, այն է, որ դրա վրա աշխատանքը կարող է շարժել հիշողությունը և գտնել տարրեր, որոնք օգտակար կարող են լինել սկզբնական Ա խնդիրը լուծելու համար: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Բ խնդրի վրա աշխատանքը ցանկալի արդյունք կտա: Գնահատել դա՝ հենվելով միայն խիստ «բանական» փաստարկների վրա, կարծես հնարավոր չէ. այստեղ խնդիրը լուծողը ստիպված է ինչ-որ չափով հենվել իր տարտամ զգացումների վրա:

Սակայն Բ խնդիրը որպես օժանդակ ընդգրկելու օգտին կարող են որոշ բանական փաստարկումներ լինել. դրանցից մի քանիսը մենք քննարկել են 9-րդ գլխում: Ինչպե՞ս կարող է լուծողը հաշվի առնել այդ երկու գործոնները, այսինքն, և՛ աղոտ, շատ սուբյեկտիվ զգացողությունները, և՛ խիստ օբյեկտիվ դատողությունները: Հնարավոր է, որ նա պետք է (և նման ընթացակարգը, թերևս ամենաբանականն է) որոշակի ժամանակի ընթացքում ուշադրությամբ վերլուծի հստակ ձևակերպված փաստարկները, իսկ հետո՝ վերջնական որոշում ընդունելուց առաջ, ամբողջությամբ չվստահելով այդ դատողություններին, դիմի իր ինտուիցիային, աղոտ և չփաստարկված զգացողություններին: Փորձը ցույց է տալիս, որ հաջողության հավանականությունը մեծ է, որ խիստ ձևակերպված դատողությունները նախօրոք կշռադատելը բարենապաստ ազդեցություն կարող է ունենալ ինտուցիայի, աղոտ զգացողությունների վրա. և գործողությունների նկարագրված ձևը, հավանաբար, կարելի է համարել ամենաբանականը:

Ինչ էլ որ լինի, խնդիրը լուծողը պետք է սովորի աղոտ զգացողությունների և հստակ փաստարկումների միջև հավասարակշռություն պահպանել: Գուցե սա ամենակարևորն է այն ամենից, ինչ պետք է սովորեր: Ինձ թվում է, որ գլխավոր կանոնը, որին պետք է հետևի խնդիր լուծողը, կարելի է այսպես ձևակերպել.

Երբեք ձեր զգացողություններին հակառակ մի՛ գնացեք, բայց աշխատեք սթափ գնահատել ձեր ծրագրին կողմ և դեմ բոլոր փաստարկները:

§ 3. Խնայողություն, բայց առանց կանխակալության

Խնայող լինելու ձգտումը բացատրության կարիք չունի: Յուրաքանչյուրին հասկանալի է ունեցածը խնայելու ցանկությունը՝ որքան հնարավոր է քիչ ժամանակ, ուժ և փող ծախսել առաջադրանքը կատարելիս: Ձեր ունեցածից ամենակարևորը, թերևս, խելքն է, և տնտեսման ամենակարևոր ձևը, հավանաբար, մտավոր ջանքերի խնայողությունն է: Ավելի շատ միջոցներով մի՛ արեք այն, ինչ ավելի քչով կարելի է անել: Սա տնտեսման հիմնական սկզբունքն է. դրան հանդիպում ենք խնդիր լուծելիս, երբ փորձում ենք լուծումը ստանալ՝ ծախսելով հնարավորին չափ քիչ օժանդակ նյութեր:

Իհարկե, սկզբում պետք է մանրամասն ուսումնասիրել խնդիրը և նրա հետ անմիջականորեն կապված նյութերը. բնական է սկսելը խնդիրը լուծելու այնպիսի հնարավորություն փնտրելուց, որը օժանդակ նյութերի ներգրավում չի պահանջում: Եթե նման հնարավորություն գտնել չի հաջողվում, սկսում են ուսումնասիրել այն նյութերը, որոնք պակաս անմիջականորեն են կապված խնդրի հետ, բայց բավականին մոտ են խնդրին: Եթե այստեղ էլ օգտակար բան չենք գտնում, կարելի է անցնել ավելի հեռու մանրամասների, բայց և սա է ընդհանուր սկզբունքը, որին պետք է հետևել՝ քանի կա առաջադրված խնդիրը լուծելու հնարավորություն՝ ելնելով ավելի մոտ օբյեկտներից,  ներքուստ դիմադրում ենք խնդրից համեմատաբար հեռու օբյեկտների վրա ժամանակ և ջանք ծախսելուն: Խելամիտ տնտեսման այս տարատեսակը կարելի արտահայտել հետևյալ ասույթով.

