Կարևոր հարցեր

Հայրիկ-մայրիկների մաթեմատիկա։ Տնայինը՝ առանց տառապանքի

Ներածություն

Յուրաքանչյուր ծնողի կյանքում պահ է գալիս, որից շատերը վախենում են. «Մայրիկ (հայրիկ), մաթեմատիկայի տնայինը միասին անե՞նք»: Իհարկե, մի ժամանակ, երբ ինքներդ էլ մանուկ էիք, անցել եք այս ամենի միջով։ Բայց իրավիճակում, երբ ձեզնից օգնությունը են ակնկալում, բոլորովին այլ զգացումներ են առաջանում։ Չէ՞ որ անցած տարիների ընթացքում կատարվել են բազմաթիվ փոփոխություններ. փոխվել է մաթեմատիկան, փոխվել են մեթոդները, հնարավոր է, որ փոխվել է երեխաների վերաբերմունքը ծնողների նկատմամբ։ Վերջիները, համենայն դեպս, այդպես էլ կարծում են, թեև չի բացառվում, որ մայրիկները և հայրիկները մտածում են մոտավորապես միևնույն բանը արդեն մի քանի հարյուր տարի:

Բոլոր դպրոցական առարկաներից հենց մաթեմատիկան է ծնողներին ամենից շատ անհանգստություն պատճառում: Բազմիցս հանդիպել ենք մարդկանց, ում անհանգստացնում է, որ չեն կարողանում լուծել իրենց երեխաներին հանձնարարված տնային առաջադրանքները: Բայց ուրիշ տեսակի հայրիկներ և մայրիկներ էլ կան: Նրանք քիչ թե շատ գլուխ հանում են մաթեմատիկայից, և նրանց այլ բան է հուզում: Նրանց համար խնդիրն այսպիսի տեսք ունի՝ այսօր դպրոցում դա բոլորովին այլ կերպ են անում: Հայրիկի բոլոր փորձերը ցուցադրելու համար սյունակով հանելու սովորական մեթոդը. «Այսպես, վերին տողում մի տասնյակ ավելացնում ենք և այդ տասնյակով հանում ենք ներքևի տողի հաջորդ կարգի թիվը…». շշմած երեխան լսում է սառած հայացքով և, ի վերջո, գնում է բողոքելու մայրիկին. «Հայրիկն ինձ ուղղակի շփոթեցրեց»:

Այս գիրքը կոչված է օգնելու ծնողներին, որ նորից ծանոթանան մաթեմատիկայի հետ, տեսնեն այս առարկան նոր լույսի ներքո և հասկանան, թե ինչու են այսօր նույն բաներն անում այլ կերպ (և մի մասը՝ շատ լուրջ պատճառներով), ինչպես նաև ավելի լավ հասկանան, թե ինչ է կատարվում երեխայի գլխում, երբ նա պնդում է, որ «պարզապես չի մտնում»: Եվ մեր նպատակն է առաջին հերթին այնպես անել, որ մաթեմատիկայի  տնայինը միայն հաճույք լինի, ինչը որ շատ է պակասում։

Դպրոցական մաթեմատիկան համարվում է անընդգրկելի առարկա, և հույս չունենք այն ամբողջությամբ ներառել մի գրքում: Ուստի կկենտրոնանանք հիմքերի վրա, նրա, ինչ երեխաները յուրացնում են (կամ պետք է յուրացնեն) տարրական դպրոցում: Այդ «հիմքերի» զգալի մասը այնքան էլ պարզունակ չէ։ Իրականում 11 տարեկան երեխայի համար նախատեսված թեստերում որոշ առաջադրանքներ լուրջ փորձություն են մեծահասակների մեծ մասի համար: Բայց այս գրքու սինուսներ և կոսինուսներ չեն լինի, վեկտորներ չեն լինի, և հաստատ չեն լինի քառակուսի հավասարումներ: Եթե ցանկանում եք դրանց մասին կարդալ, վերցրեք մեր մյուս գիրքը՝ «Մաթեմատիկան հաճույքով»:

Կարևոր հարցեր

Ծնողների հետ զրույցներում որոշ հարցեր այնքան պարբերաբար են հնչում, որ դրանք մեզ համար նշել ենք որպես «կարևոր» հարցեր։ Մեզ հաջողվել է առանձնացնել այդպիսի չորս  հարց, և դրանք այնքան կարևոր են, որ բերել ենք գրքի սկիզբ:

1. Ինչո՞ւ հիմա այնպես չեն անում, ինչպես մեր օրերում:

Երբ երեխան դառնում է վեց տարեկան, շատ մայրիկներ և հայրիկներ սարսափելի ցնցումներ են ունենում: Քիչ է, որ դպրոցում սովորական «մաթեմատիկայի» փոխարեն դասացուցակում նշվում է ինչ-որ «թվաբանություն»: Պարզվում է, որ երեխաները տուն են բերում մաթեմատիկական հասկացություններ և մեթոդներ, որոնք ծնողները պարզապես չեն ճանաչում: Շատ ընտանիքներում դա խնդիր է ծնում: Օգնել ձգտող ծնողները հանկարծ գիտակցում են. 1) իրենք չեն հասկանում, թե ինչ է անում երեխան, ուստի չեն կարող ասել, ճիշտ է, թե ոչ, և 2) երբ իրենք փորձում են ցույց տալ, թե ինչպես պետք է կատարել այս կամ այն մաթեմատիկական գործողությունը, հաջողվում է միայն վերջնականապես շփոթեցնել որդուն կամ դստերը: Արդյունքում շատ ծնողներ սուր հիասթափություն են զգում և սեփական անօգնականությունը:

Իրականում ի՞նչ է տեղի ունենում, և որպես ծնող ի՞նչ կարող եք անել:
Շատ դպրոցներում վաղուց անցել են այն ժամանակները, երբ մաթեմատիկայի դասերը անվերջ թվաբանական օրինակների լուծում է, որ պետք է լուռ կատարել՝ գումարման և բազմապատկման հարյուրավոր տարիներ առաջ մշակված մեթոդիկաներով: Այսօրվա դասերին ավելի շատ ուշադրություն է դարձվում համագործակցությանը և հետազոտություններին, իսկ լռության երկար ժամանակահատվածները հազվադեպ են:

Մեթոդիկաներն էլ են այլ դարձել: Մի օրինակ, թե ինչքան է ամեն ինչ փոխվել. մեծ թվերի բազմապատկման եղանակը` 79 և 43 թվերի օրինակով: Ծնողների մեծ մասը ժամանակին սովորել է «իրար տակ» բազմապատկել, և շատերը մինչ օրս օգտվում են այդ մեթոդից՝ հաշվարկները կատարելով թղթի վրա: Սակայն մեծահասակներից քչերը կարող են բացատրել, թե ինչպես է այս մեթոդը աշխատում: Կարելի է ասել, որ սա սև արկղի նման մի բան է. շրջում եք բռնակը, և տուփի մյուս կողմից հայտնվում է ճիշտ պատասխանը (համենայնդեպս, դուք այդ հույսը ունեք): Այսօր դպրոցում հիմնական շեշտադրումն արվում է դասավանդման այն մեթոդների վրա, որոնք օգնում են երեխաներին հասկանալ գործողությունների հիմքում ընկած մաթեմատիկական սկզբունքները, դրանով իսկ նվազեցնելով (տեսականորեն) սխալների հավանականությունը և հիմք ստեղծում հետագայում ավելի բարդ մաթեմատիկա հասկանալու համար:

Գործողությունների ուսուցման (այսպես է պետք) մեթոդներից այս անցումը բուն մաթեմատիկան հասկանալուն (ինչո՞ւ է այդպես լինում) տեղի է ունեցել մի քանի պատճառներով: Նախ՝ ընդունել են, որ այն հրաշալի ժամանակները, երբ տարրական դպրոցը ավարտած յուրաքանչյուր ոք կարող է բազմապատկել տակ-տակ, բաժանել անկյունով և այլն, երբեք էլ չեն եղել։ Մեծահասակների մաթեմատիկական հմտությունների մակարդակի հետազոտությունը մեկընդմիշտ վերջ դրեց այս առասպելին:

Երկրորդ՝ տեխնոլոգիաները գնալով ավելի արագ են փոխում մեզ շրջապատող աշխարհը: Լոգարիթմական քանոնների և աղյուսակների փոխարեն  հայտնվել են հաշվիչները: Այն իրավիճակների թիվը, որոնցում մարդը առօրյա կյանքում իրականում պահանջ է զգում սյունյակով բազմապատկելու և անկյունով բաժանելու, կտրուկ նվազել է: Իսկ պատկերացումները, թե երբ պետք է բազմապատկել կամ բաժանել, ընդհակառակը, խիստ ընդլայնվել են (Զեղչերի առաջարկված տարբերակներից ո՞րն է ձեռնտու ինձ: Ո՞րտեղ ավելի էժան կարելի է վերանորոգել մեքենան), և անհրաժեշտ է հստակ իմանալ, որ այն պատասխանները, որոնք տալիս է հաշվիչը կամ էլեկտրոնային աղյուսակը, ընդունելի են: Այսօր էլ երեխաները սովորում են հաշվել թուղթ ու գրիչի օգնությամբ, բայց այդ մեթոդներն ավելի մոտ են այն «պարզունակ» հնարքներին, որոնցից օգտվում են պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսները: Նրանք թույլ են տալիս ոչ միայն ստանալ ճիշտ պատասխանը (երկար կամ բարդ հաշվարկների համար անվիճելի, լավագույն և առավել խելամիտ միջոցը հաշվիչն է), այլև ավելի խորը հասկանալ մաթեմատիկան և զարգացնել երեխայի թվաբանական մտածողությունը: Ինչպես արտահայտվել է գրող Ռիչարդ Սկեմպը՝ նույնն է, ինչ Ա վայրից Բ վայրը գնալու համար մարդուն քարտեզ տալ գրավոր հրահանգների և ուղենիշների ցանկի փոխարեն: Եթե ճանապարհորդում եք, ղեկավարվելով ուղեցույցով, ապա ցանկացած սխալ կարող է ձեզ հեռացնել ճիշտ երթուղուց, և այնուհետև դրան վերադառնալը շատ դժվար է դառնում: Ձեռքի տակ քարտեզ ունենալով՝ կարող եք ինքնուրույն որոշել նշանակման վայր հասնելու համար առավել խելամիտ երթուղին: Այսօր մաթեմատիկա դասավանդելու նպատակն է երեխային օգնելը՝ զարգացնելու ներքին մաթեմատիկական քարտեզը, այլ ոչ թե ճանապարհային ուղենիշների ցուցակները անգիր սովորեցնելը:

Ձեզ համար, որպես ծնող, նույնպես կարևոր է նոր մեթոդները սովորելը: Նրանցից կարևորների նկարագրությունները կարող եք գտնել այս գրքի տարբեր մասերում: Առաջին հերթին անհրաժեշտ է տիրապետել ցանցի մեթոդին (բազմապատկման համար), «մասերով» բաժանմանը, կամ խմբավորման մեթոդին (բաժանման համար), ինչպես նաև պատկերացում ունենալ թվային ուղղի մասին և կարողանալ օգտվել նրանից: Դրանից բացի, կան ձեզ համար որոշակի քանակությամբ անծանոթ տերմիններ, որոնց նույնպես պետք է ծանոթանալ, քանի որ երեխաները այսօր պետք է յուրացնեն և օգտագործեն այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են «տրոհումը», «տվյալների զանգվածը» և «Քերոլի դիագրամը»: Որպեսզի ձեզ համար պարզ դառնան այդ և մի շարք այլ տերմինների նշանակությունը, որոնք ձեզ անհանգստություն են պատճառում, օգտվեք գրքի վերջում առկա բացատրական բառարանից:

Գոնե կարող եք մխիթարվել նրանով, որ չնայած այսօր դպրոցում կիրառվող որոշ մեթոդներ նորովի են անվանվում (օրինակ, փոխհատուցման մեթոդը), դրանք ամենևին էլ նոր չեն: Դեռ ավելին, նրանց մի մասը  նույնիսկ ավելի շուտ են հորինվել, քան նրանք, որ ինքներդ սովորել եք դպրոցում։ Հին հռոմեացիները և եգիպտացիները օգտագործել են տրոհման մեթոդներից մեկը, որպեսզի թվերը արագ գումարեն, իսկ այսօր այդ նույն մեթոդը օգտագործում է ձեր երեխան: Ձեզ թող չհուզի հատուկ տերմինաբանությունը, որը կապված է այդ նոր հնարքների հետ՝ նրանցում առկա սկզբունքները գաղափարապես շատ պարզ են և հայտնի շատ վաղուց։