Հնարավորին չափ մոտ մնացեք խնդրին:

Ընդ որում, իհարկե, չենք կարող կանխատեսել, թե որքան ստիպված կլինենք հեռանալ անմիջապես խնդրի հետ կապված նյութից: Կատարյալ մեթոդին տիրապետող ավելի բարձր մի էակ կկարողանար վստահորեն կանխատեսել այն երթուղու ձգվածությունը, որը պետք է աներ խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ նյութեր հավաքելիս, բայց մենք դա անել չենք կարողանում: Տնտեսման սկզբունքի համաձայն սկզբում ուսումնասիրում ենք բուն խնդիրը, եթե դա բավարար չի լինում, ուսումնասիրում ենք նրա մերձակայքը: Եթե դա էլ բավական չլինի, ստիպված կլինենք ավելի հեռու գնալ: Ով տրամադրվել է խնդիրն ամեն գնով լուծելու, գուցե և իսկապես ստիպված լինի բարձր գին վճարել. ինչ էլ որ լինի, չեք կարող հենց սկզբից սահմանափակել ձեր ծախսերը: Համառ լուծողը պիտի հետևի սահմանափակումներից հրաժարվելու սկզբունքին, որը լրացնում է խնայելու սկզբունքը.

... բայց պատրաստ եղեք խնդրից հեռանալու այնքան, ինչքան հանգամանքները կստիպեն։

§ 4. Համառություն, բայց նաև ճկունություն  

«Հանճարը համբերությունն է»:
«Հանճարը մեկ տոկոս ոգեշնչում է և իննսունինը տոկոս քրտինք»:[1]

Այս արտահայտություններից մեկը Բյուֆոնինն[2] է, մյուսը՝ Էդիսոնինը. երկուսն էլ նույն միտքն են արտահայտում՝ խնդիր լուծող մարդը պետք է համառ լինի, պետք է հավատարիմ մնա իր նպատակին, ժամանակից շուտ չպետք է հանձնվի:

Սակայն ինչը ճիշտ է ամբողջի համար, գուցե ամբողջապես ճիշտ չլինի մասի համար: Խնդրի որևէ մանրամասն կամ ինչ-որ տեսակետ ուսումնասիրելիս խնդիր լուծողը, իհարկե, պետք է համառ լինի և ժամանակից շուտ չհանձնվի, սակայն միաժամանակ պետք է կարողանա գնահատել հեռանկարը և չհամառի մինչև վերջ քամված նարնջից հյութ հանելիս:

Մի՛ թողեք ուսումնասիրվող հարցը, քանի դեռ չի մարել ինչ-որ արգասաբեր միտք հայտնվելու հույսը:

Խնդիր լուծողի աշխատանքը զգալի չափով բոլոր միջոցների ակտիվացման աշխատանք է. խնդիրը լուծելու համար անընդհատ ստիպված է լինում նորանոր օբյեկտներ դուրս քաշել հիշողությունից: Հնարավոր է, որ անհրաժեշտ օբյեկտը խնդրի մի կոնկրետ մանրամասնի կամ տեսակետի ավելի սերտ կապված լինի, քան մյուս տեսակետներին և մանրամասներին, և հենց այդ մանրամասնի (կամ տեսակետի) շնորհիվ է ավելի հեշտ հիշվում: Սակայն խնդիր լուծողը սկզբում չգիտի, թե խնդրի հատկապես որ մանրամասը կամ տեսակետը ավելի կմոտեցնի նպատակին: Այդ պատճառով էլ նրան ուրիշ բան չի մնում անելու, քան դիտարկել շատ մանրամասներ և տեսակետներ, և դրանց շարքում՝ առաջին հերթին ամենակարևորները և հեռանկարայինները:

Որպեսզի լայնարձակ տարածք անցնի առանց ժամանակի կորուստի, խնդիրը լուծողը պետք է երկար կանգ չառնի նույն տեղում կամ շատ հաճախ չվերադառնա  դրան: Նրա փնտրտուքը պետք բազմակողմանի լինի, յուրաքանչյուր փուլում խնդիր լուծողը պետք է ձգտի ինչ-որ նոր բան տեսնելու՝ կա՛մ նոր մանրամասն, կա՛մ արդեն դիտարկված մանրամասների նոր զուգադրություն, կա՛մ, վերջապես, արդեն դիտարկված մանրամասները և դանց զուգադրումները նոր տեսանկյունից: Ընդ որում նպատակը, իհարկե, ամբողջ խնդիրը նոր, ավելի խոստումնալից լույսի ներքո տեսնելն է:

Կարճ ասած, համառության անհրաժեշտ լրացումը ճկունությունն է: Վերևում պնդեցինք, որ տարբեր հարցեր ուսումնասիրելիս պետք է համառություն ցուցաբերել:

… սակայն աշխատանքի յուրաքանչյուր փուլում ձգտեք դեռևս չշոշափված մասեր ներգրավել և օգտակար գաղափար ստանալ նրանից, ինչը դեռ չեք ուսումնասիրել:

Ամենաակնհայտ վնասը, ինչի մասին զգուշացնում է այս ասույթը, ճկունության կորուստն ու արդեն սովորական հունն ընկնելն է, այսինքն՝ նույն հնարքը նորից ու նորից կրկնելը՝ առանց ինչ-որ փոփոխությունների և առանց առաջընթացի [3]։

§ 5. Նախապատվության կանոն

Եթե նույն խնդիրը լուծելու համար երկու մոտեցում կա, որոնք միանման հեռանկարային են բոլոր առումներով, բացի նրանից, որ մեկը կարծես հեշտ է մյուսից, բնական է, որ սկզբում հեշտ մոտեցումը կփորձեք: Այստեղ դիտարկում ենք (գրեթե պարզունակ) նախապատվության կանոնը, որը կարելի է այսպես ձևակերպել.

Ավելի հեշտն առաջ է անցնում ավելի դժվարից:

Սակայն այսպիսի ձևակերպումն այս պնդումը դարձնում է ոչ լրիվ: Որպես սահմանափակում կամ վերապահում՝ պետք է ավելացնել «ceteris paribus»՝ «հավասար այլ պայմանների դեպքում» բառերը: Այդ առիթով նկատենք, որ չնայած այս կարևոր սահմանափակումը բացահայտ կերպով չենք արտահայտել, այն պետք է ենթադրվի նախապատվության կանոնի հետագա բոլոր նմանատիպ ձևակերպումներում: Ստորև նույն տեսակի ևս երկու նույնչափ ակնհայտ կանոն է բերվում։

Ավելի ծանոթն առաջ է ընկնում պակաս ծանոթից:
Տրված խնդրի հետ շփման ավելի շատ կետեր ունեցող օբյեկտն առաջ է ընկնում այն օբյեկտից, որը շփման կետեր ավելի քիչ ունի:

Այս կանոններն ակնհայտ են, սակայն դրանց կիրառությունը կարող է այդքան էլ ակնհայտ չլինել: Խնդիր լուծողից կարող է մեծ վարպետություն պահանջել «ceteris paribus» սահմանափակումը, հատկապես եթե այն ենթադրվում է, ոչ թե բացահայտ արտահայտվում:

Կան նաև նախապատվության ուրիշ, պակաս ակնհայտ, ոչ այդքան ընդհանուր և ավելի հատուկ կանոններ: Դրանք կարգավորված ուսումնասիրելու համար պետք է նախօրոք դասակարգել այն օբյեկտները, որոնց առնչվում են:

Ահա այդպիսի դասակարգումներից մեկը, հնարավոր է ոչ լրիվ, բայց այնպիսին, որ դրանում տեղավորվում են ուշադրության արժանի դեպքերից շատերը.

1°. Խնդրի մասերը:
2°. Օգտակար տեղեկություններ:
3°. Օժանդակ խնդիրներ:

Մոտակա երեք պարագրաֆներում կդիտարկենք այս դասակարգմանը համապատասխանող նախընտության կանոնները:

§ 6. Խնդրի մասերը

Ձեռնարկելով խնդրի լուծումը՝ դեռ չգիտենք, թե նրա մասերից որոնք առավել կարևոր կլինեն: Սրանից բխող վտանգն այն է, որ կարելի է չափից ավելի տարվել քիչ կարևոր ինչ-որ մանրուքով, որից հետո դժվար կլինի դա թողնվելը: Այդ պատճառով էլ սկսեք խնդիրը որպես ամբողջություն դիտարկելուց, մի՛ տարվեք մանրուքներով, թույլ տվեք, որ խնդիրը որպես միասնական կառույց զբաղեցնի ձեր միտքը, մինչև լրիվ հասկանաք խնդրի էությունը, հասկանաք ձեր առջև դրված նպատակները:

Ամբողջը առաջ է ընկնում մասերից:

Երբ այնպիսի տպավորություն կունենաք, որ որպես ամբողջություն խնդիրը դիտարկելն այլևս օգուտ չի տալիս, և կհամարեք, որ պետք է անցնել ավելի մանրամասն դիտարկումների, նկատեք, որ մանրամասների միջև  ստորակարգության նման ինչ-որ բան կա: Բարձրագույն կարգին, խնդրի «առանցքին», վերբերում են խնդրի գլխավոր մասերը: [Ինչպես արդեն ասվել է, պայմանը (նախադրյալը) և եզրակացությունը ապացուցման խնդրի գլխավոր մասերն են, իսկ անհայտը, տվյալները և պայմանները՝ որոնման խնդրի գլխավոր մասերն են]: Բնական է խնդրի մանրամասն ուսումնասիրությունը նրա գլխավոր մասերից սկսելը: Պետք է ոչ թե տեսնեք, այլ որոշակի պարզությամբ տեսնեք, թե որոնք են ցանկալի եզրակացությունը և նախադրյալները, որոնցից այն պետք է հետևի, կամ տրամադրության տակ եղած փնտրվող անհայտը և տվյալներն ու պայմանը, որը տվյալները կապում է անհայտին:

Գլխավոր մասերն առաջ են մյուս մասերից:

Գլխավոր մասերը կարող են ստորաբաժանվել. նախադրյալը կարող է բաղկացած լինել մի քանի պնդումներից, պայմանը՝ մի քանի կետից, անհայտը կարող է բաղադրյալ լինել՝ մի քանի բաղադրիչ պարունակող, տվյալները կարող են մի քանիսը լինել, չնայած սկբնական դիտարկման ժամանակ դրանք միասնական եք համարել: Գլխավոր մասերից հետո ձեր ուշադրությանն արժանի են այն մասերը, որոնցնրանք բաժանվում են. կարելի է առանձին ուսումնասիրել տվյալներից յուրաքանչյուրը, անհայտներից յուրաքանչյուրը, պայմանների կետերից յուրաքանչյուրը, ենթադրություններից և նախադրյալներից յուրաքանչյուրը, պնդումներից և եզրակացություններից յուրաքանչյուրը: Խնդրի մնացած մանրամասները կարելի է հիմնականից ավելի հեռու համարել, քան գլխավոր մասերը, որոնք կազմում են բարձրագույն կարգը, և նրանց ստորաբաժանումները, որոնք հաջորդ կարգն են կազմում: Առավել հեռացված մասերի միջև էլ կարող է ավագություն լինել: Այսպես, օրինակ, եթե որոշակի Ա հասկացություն ներառված է թեորեմի ձևակերպման մեջ, իսկ մեկ ուրիշ Բ հասկացություն՝ Ա հասկացության սահմանման մեջ, ակնհայտ է, որ Բ-ն ավելի հեռու է խնդրի առանցքից, քան Ա-ն): Աշխատեք խնդրի առանցքից ավելի չհեռանալ, քան անհրաժեշտ է: Այլ հավասար պայմանների դեպքում (այս վերապահումը միշտ անում ենք) խնդրի առանցքին ավելի մոտ մասն օգուտով օգտագործելու ավելի շատ հնարավորություն ունեք, քան ավելի հեռացվածը:

Առավել մոտիկ մասերը նախորդում են ավելի հեռուներին:   