Մի լավ նորությունն էլ այն է, որ մաթեմատիկական սանդուղքով երեխայի վեր բարձրանալուն զուգընթաց, բոլոր այդ մեթոդիկաներն աստիճանաբար միավորվում են դպրոցում ձեր սովորածի հետ։ Երբ ձեր երեխան վստահ տիրապետի, օրինակ, բանավոր բազմապատկմանը, պետք է անցնի տակ-տակ բազմապատկմանը և լուծի ճիշտ նույն օրինակները, որոնք և լուծել եք ժամանակին:

2. Ինչպե՞ս հաղթահարեմ մաթեմատիկայի նկատմամբ վախը:

Եթե պատկանում եք այն երջանիկ ծնողների թվին, որոնց համար մաթեմատիկան ընդամենը թեթև, հաճելի քամի է, ապա դուք կարող եք բաց թողնել այս հարցը: Բայց գուցե ցանկանաք մի փոքր կանգ առնել այդ հարցի վրա, պարզապես, որպեսզի իմանաք, թե ինչ են մտածում մաթեմատիկայի մասին ձեր որոշ «գործընկերներ»:

Որոշ մայրերի և հայրերի համար մաթեմատիկան իսկական դժոխք է: Բավական է ցույց տալ նման մարդկանց ամերիկական SAT թեսթը, որը նախատեսված է վեցերորդ դասարանի համար, և նրանք ֆիզիկապես կվատանան։ Դժվար է ասել, թե ինչքան չափահասներ են վախ կամ սրտխառնոց զգում՝  բախվելով մաթեմատիկական հարցերին, բայց ըստ մեր սեփական ոչ պաշտոնական ուսումնասիրությունների, դրանք կկազմեն մինչև 30% (և կան մեծահասակներ, որոնց անհրաժեշտ է հիշեցնել, որ 30%-ը նույնն է, ինչ որ յուրաքանչյուր տասից երեքը):

Մաթեմատիկայից վախեցած հայրերն ու մայրերը շատ չեն ուզում, որ իրենց այդ վախը երևա, և դրա մասին իմանան իրենց երեխաները։ Մի մայրիկ այսպես է նկարագրել շատ ծնողների մտավախությունը. «Երբ իմ երեխաները սովորում էին դպրոցում, վախենում էի նրանց մաթեմատիկայի տնային առաջադրանքներից: Ես պատրաստ էի անել այն ամենը, ինչը իմ ուժերի սահմանում էր, որպեսզի խուսափեի այդ գործընթացից, և ահավոր վախենում էի, որ ինձնից օգնություն կխնդրեին: Բարեբախտաբար, ամուսինս բավական ուժեղ է մաթեմատիկայից, այնպես որ, սովորաբար, կարողանում էի նրանց ուղարկել հայրիկի մոտ, ասելով, որ զբաղված եմ: Բայց ես սարսափելի մեղավոր էի զգում՝ կարծես «քաշել» էի նրանց։ Որոշ ժամանակ հետո երեխաներն արդեն ինձնից օգնություն չէին խնդրում՝ նրանք ամեն ինչ հասկանում էին»:

Որտեղի՞ց է առաջանում այդ վախը։

Մենք բոլորս բազմիցս լսել ենք, որ կան մարդիկ, որոնք զուրկ են «մաթեմատիկական գենից» (ինչը, բնականաբար, ենթադրում է, որ չեն կարող փոխանցել այդ գենը իրենց երեխաներին): Գուցե դա բացատրո՞ւմ է «մաթեմատիկաֆոբիան» (վախը մաթեմատիկայից):

Պատասխանն, ամենայն հավանականությամբ, բացասական է, քանի որ մի այնպիսի բան, ինչպիսին է մաթեմատիկական գենը, գոյություն չունի։ Որտեղի՞ց է այն ի հայտ եկել: Մարդկությունը զբաղվում է հանրահաշվով, հավանականությունների տեսությամբ և մաթեմատիկական անալիզով ընդամենը մի քանի հարյուր տարի: Այսօր շատ մեծահասակներ, նույնիսկ նրանք, որ իրենց համարում են մաթեմատիկայում անկարող, իրականում շատ ավելի իրազեկ են, քան միջնադարի բոլոր մարդիկ, բացառությամբ նրանց փոքր մասի, իսկ գենի զարգացման վրա հազարավոր կամ նույնիսկ միլիոնավոր տարիներ են ծախսվում: Այսպիսով, ուղեղի այն որակը, ինչպիսին էլ դրանք լինեն, որ թույլ է տալիս  մարդկանց մի մասին փայլել մաթեմատիկայից, այն դեպքում, երբ մյուսները դժվարությամբ են յուրացնում դպրոցական ծրագիրը, ոչ մի կերպ չի կարող կապված լինել գենի հետ, որը հատուկ նվիրված է մաթեմատիկային: (Գիտնականները կարծում են, որ մարդու մաթեմատիկական ունակությունները կարող են առաջանալ, որպես վերացական մտածողության բարձր մակարդակ պահանջող լեզվական հաղորդակցման կողմնակի արդյունք)։

Եթե մարդկանց հետ մաթեմատիկական չսիրելու մասին խոսենք, շատ դեպքերում կլսենք տարբեր պատմություններ ուսուցչի կամ ծնողներից մեկի մասին, ում միջամտությունը և թերարժեքության բարդույթ է առաջացրել: Մարդիկ վախենում են ոչ թե հենց մաթեմատիկայից. նրանք վախենում են անհարմար իրավիճակում հայտնվելուց, վախենում են ամոթահարությունից:

Երբ հասկանում ես, թե որքան ծնողներ, տատիկներ և պապիկներ են իրենց անցյալում վատ հիշողություններ ունեցել մաթեմատիկայի դասերի վերաբերյալ (իսկ անցյալ ժամանակը նկատի ունենք ոչ միայն Երկրորդ համաշխարհային պատերազմը, այլ 1980-ականները նույնպես), իսկական ցնցում ես ապրում: Մշտապես հարկ է լինում լսել նաև պատմություններ ամբողջ դասարանի առջև պարբերաբար նվաստացման մասին: Մեկը պատիժ և ֆիզիկական ցավ է հիշում. «Փերքինս, ինչի՞ է հավասար յոթ անգամ ութը»: «Ը՜-ը՜, հիսուն չո՞րս»: (Դրանից հետո Փերքինսը հապշտապ թաքնվում է նստարանի տակ, իսկ նրա ձախ ականջի վրայով անցնում է գրատախտակը ջնջելու սպունգը)։

Որոշ մարդիկ հոգեբանական տառապանքներ են զգացել. «Իմ երազներում վատթարագույն տեսնու էի, թե ինչպես է պարոն Գրեգորին դասարանի առջև կանգնած  մեզ ստիպում վանկարկել՝ մաթեմատիկան հիանալի է, մաթեմատիկան  հիանալի է», – պատմում է մի մայրիկ: Նա ասում էր, որ, եթե ամբողջ ժամանակ ասեք, որ ինչ-որ բան հիանալի է, ազդեցությունը կարող է մտածածին հակառակ ստացվել: Բացի դրանից, պետք է իրատես լինենք: Օգտակար ցանկացած բան, որը արժի ուսումնասիրել, ջանքեր է պահանջում, և մաթեմատիկան բացառություն չէ։ Մեր լրջագույն խնդիրներից մեկը վստահությունն է, որ ուսուցումը պետք է միայն հաճույք  առաջացնի, և տրվի առանց աշխատանքի: Արդյունքում երեխաները մտածում են, որ եթե մաթեմատիկա սովորելու ժամանակ իրենք ստիպված են լինում լարվել, ուրեմն իրենք անկարող են մաթեմատիկա սովորել: Ճապոնիայում, որտեղ մաթեմատիկայի բարձր չափանիշների ավանդույթը շատ ուժեղ է, շեշտը, որպես կանոն, դրվում է ջանքերի և եռանդի, այլ ոչ թե ունակությունների վրա:

Իհարկե, դժվար է պարզել, թե որքան հաճախ են մարդիկ, իսկապես, հայտնվում իրավիճակներում, որոնք հետագայում դառնում են գիշերային մղձավանջ, բայց երբեմն, հավանաբար, բավական է ակնթարթային նվաստացումը, որպեսզի մաթեմատիկայի կուռ շենքը փլուզվի: Շատ ծնողներ հիշում են այն պահը, երբ դպրոցական այս առարկան հանկարծ նրանց համար դարձել է աղյուսե պատ, իսկ այս ոլորտում հետագա առաջընթացը սկսել է անհնար թվալ: Նման բան կարող է լավ մաթեմատիկոսի հետ էլ պատահել. տարբերությունն այն է, որ նրանք, որպես կանոն, բախվում են իրենց պատին համալսարանում կամ ավելի ուշ: Շատ մաթեմատիկոսներ նույնիսկ սիրում են այն զգացողությունը և դիտարկում այն որպես մարտահրավեր, որպես խոչընդոտ, որը պետք է հաղթահարել։

Այսպիսով, ի՞նչ կարող եք անել, որպեսզի հաղթահարեք ձեր վախը մաթեմատիկայի նկատմամբ:

Պետք է հասկանաք, որ ամենայն հավանականությամբ, ավելի ուժեղ եք մաթեմատիկայից, քան ինքներդ կարծում եք: Երբ մեծահասակները կարողանում են կիրառել մաթեմատիկական մեթոդներ (չէ՞ որ շատ-շատերը կարող են նկատել ինչ-որ օրինաչափություններ, սուպերմարկետում ընտրել լավագույնը մի քանի զեղջային առաջարկներից, ինչպես նաև կասկածի տակ դնել կառավարության կողմից  հրապարակված վիճակագրական տվյալները), նրանք դա համարում են «առողջ մտքի» դրսևորում, իսկ այն ամենը, ինչը նրանք չեն կարող անել, կոչվում  են «մաթեմատիկա»,– այնպես որ, մաթեմատիկայից անկարողությունը դառնում է ինքնակործանման մարգարեություն:

• Մեծահասակների մեծամասնությունը վստահ է, որ մաթեմատիկան մի  առարկա է, որում գլխավորը նրա մեթոդները յուրացնելն է և միշտ ամեն ինչ ճիշտ անելը: Համաձայն չենք: Համոզված ենք, որ մաթեմատիկայում շատ կարևոր է այն պահը, երբ հայտնվում ես փակուղում և թույլ ես տալիս սխալներ: Իզուր չէ, որ մաթեմատիկական խնդիրը անգլերեն կոչվում է «պրոբլեմ» (problem). այն պատճառով, որ, ինչպես նախապես ենթադրվում էր, նրա լուծման համար անհրաժեշտ է ջանքեր գործադրել և հաղթահարել որոշակի դժվարություններ: Փակուղում հայտնվելը պատվաբեր է, և հաճախ, այնտեղից դուրս գալու և խնդիրը լուծելու լավագույն ճանապարհը խնդիրը միառժամանակ թողնելն է. այստեղ տեղին է «առավոտվա խելքը իրիկվանից լավն է» ասացվածքը:
• Գտեք մի քիչ ազատ ժամանակ, երբ երեխաներն արդեն անկողնում պառկած են, միացրեք հանգստացնող երաժշտություն և փորձեք լուծել գրքի վերջում բերված մաթեմատիկական խնդիրները: Նկատի ունեցեք, որ որոշ երեխաների դրանք «անլուծելի» են թվում: Նրանցից մի քանիսը ձեզ, հավանաբար, նույնպես բարդ կթվան, բայց մնացածը արագ կլուծեք և կզարմանաք, որ ինչ-որ մեկի համար դա կարող է դժվար լինել: Համեմատեք ձեր արձագանքը այն ամենի հետ, որ ստացել ենք այլ ծնողներից. կպարզեք, որ շատ ընդհանուր մտքեր ունեք: Երբ կհասկանաք, որ ձեզ հետ միասին նույն նավակում բազմաթիվ այլ մարդիկ են գտնվում, վախի առիթները կդառնա շատ ավելի քիչ։

3. Ինչպե՞ս երեխային սովորեցնել հաճույք ստանալ և ավելի լավ գլուխ հանել մաթեմատիկայից, քան ես՝ ժամանակին