§ 7. Օգտակար տեղեկություններ

Ինչպես արդեն մի քանի անգամ ասել ենք, խնդիրը լուծողի ամենակարևոր գործողություններից մեկը, եթե ոչ ամենակարևորը, իր ունեցած պահուստից անհրաժեշտ տարրերի ակտիվացումն է և դրանց կապումը խնդրի տարրերի հետ: Այդ աշխատանքը կարող է տարվել «ներսից» և «դրսից»: Խնդիր լուծողը կարող է բացել խնդիրը, բարեխղճորեն հետազոտել նրա տարբեր մասերն այն հույսով, որ այդպիսի հետազոտությունը կօգնի ինչ-որ օգտակար տեղեկություն քաղել՝ այդ ընթացքում մնալով խնդրի ներսում, բայց նա կարող է նաև իր խնդրին մոտենալ արտաքինից՝ թափառելով իր ունեցած գիտելիքների տարբեր տիրույթներում և այնտեղ փնտրելով օգտակար տեղեկություններ: Նախորդ պարագրաֆում դիտարկում էինք խնդիրը ներսից լուծողին, իսկ հիմա պատրաստվում ենք հետևել, թե նա ինչպես կաշխատի, եթե պատրաստվում է խնդրին մոտենալ դրսից:

Գիտելիքի և փորձի՝ անցյալում ստացած յուրաքանչյուր տարր կարող է կոնկրետ խնդրի լուծման համար պիտանի լինել, սակայն պարզ է, որ անհնար է կետ առ կետ քննել մեր ունեցած բոլոր գիտելիքները և մտքում վերակենդանացնել մեր ունեցած ամբողջ փորձը: Նույնիսկ եթե մաթեմատիկական խնդիր ենք լուծում և խոսքը միայն այն համեմատաբար հստակ և լավ կարգավորված գիտելիքի տիրույթից է, որը կազմված է նախօրոք լուծված խնդիրներից և ապացուցված թեորեմներից, որոնք վերաբերում են մաթեմատիկայի մեկ բնագավառի, այստեղ էլ հնարավոր չէ նախաձեռնել խնդրին վերաբերող ամբողջ նյութի հետազոտությունը՝ մեկը մյուսի ետևից ուսումնասիրելով յուրաքանչյուր օբյեկտ: Ստիպված ենք մեզ սահմանափակել՝ ընտրելով այնպիսի կետեր, որոնք ամենաշատ հնարավորություններն ունեն օգտակար լինելու:

Առանձին-առանձին դիտարկեն որոնման և ապացուցման խնդիրները:

Դիցուք՝ ունենք ապացուցելու վերաբերյալ խնդիր: Հենց նոր պարզեցինք նրա գլխավոր մասերը՝ անհայտը, տվյալները և պայմանները, և ահա հիշողության մեջ փնտրում ենք արդեն լուծած ինչ-որ խնդիր, որը կարող է օգտակար լինել: Բնական է այդ ընթացքում նկատի ունենալ այնպիսի խնդիր, որ ինչ-որ ընդհանուր բան ունի մեր խնդրի հետ, օրինակ՝ անհայտը կամ անհայտներից մեկը, տվյալների ամբողջ հավաքածուն կամ դրանցից միայն մեկը, էական որևէ հասկացություն և այլն: Հավանական է, շատ կամ քիչ, որ նախօրոք լուծված այդպիսի ցանկացած խնդիր կարող է օգտակար լինել, բայց դրանք բոլորը վերհիշել չենք կարող: Սակայն տրված և նախօրոք լուծված խնդիրների միջև հնարավոր շփման կետերի մեջ կա մեկը, որը ավելի մեծ ուշադրության է արժանի, քան մյուսները՝ անհայտը: (Հատկապես պետք է ձգտել օգտագործել նախօրոք լուծված ինչ-որ խնդիր նույն անհայտով, ինչ տրված խնդրում է, որպեսզի այն կիրառվի որպես ելման կետ՝ հակառակ ուղղությամբ լուծելու կամ վերջից սկիզբ շարժվելու համար): Իհարկե, որոշ հատուկ դեպքերում կարելի գերադասել շփման այլ կետեր, բայց, ընդհանրապես ասած,  a priori, այլ հավասար պայմանների դեպքում, սկզբում դիտարկեք անհայտը:

Նույն, տրված խնդրի, անհայտով ավելի վաղ լուծված խնդիրներն առաջ են ընկնում նախքան այդ լուծված մյուս խնդիրներից:

Եթե հնարավոր չի լինում գտնել նույն անհայտով նախօրոք լուծված խնդիր, կարելի է փորձել գտնել մոտիկ անհայտով խնդիր. այդ խնդիրներն էլ բարձր առաջնություն ունեն, չնայած ոչ ամենաբարձրը:

Ապացուցման խնդրի դեպքում իրավիճակը նմանատիպ է: Հիշողության մեջ նախօրոք ապացուցված օգտակար թեորեմ փնտրելիս սկզբում ուշադրություն դարձրեք եզրակացությանը:

Տրված թեորեմի հետ նույն եզրակացությունն ունեցող նախօրոք ապացուցված թեորեմներն առաջ են ընկնում մյուս ապացուցված թեորեմներից:

Ապացուցվող խնդրի հետ նույն եզրակացությունն ունեցող խնդրից հետո հաջորդ «ամենալավ» խնդիրը մոտիկ եզրակացություն ունեցող խնդիրն է:

§ 8. Օժանդակ խնդիրներ

Խնդիր լուծողի համար ամենադժվար պահերից մեկը հարմար օժանդակ խնդիր ընտրելն է: Նա այդպիսի խնդիր կարող է ընտրել՝ շարժվելով իր առջև կանգնած խնդրի ներսից կամ դրսից կամ (ինչը հաճախ ամենախելամիտ գործողությունն է լինում) շարժվելով փոխառփոխ մե՛կ ներսից, մե՛կ դրսից: Օժանդակ խնդիրներից որոշները, մյուս հավասար պայմանների դեպքում, ավելի մեծ հնարավորություն ունեն օգտակար լինելու, քան մյուսները:

Օժանդակ խնդիրը առաջարկված խնդրի լուծումը կարող է առաջ մղել շատ տարբեր եղանականերով. կարող է, օրինակ, ցույց տալ էական (այսպես ասած նյութական) օգնություն, մեթոդական օգնություն, կարող է խթանիչ ազդեցություն ունենալ, որպես օրինակ կամ ուղեցույց ծառայել կամ ընդամենը խնդիրը լուծողին օգտակար փորձառություն լինել: Սակայն ինչ տեսակի օգնություն էլ որ ակնկալենք, a priori ավելի մեծ հնարավորություն կա այն ստանալու օժանդակ խնդրից, որն ավելի անմիջականորեն և ամուր է կապված քննարկվող խնդրի հետ, քան այն խնդրից, որը թույլ է կապված մեր խնդրին:

Տրվածին համարժեք խնդիրները առաջ են ընկնում այլ խնդիրներից, որոնք հանգում են տրվածին կամ ընդգրկում են այն, իսկ վերջիններն էլ առաջ են ընկնում մնացած խնդիրներից:

Նույնը կարելի է ուրիշ կերպ ասել.

Երկկողմանի պարզեցումը առաջ է ընկնում միակողմանի պարզեցումից, վերջինն էլ առաջ է ընկնում մնացած բոլոր պակաս ամուր կապերից:

§ 9. Ամփոփում

Բանականություն։ Երբեք մի՛ գնացեք ձեր զգացողություններին հակառակ, բայց աշխատեք նաև սթափ կշռադատել ձեր պլաններին կողմ և դեմ բոլոր փաստարկները:

Խնայողություն, բայց առանց կանխակալության։ Որքան հնարավոր է՝ խնդրին մոտիկ մնացեք, բայց պատրաստ եղեք խնդրից հեռանալու այնքան, որքան ստիպում են հանգամանքները:

Համառություն, բայց և ճկունություն։ Ուսումնասիրվող հարցը մի՛ թողեք, քանի ինչ-որ բեղմնավոր միտք հայտնվելու հույսը չի մարել, բայց աշխատանքի յուրաքանչյուր փուլում ձգտեք ընդգրկել ձեռք չտված տիրույթ և օգտակար միտք կորզեք նրանից, ինչը դեռ չեք ուսումնասիրել:

Նախապատվության կանոնները

Ավելի հեշտը առաջ է ընկնում ավելի դժվարից:

Ավելի ծանոթը առաջ է ընկնում պակաս ծանոթից:

Դիտարկվող խնդրի հետ ավելի շատ ընդհանուր կետեր ունեցող օբյեկտը առաջ է ընկնում ավելի քիչ ընդհանուր կետեր ունեցող օբյեկտից:

Ամբողջը առաջ է ընկնում մասերից: Գլխավոր մասերն առաջ են ընկնում մյուս մասերից: Ավելի մոտիկ մասերը առաջ են ընկնում հեռուներից: Դիտարկվող խնդրի հետ նույն անհայտն ունեցող նախօրոք լուծված խնդիրը առաջ է ընկնում նախօրոք լուծված մյուս խնդիրներից: Թեորեմի հետ, որը պատրաստվում ենք ապացուցել, նույն եզրակացությունն ունեցող նախօրոք ապացուցված թեորեմները առաջ են ընկնում նախօրոք ապացուցված մյուս թեորեմներից: Տրվածին համարժեք խնդիրները առաջ են ընկնում այլ խնդիրներից, որոնք հանգում են տրվածին կամ ընդգրկում են այն, իսկ վերջիններն էլ առաջ են ընկնում մնացած խնդիրներից: Կամ՝ երկկողմանի պարզեցումը առաջ է ընկնում միակողմանի պարզեցումից, վերջինն էլ առաջ է ընկնում մնացած բոլոր պակաս ամուր կապերից:

Մի՛ մոռացեք նախապատվության բոլոր կանոններին մտովի ավելացնել՝ այլ հավասար պայմանների դեպքում:

13-րդ գլխի վերաբերյալ վարժություններ և լրացուցիչ նկատառումներ

1. Օժտված մարդ, մասնագետ և սկսնակ

Օժտված մարդը գործում է կանոնների համաձայն՝ չկասկածելով անգամ դրանց գոյության մասին: Մասնագետը գործում է կանոնների համաձայն՝ չմտածելով այդ մասին, սակայն անհրաժեշտության դեպքում միշտ կարող է հղում անել կանոնին, որով կարգավորվել է իր վարքը: Սկսնակը, ձգտելով կիրառել որևէ կանոն, մանրամասնորեն գնահատում է այն՝ ելնելով իր ունեցած (ոչ շատ) փորձից:

Իհարկե, ասվածը նորություն չէ: Սուրբ Ավգուստինը [4] հռետորների և ճարտասանության մասին ասել է. «Նրանք պերճախոս են, քանի որ հետևում են կանոններին. նրանք զուրկ են պերճախոսությունից, քանի որ հետևում են կանոններին»:

2. Պտուղների և ծրագրերի [5] մասին: Արժե՞ քաղել այդ պտուղը: Այն բավականին հասունացե՞լ է դրա համար: Իհարեկ, եթե այն թողնենք ծառին, միգուցե, ավելի հասունանա և ավելի համեղանա: Մյուս կողմից, մնալով ծառին, այն կարող են ուտել թռչունները կամ փչացնել միջատները, քամին պոկի, կամ հարևանի երեխաները գողանան, վերջապես, չեմ կարող կանխատեսել բոլոր դեպքերը, թե այն ինչպես կարող է փչացվել կամ ոչնչացվել: Արժե՞ այն ծառին թողնել: Թե՞ այն արդեն ունի բավականին լավ գույն, ձև, հոտ, բավականաչափ փափուկ է և արտաքինից՝ բավականին գրավիչ:

Գույնը, ձևը և հոտը, արտաքին տեսքը և փափկությունը, ընդհանրապես ասած, ինչ-որ բան ասում են պտղի համի մասին, բայց դրանք չեն երաշխավորում դրա որակը: Երբ զննում եմ իմ այգում աճած պտուղը, կարող եմ այդ հատկանիշներով բավականին վստահորեն գնահատել այն, գոնե այդպես եմ կարծում: Եթե պտուղն ինձ քիչ է ծանոթ, գնահատականը, իհարկե, ավելի մոտավոր կլինի: Ինչ էլ որ լինի, պտղի համի գնահատականը նրա արտաքին տեսքով հազիվ թե բավակաչափ օբյեկտիվ լինի: Նման գնահատականները զգալի չափով կախված են անձնական փորձից, որը հազիվ թե լրիվ օբյեկտիվ համարվի, և որը քիչ կապ կունենա բոլորի համար համոզիչ փաստարկների հետ:

Արժի՞ այդ քայլն անել: Ծրագիրը բավականաչափ հասունացե՞լ է, որպեսզի այն կյանքի կոչենք: Իհարկե, լրիվ վստահություն, որ մեր ձեռնարկած ծրագիրը ցանկալի արդյունք կտա, չունենք: Եթե նրա մասին ավելի շատ մտածենք, կարող ենք ակնկալիքներն ավելի լավ գնահատել: Մյուս կողմից, վաղ թե ուշ, ինչ-որ բան պետք է անել, իսկ հիմա ավելի լավ ծրագիր մտածել չեմ կարող: Արժե՞ անմիջապես անցնել այդ ծրագիրն իրականացնելուն: Բավականաչա՞փ հեռանկարային է: Ինչպես պտուղները հավաքելիս, այնպես էլ ծրագրերն իրականացնելիս որոշակի դատողություններ կարող են կուտակվել, բայց վերջնական որոշումը հազիվ թե թելադրված լինի միայն դատողության հիմնավորումներով: Հավանականության գնահատումը, որ պտղի համը կամ խնդրի լուծման ընթացքում ստեղծված իրավիճակը բավականաչափ բարենպաստ են, կախված է սուբյեկտիվ զգացողություններից, որոնք հնարավոր չէ մինչև վերջ վերլուծել:  

3. Աշխատանքի ոճը։ Յուրաքանչյուր մեկը, որ կփորձի ձևակերպել էվրիստիկայի կանոնները, հաշվի պիտի առնի, որ տարբեր մարդիկ տարբեր ձևերով են խնդիր լուծում: Խնդիր լավ լուծող ամեն մարդ իր սեփական ոճն ունի:

Փորձենք համեմատել երկու խնդիր լուծողների՝ մեկը ճարտարագետի մտքի կտվածքով, մյուսը՝ ֆիզիկոսի: Փորձելով լուծել միևնույն խնդիրը՝ նրանք տարբեր ձևերով են աշխատում, քանի որ նրանց համար կարևորը հարցի տարբեր կողմերն են: Ճարտարագետը փնտրում է պարզ, կարճ, արդյունավետ լուծում («ամենաքիչ վատնողը», «ամենանպատակահարմարը»): Իսկ ֆիզիկոսը փորձում է գտնել ընդհանուր սկզբունքը, որի վրա հիմնվում է լուծումը: Ճարտարագետն ավելի հակված է «արդյունավետ մտածելակերպին», ֆիզիկոսը՝ «ստեղծական» (տես գլուխ 12-ի լրացուցիչ նկատառումներից 16-րդը): Հենց դրա համար էլ, նույն նպատակը հետապնդելով, նրանք առավելություն են տալիս տարբեր միջոցների:

Ավելի կոնկրետ օրինակ դիտարկենք: Դիցուք, խնդրին, որը փորձում են լուծել ճարտարագետը և ֆիզիկոսը, երկու մոտեցում կա: Մի կողմից՝ դիտարկվող խնդիրը որոշ նմանություն է ցուցաբերում արդեն լուծված Ա խնդրի հետ: Մյուս կողմից՝ այդ խնդիրը, հավանաբար, ենթարկվում է Բ ընդհանուր մեթոդով թելադրվող ընթացակարգի: Այդ երկու՝ Ա և Բ մոտեցումների միջև պետք է ընտրություն կատարել: Հակված եմ մտածելու, որ նշված պայմանների դեպքում (մյուս պայմանները հավասար համարելով) ճարտարագետը կնախընտրի ելնել Ա կոնկրետ խնդրից, իսկ ֆիզիկոսը՝ ընդհանուր դատողություններից:

Այս օրինակը հանգեցնում է ընդհանուր պնդման այն մասին, որ խնդիրը լուծողի ոճը, ըստ էության, նրա ընտրած նախասիրությունների և գերակայությունների համակարգն է: Խնդիրը լուծողը § 9-ում ամփոփված նախընտրելու կանոններին կարող է ուրիշներն էլ ավելացնել (ասենք՝ այսպիսիք. «Ընդհանուր մեթոդները առաջ են ընկնում առանձին փաստերից», կամ սրա հակառակը): Ավելին, նա որոշ կանոնների կարող է ավելի շատ նշանակություն տալ, քան մյուսներին («Բարդ իրավիճակում X կանոնը ավելի մեծ կշիռ ունի, քան Y կանոնը):