Այս երկու հարցերը միավորել ենք, քանի որ դրանք սերտորեն փոխկապակցված են։ Երեխան որքան շատ է զբաղվում մաթեմատիկայով, այնքան լավ է սովորում, և որքան մաթեմատիկան իրեն շատ է դուր գալիս, նա պատրաստ է այնքան շատ ժամանակ հատկացնել: Մաթեմատիկայի պարապմունքներից հաճույքը ստանալը և դրանց արդյունքը մեծապես կախված է նրանից, թե ինչպես են այդ առարկային վերաբերվում տանը:

Կարևորագույն գործոններից մեկը համարվում է դրական հետադարձ կապը: Դուք պետք է գովեք երեխայի աշխատասիրությունը և ոչ թե «խելքը» կամ «հնարամտությունը»: Կարևոր է նրան օգնել հասկանալու, որ մաթեմատիկայի յուրացումը տեղի է ունենում աստիճանաբար և, որ շատ կարևոր է մշտական աճը. նույնիսկ եթե չի հաջողվում միանգամից լուծել առաջադրանքը, դա չի նշանակում, որ տղան կամ աղջիկը երբեք չեն կարողանա հաղթահարել այն: Եթե երեխան, որ հավատում է իր խելքին կամ հնարամտությանը, բախվի մաթեմատիկական խնդրի, որը դեռ չի կարողանում լուծել (ինչը անպայման կպատահի), նա կարող է մտածել, թե հասել է իր վերջնակետին, և հանձնվի:

Գնահատելու և գովասանքի համար կատարյալ պահը տնային աշխատանքների համատեղ ստուգումն է: Երբ երեխան սխալ է լուծած լինում մաթեմատիկական խնդիրը, չափահասը ցանկանում է միանգամից ասել, թե որն է սխալը, և բացատրել, թե ինչպես պետք է ճիշտ պատասխանել: Այդպիսի պոռթկումի պետք չէ տրվել: Ավելի լավ է, երեխային խնդրեք, որ պատմի, թե ինչ գործողություններ է կատարել, և նրան աննկատ հասցնեք անհրաժեշտ տեղին, որպեսզի (եթե ձեր բախտը բերի) ինքը նկատի սեփական սխալը։

Ավելիին հասնելու համար կարելի է ինչ-որ մասը բացատրել... և, եթե պետք է, նույն սխալը անել, ինչ արել է երեխան, հետո շտկել այն, ծիծաղել և ասել. «Այսպիսով, երեքին գումարած երեք կլինի յոթ... չէ, սպասիր, սխալ է, մայրիկը հիմարացավ (կամ հայրիկը հիմարացավ)...»։ Երբ տղան կամ աղջիկը ինչ-որ բան է բացատրում, նրան մի շտապեցրեք. նրան բավարար ժամանակ տվեք, որպեսզի կարողանա նկարագրել լուծման ողջ ընթացքը: Հաճախ հայտնաբերված առաջին սխալը իրականում հետևանք է լինում ինչ-որ այլ սխալի, որը կապված է հիմնարար բան չհասկանալու հետ: Երբ երեխային թույլ եք տալիս բացատրությունը մինչև վերջ հասցնել, ըստ էության, հնարավորություն եք տալիս հասկանալու, թե որտեղ է ինքը սխալվել. երբեմն դա նրան հաջողվում է։ Արդյունքում, երեխաները սկսում են հասկանալ, որ սխալը այնպիսի բան չէ, ինչի համար անպայման պատժվում են, և անգամ ծնողներն են երբեմն սխալվում։

Երբ ձեր երեխան մաթեմատիկական ինչ-որ առաջադրանք ճիշտ է կատարում, էլի խնդրեք, որ բացատրի, թե ինչ է արել և ինչպես: Դրա շնորհիվ կարող եք ստուգել նրա դատողությունները (երբեմն ճիշտ պատասխանը հաջողվում է ստանալ բոլորովին սխալ նախադրյալներից), բայց ոչ միայն դա. կա մեկ այլ, ավելի կարևոր պատճառ: Եթե խնդրեք բացատրություն տալ միայն սխալվելու դեպքերում, ձեր որդին կամ դուստրը կսկսի կապել բացատրությունը և իր հանդեպ ձեր հետաքրքրությունը սեփական անհաջողության հետ և կդադարի շփվելուց։ Որպես ծնող, ոչնչով չեք կարող օգնել երեխային դատողություն անելիս, եթե նա չուզենա նկարագրել իր տրամաբանությունը:

Հանդուրժող եղեք փակուղում հայտնված երեխայի հանդեպ: Երես առ երես աշխատելով որդու կամ դստեր հետ՝ շատ հեշտ է մտածելը. «Պետք է հասցնեմ այդ միտքը», կամ «Ինչպե՞ս կարելի է սա չհասկանալ»: Անհնար է ինչ-որ բան ակնթարթորեն սովորել: Շատ օգտակար է ընդմիջում անելը, թեմային հաջորդ օրը վերադառնալը կամ նույնիսկ մեկ շաբաթով այն թողնելը։ Երբեմն դա իսկապես հրաշալի է ազդում թեման հասկանալու և յուրացնելու վրա... ինչպես նաև տան մթնոլորտի վրա:

Ձեզ անհրաժեշտ է մաթեմատիկան դարձնել զվարճալի արկած, այլ ոչ թե ձանձրալի պարտականություն։ Եվ, որ ամենակարևորն է, երբեք ձեր մասին մի՛ ասեք, թե մաթեմատիկայից թույլ եք: Սա մեր ամենակաևոր «երբեքն» է, և դեռ կանդրադառնանք դրան  «Ծնողական Ճիշտ և սխալ մարտավարություն» գլխում: Եթե դուք հետաքրքրություն ցուցաբերեք մաթեմատիկայի նկատմամբ, այն կփոխանցվի նաև ձեր երեխաներին։ Իսկ եթե մաթեմատիկայի մասին խոսակցությունները և մաթեմատիկական խաղերը լինեն ձեր առօրյա կյանքի բնական մասը, այլ ոչ այն, ինչ արվում է միայն «դագանակով», գրասեղանի մոտ տնային աշխատանքների ձևով, ապա մաթեմատիկան անխուսափելիորեն հաճույք կպատճառի։ Թե ինչպես դրան հասնել, պատմվում է մեր գրքի մնացած մասում:

4. Ինչո՞ւ է նրանց (կամ ինձ) անհրաժեշտ դա իմանալը

Ավելի ուշ՝ առաջին երեք գլխավոր հարցերից հետո, նկատվում է ևս մի հարց, որ որոշ ծնողների շատ լուրջ է թվում:

Երբ ձեր երեխան լալիս է տնային առաջադրանքի պատճառով, քանի որ չի կարողացել հասկանալ, թե պատկերի որ մասն է ստվարագծված, կամ եթե ցույց է տվել ձեզ ստուգողական աշխատանքը, որում պետք էր գտնել պարզ արտադրիչները, կարող եք մտածել. «Դպրոցն ավարտելուց հետո ինձ այդ ամենը ոչ մի անգամ պետք չի եկել»: Այնպես որ, բնական է մտածել այն հարցի մասին, թե ինչու են ձեր երեխաներին ստիպում, որ այդ բոլորն անցնեն:

Այս հարցը տարիներ շարունակ հուզել է ամբողջ կրթական համակարգը։ Անվերջ բանավեճեր են լինում այն մասին, թե ինչը պետք է ներառվի պարտադիր դպրոցական ծրագրում, և ինչը՝ ոչ: Ամեն դեպքում, ձեզ դուր է գալիս, թե ոչ, ձեր երեխաները ստիպված են զբաղվել մաթեմատիկայով, և շատ ծնողներ դժգոհում են դրանից։

Ուսումնական ծրագրում մաթեմատիկայի որոշ տարրեր ընդգրկելու նպատակահարմարությունը դժվար չէ հիմնավորել, քանի որ առօրյա կյանքում ակնհայտ կիրառություն ունեն: Ցանկացած երեխայի համար հասկանալի է, որ առանց թվաբանության հիմունքները իմանալու չի կարելի ճիշտ կարդալ խոհարարական բաղադրատոմսը, հաշվել գումարի մանրը, չափել սեփական հասակը կամ նշել, թե որքան է պետք խնայել նոր խաղ գնելու համար: Մի  շարք մաթեմատիկական այլ հնարքների օգուտը հասկանում են միայն ծնողները. տոկոսները, գնահատմամբ հաշվարկները և վիճակագրական տվյալների մեկնաբանությունը օգտակար են կյանքում, երբ երեխան լքի ծնողական տունը և սկսի ինքնուրույն գումար վաստակել՝ սեփական կյանքի համար:

Խնդիրներ են առաջանում, երբ մաթեմատիկան դառնում է ավելի վերացական: Որտե՞ղ կպահանջվեն պարզ թվերի մասին գիտելիքները: Գործնականում ինչպե՞ս կարող է օգտակար լինել կանոնավոր հնգանկյան անկյունների մեծությունը:

«Ի՞նչ իմաստ ունի այս ամենը» հարցի պատասխանը փնտրելը կարող է անշնորհակալ գործ լինել: Ըստ էության, այդպիսի հարց կարելի է տալ ամեն ինչի մասին, ինչը հիմա կամ ապագայում ակնհայտ գործնական օգուտ չի կարող տալ: Ի՞նչ իմաստ ունի իմանալ, որ Հենրիխ VIII-ը վեց կին է ունեցել, կամ, որ մագնեզիումը այրվում է վառ սպիտակ բոցով: Եթե այն կարծիքին եք, որ գիտելիքը և ուսումը ինքնին օգտակար են, մաթեմատիկան, անշուշտ, վերաբերում է հիմնարար գիտելիքներին նույն չափով, ինչքանով, որ Հենրիխ VIII-ի պատմությունը: Որոշ ծնողների համար նման հիմնավորումը, հնարավոր է բավական է, բայց մեծամասնության համար՝ ոչ:

Կարևոր պատճառներից մեկը, որ անհրաժեշտ է երեխան շատ ուշադրություն դարձնի մաթեմատիկային, անկախ նրանից, թե դա նրան դուր է գալիս, կամ նա ունի հակում այդ առարկայի նկատմամբ, այն է, որ  շատ մասնագիտություններում մաթեմատիկայի լավ իմացությունը դարձել է կարևոր պայման հաջող մասնագիտական առաջխաղացման համար: Հարկավո՞ր է ձեզ այս ամբողջ մաթեմատիկան իրականում, գործնականում նշանակություն չունի. կարևոր է, որ հասարակությունը այն համարել է անհրաժեշտ պայման, և, դժվար թե, մոտ ժամանակներս մտափոխվի: Այնպես որ, եթե ուզում եք, որ ձեր երեխան առնվազն հնարավորություն ունենա բուժքույր, մեխանիկ, իրավաբան կամ համակարգչային խաղերի մշակող դառնա, ուզում է, թե չի ուզում՝ պետք է հանձնի մաթեմատիկա: Մենք չենք սիրում առաջ քաշել այս փաստարկը, սակայն փաստը մնում է փաստ, և դա անտեսել հնարավոր չէ:

Որոշ մարդիկ, արդարացնելով դպրոցական դասացուցակում մաթեմատիկայի դասերի առկայությունը, ասում են. «Մաթեմատիկան սովորեցնում է մտածել ու ստեղծագործաբար լուծել խնդիրներ»: Սա ճիշտ գաղափար է, սակայն երեխաների մեծ մասի համար չափազանց վերացական, որպեսզի դրան հավատան. և ոմանք էլ կասեն, մի՞թե խաղային հավելվածը ճիշտ նույնը չի անում: Իրականում մտածողությունը, որի զարգացմանը նպաստում են շատ համակարգչային խաղեր, շատ սահմանափակ է։ Լավ մաթեմատիկական կրթությունը ձևավորում է համապիտանի մտածողական հմտություններ. դրանք կարելի է կիրառել միշտ, առաջին հերթին, որպեսզի ողջամտորեն և ամուր հիմնավորենք սեփական մտքերը, ինչպես նաև նկատենք օրինաչափությունները և ճշմարտանման կանխատեսումներ անենք: Այդ հմտություններն օգտակար են ինչպես առավել ընդգրկուն գաղափարների և երևույթների կանխատեսման համար, ինչպիսիք են տիեզերքի ձևերը, այնպես էլ առավել առօյա իրավիճակներում. օրինակ, օգնում են հաշվարկել, թե ինչ թոշակ կստանաք 30 տարի հետո:

Բայց լավագույն պատասխանը հարցին, թե ինչ իմաստ ունի,  հաճախ ծառայում է այլ հարց. «Իսկ ինչո՞ւ ամեն ինչի մեջ պետք է իմաստ լինի»: Ի՞նչ օգուտ սուդոկոյից: Ոչ մի օգուտ, ինչը, սակայն չի խանգարում միլիոնավոր մարդկանց հաճույքով լուծել այդ գլուխկոտրուկները: Իսկ պոեզիայի մեջ «իմաստ» կա՞: Մասամբ մաթեմատիկայի «իմաստն» այն է, որ մեր երեխաներին ապահովի գործնական հմտություններով, որոնք օգտակար կլինեն նրանց չափահաս կյանքում, սակայն իրականում գործնական արժեքը կարևոր չէ, եթե զբաղմունքը ինքնին հաճույք է պատճառում: Իսկ հաճույք պարտադիր չէ, որ հինգ րոպեանոց ծիծաղ լինի: Ֆուտբոլը, ալպինիզմը և այլ զբաղմունքներ, որոնց մարդը հաճույք ստանալու համար տալիս է իր ժամանակը և ուժը, շատ հաճախ չի լինում առանց անհանգստության, հիասթափության և նույնիսկ ցավի, բայց հակառակ դեպքում դրանք ավելի քիչ ուրախություն կպատճառեին:

Ի դեպ, այն մարդկանց պահանջների հիմքում, որ կասկածում են մաթեմատիկայի օգտակարությանը, ընկած է հենց զվարճանքի գործոնը: Մարդկանց մեծամասնության համար խնդիր է համարվում մաթեմատիկայի հանդեպ ոչ թե բնածին ունակությունը (կամ դրա բացակայությունը), այլ որ մաթեմատիկան նրանց բացարձակապես դուր չի գալիս։ Այս խնդիրի մի մասը դասավանդման մեթոդիկան է: Եթե ձեր մանկական հիշողությունները մաթեմատիկայի մասին ձանձրալի, միապաղաղ վարժություններն են, որոնք ուղղված են ուրիշ մարդկանց կողմից վաղուց մտածված տեխնիկայի մշակմանը, հազիվ թե ձեր ընդհանուր տպավորությունը այս առարկայի վերաբերյալ շատ դրական լինի:

Խաղը մաթեմատիկայի էական տարր է նրա բոլոր մակարդակներում: Ահա թե ինչու այս գրքում այդքան շատ խաղեր կան: Հետաքրքրությունը նույնպես մեծ նշանակություն ունի, ուստի ընդգրկել ենք առաջադրանքներ, որոնք կարող են հետաքրքրել ձեր երեխաներին: Չենք ակնկալում, որ բոլոր ընթերցողների մոտ հանկարծ կարթնանա հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ, քանի որ պատմությամբ  կամ աշխարհագրությամբ նույնպես բոլորը չեն գործուն հետաքրքրվում։ Բայց եթե երեխաներին չծանոթացնենք մաթեմատիկայի հետ և նրանց ցույց չտանք, որ հետաքրքիր առարկա է, որը կարող է մեծ հաճույք պատճառել, ամենայն հավանականությամբ նրանց էլ երբեք չի հետաքրքրի:

Հնարավոր է՝ ուշադրություն դարձրել եք, որ 1990-ականների և 2000-ականների սկզբի համեմատ այժմ երեխաները ստիպված են ավելի շատ մաթեմատիկական գիտելիքների տիրապետել: Տեսությունն ասում է, որ որքան ավելի շատ ես պահանջում երեխայից, այնքան նրա արդյունքները ավելի լավը կլինեն: Որոշ երեխաների հետ այս սկզբունքը իսկապես աշխատում է, բայց դրա կիրառման մեջ ռիսկ կա: Որոշ տղաներ և աղջիկներ գերլարվում և խուճապ են ապրում, քանի որ ստիպված են լինում գործ ունենալ անհասկանալի հայեցակարգերի հետ: Այդպիսի երեխաները շատ արագ կորցնում են հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ:

Ձեր դերն է փայփայել ու պահպանել մաթեմատիկայի և այս բնագավառի գիտելիքների նկատմամբ ձեր երեխաների հետաքրքրասիրությունը, այն դարձնել նրանց առօրյա կյանքի բաղկացուցիչ մասը և, ամենակարևորը, մաթեմատիկայի պարապմունքները դարձնել հետաքրքիր արկած: Մեր երաշխավորությունները կարելի է կիրառել ամենատարբեր տարիքի և կարողությունների երեխաների հետ: Եվ եթե ազնիվ լինենք, երրորդ դասարանի ծրագրում շատ բաներ կան, որ (սը՜ս, խնդրում եմ կամաց խոսել) շատ մայրիկների և հայրիկների համար բարդ կթվան:

Տնային մաթեմատիկական ուսումնական պիտույքներ

Ձեր երեխայի հետ մաթեմատիկայի մասին զրուցելու առիթ գտնելու ամենհարմար տեղը տունն է: Որոշ կարևոր, բառացիորեն հիմնական կենցաղային առարկաներ կարող են լրջորեն մեծացնել հնարավորությունը, որ զրույցի ժամանակ դուք ինչ-որ պահի պատահաբար շոշափեք մաթեմատիկայի թեման:

Տեսանելի վայրում գտնվող խոհանոցային ժամացույց (կամ այնտեղ, որտեղ դուք սովորաբար նախաճաշում եք): Լավ է, եթե կարող եք նույն սենյակում միաժամանակ տեղադրել և՛ սլաքավոր, և՛ թվային ժամացույցներ, քանի որ նրանց ցուցմունքների համեմատությունն ու իմաստավորումը ձեր երեխայի մոտ սովորություն կդառնա:

Պատի ավանդական օրացույց: Օրացույցները հիանալի միջոց են երեխային ծանոթացնելու ժամանակի օրացույցային հաշվարկին, բացի դրանից, նրանցում հետաքրքիր օրինաչափություններ կան: Այսպես, սյունակներից մեկը 7-ի բազմապատկման աղյուսակ է: Կարելի է գտնել նաև այլ օրինաչափություն, եթե ուշադիր դիտարկենք անկյունագծերի վրայի թվերը, չորսական վերցրած քառակուսիները և այլն:

Զառերով և հոլով սեղանի խաղերը ոչ միայն հաշիվը յուրացնելուն են օգնում, այլև զարգացնում են հավանականության մասին պատկերացումը: Իսկ հոլով խաղերը հաճախ կհանդիպեն մաթեմատիկայի դպրոցական խնդիրներում:

Ավանդական խաղաթղթերի տրցակը և էլի մի քանի խաղեր (ինչպիսին է, օրինակ, «դուզ օյինը» կամ «քսանմեկը») միջոց են, որոնց օգնությամբ երեխաները կարող են հեշտությամբ սովորել ըստ տեսակների բաժանելը և ստանալ հավանականության մասին պատկերացում:

Հաշվիչը (ամենապարզը) մասամբ պետք է, որպեսզի օգնի երեխային կիրառել այս սարքը, երբ նման անհրաժեշտություն կառաջանա: Սակայն շատ ավելի կարևոր է այն օգտագործել հատուկ խաղերում (տես «Մաթեմատիկան հաշվիչով» գլուխը):

Գծանշմամբ չափիչ բաժակները դպրոցում դասերի ժամանակ հաճախ են օգտագործվում, բայց նրա հետ տանը նախնական ծանոթությունը կհեշտացնի ապագա խնդիրների լուծումը: Բաժակները, որոնց վրա նշված են ոչ միայն լիտրերը, այլև պինտերը, թույլ են տալիս տիրապետել միավորի մի տեսակից մյուսին անցնելուն: Հավաքեք օճառահեղուկի կամ ջրի մի քանի շիշ, որպեսզի երեխաները կարողանան սարքել սեփական չափիչ տարաները:

Չորացրած լոբին (կամ ոլոռը), մակարոնեղենը կամ գունավոր չհալվող կոնֆետները: Այս ամենը օգտակար է մեծ թվով առարկաներ հաշվելու համար կամ որոշելու համար, օրինակ, թե քանի կոնֆետ կմնա, եթե մի մեծ բուռ վերցնենք ու բաժանենք զույգերով, եռյակներով և այլն:

Դերձակի սանտիմետրը և քանոնը: Երեխաներին անպայման ներգրավեք ցանկացած չափումներ կատարելիս՝ սենյակի և կահույքի, նոր վարագույրների կամ նորոգումների: Եթե դուք հոգ տանեք, որ սանտիմետրի սկիզբը միշտ մնա ձեզ մոտ, երեխան ստիպված կլինի արդյունքները հաշվել:

Շոկոլադի մեծ սալիկը (օրինակ, որը բաղկացած է չորս շարքից՝ յուրաքանչյուրում ութ քառակուսի), որը դարակում է այն դեպքի համար, երբ պետք կլինի խոսել կոտորակների մասին: Շոկոլադը լավ շարժառիթ է և շատ լավ ծառայում է որպես պարգև:

Սառնարանի՝ թվերի և մաթեմատիկական նշանների նկարներով մագնիսները, որոնք կարծես թե պատահաբար թույլ են տալիս տուն բերել մաթեմատիկական հավասարումներ և խնդիրներ: Օրինակ, մի ծանոթ հայրիկ սովորություն ունի քնելուց առաջ, երբ երեխաներն արդեն քնած են,  սառնարանի վրա տեղադրել օրինակներ, ինչպես «7×9=?» և թողնել մինչև առավոտ: Երբ երեխաները գալիս են նախաճաշելու, նրանք տեսնում են այս օրինակը՝ նոր գաղտնիք, որը գուշակելուն է սպասում: Միայն պատկերացրեք, թե ինչպիսի ժպիտներ են զարդարում նրանց դեմքերը...

Խոհանոցային հին կշեռք, որով նյութերը պետք է հավասարակշռել կշռաքարերով: Սա ոչ միայն հրաշալի ու շատ ճանաչողական  միջոց է թվերը գումարելու համար (կամ կոտորակները, եթե ձեր կշռաքարերը հին կշռային միավորով են), այլև օգնում է երեխային ծանոթացնելու հավասարման գաղափարին, որտեղ կշեռքի մի նժարին գտնվող առարկաները «հավասար են» կշեռքի մյուս նժարին գտնվող առարկաներին:

Տեգերի թիրախ (երևի ավելի լավ է նետել ոչ թե տեգեր, այլ կպչուն գնդիկներ): Տեգը սովորեցնում է գումարում և հանում և, բացի այդ, կրկնապատկելը և եռապատկելը դարձնում է սովորական գործողություն: Իսկ խաղի վերջում ստիպված եք լինում մտածել այն գումարների մասին, որոնք կհասցնեն նպատակին. «Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ 47 երկու նետումով, ընդ որում, երկրորդը կգնա կրկնապատկումով»:

Անսովոր զառերով խաղեր: Եթե կրկետի ավանդական տարբերակում օգտագործում են վեցանիստ զառեր (այս խաղը հատկապես հարմար է ճանապարհորդելիս, քանի որ այն հարմար է տանել ձեզ հետ), ուրիշ խաղերում օգտագործվում են խորանարդ 20 եռանկյուն նիստերով զառեր (այսպես կոչված իկոսաէդր):

Դոմինո: Այս խաղը, կարծես, մեռնում է, բայց կարող եք օգնել այն վերակենդանացնելուն: Դոմինոն հաճախ օգտագործում են տարբեր կոմբինացիաների ցուցադրելու համար (տվյալ դեպքում՝ 0-ից 6 բոլոր տեսակի թվերի համադրությամբ): Բացի այդ, դոմինոյի քարերը լավ շարվում են, նրանցով կարելի է կառուցել գիծ, և թեթևակի հրել առաջին քարը...

Գուշակիր, թե ով է: Բոլոր տարիքի երեխաների շրջանում տարածված խաղ է, ըստ որի պետք է որոշել, թե 24 կերպարներից ում է ընտրել հակառակորդը: Հրաշալի ցուցադրում է, թե ինչպես պետք է օբյեկտները բաժանել ըստ կատեգորիաների (տվյալ դեպքում մարդկանց բաժանել ՝ կանանց և տղամարդկանց, ակնոցներով և առանց ակնոցի և այլն):

Տնային (դրսի) ջերմաչափը հրաշալի սարք է, որը շատ օգտակար է խոհանոցում ունենալու համար, որպեսզի նա հայտնի մեզ տան և դրսի ջերմաստիճանները: Դրա շնորհիվ երեխաները կարող են բնական ճանապարհով ծանոթանալ սառեցման գաղափարին, «զրոյից ցածր» ջերմաստիճանին և նշաններին, որոնցով նշվում է բացասականությունը:

Շարունակությունը