Մաթեմատիկական խնդիրների կազմումը և լուծումը՝ մանկավարժական խնդիր

Ներկայացնում ենք փետրվարի ֆլեշմոբի երրորդ մակարդակի 9-րդ խնդիրի լուծումը։

Գտեք միայն մեկերից բաղկացած ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 100 հատ 3-ից բաղկացած թվի:

Խնդրում բերված թվերը կարդալիս սարսափ են առաջացնում, ոնց որ մի թագավարակ (կորոնավիրուս): Պատկերացնել չի լինում՝ 100 հատ 3-ներով գրված թիվ, հաստատ, դրանից շատ 1-երով գրված թիվ, դրանք իրար բաժանելը: Բայց երևում է, որ դժվարությունը թվերի մեծությունից է: Այ, որ նման խնդիր լիներ ավելի փոքր թվերով, խնդիրը կհեշտանար՝ կարող էինք փորձելով էլ գտնել:

Խնդիրը լուծել փորձեցինք Հյուսիսային դպրոց-պարտեզի դասվարների հետ: 3 և 1 թվանշանները չենք կարող փոխել, նրանք առանց այն էլ փոքր են, բայց 3-ների քանակը կարող ենք: Այստեղ դասվարներից Մարինե Մխիթարյանը հուշեց.
- Փորձենք հեշտ խնդիր՝ գտնել միայն 1-երից բաղկացած ամենափոքր թիվը, որը կբաժանվի 3-ի:

Քանի որ միայն 1-երից բաղկացած թիվը պետք է բաժանվի 3-ի, ուրեմն 1-երի քանակը պետք է 3-ի բազմապատիկ լինի: Այդպիսի ամենափոքր թիվը 111-ն է: Հեշտ է ստուգելը, որ 111:3=37: Հետո աղջիկները շարունակեցին.
- Փորձենք գտնել միայն 1-երից բաղկացած ամենափոքր թիվը, որը կբաժանվի 33-ի:

1-երի քանակը պետք է 3-ի բազմապատիկ լինի: 111-ը 33-ի չի բաժանվում: 111111:33=3367: Ամենափոքրը վեց հատ 1-երից բաղկացած թիվն է:

Գտնենք միայն 1-երից բաղկացած ամենփոքր թիվը, որը կբաժանվի 333-ի: Կարելի է և հաշվիչ օգտագործել: 111111-ը 333-ի չի բաժանվում: Հաջորդը փորձենք ինը հատ 1-երից բաղկացած թիվը՝ 111111111: Դժվար չէ գտնելը, որ 111111111:333=333667: Ստացված փորձնական տվյալներով աղյուսակ կազմենք՝ առաջին սյունակում բաժանարարը՝ միայն 3-ներով կազմված թիվը, երկրորդ սյունակում 3-ների քանակը բաժանարարում, երրորդ սյունակում՝ 1-երով կազմված թիվը, չորրորդում՝ քանորդը:

3

1

111

 37

33

2

111111

 3367

333

3

111111111

 333667

Աղյուսակից երևում է, որ 3-ներից բաղկացած թվում (բաժանարար) 3-ների քանակը 1-ով ավելացնելու դեպքում 1-երից բաղկացած թվում (բաժանելի) 1-երի քանակը ավելանում է 3-ով: Քանորդում ստանում ենք իրար կողքի գրված բաժանարարը, հետո բաժանարարում 3-ների քանակից 1-ով պակաս 6, վերջում՝ մեկ հատ 7: Մեր եզրակացության համաձայն 3333-դեպքում որոնելի թիվը կլինի 111111111111 և քանորդում կստանանք 33336667: Ուղղակի ստուգումը ցույց է տալիս, որ այդպես է: Մեր եզրակացությունը տարածենք հարյուր հատ 3-ներից բաղկացած թվի դեպքում՝ որոնելի թիվը բաղկացած կլինի 300 հատ 1-երից: Քանորդում կստանանք թիվ, որը բաղկացած է 100 հատ 3-ից, հետո 99 հատ 6-ից և վերջում՝ 7: Այս պնդումը պարզապես ստուգելը այնքան էլ հեշտ չի լինի: Իսկ ապացուցելը դասվարների համար դժվար կլիներ:

Խնդրին կարող ենք այլ կերպ մոտենալ՝ որպես թվաբանական ռեբուսի:

Ո՞ր թիվը բազմապատկենք 3-ով, որ արտադրյալում միայն 1-եր ստանանք:

Գտնենք այն թիվը, որը 33-ով բազմապատկելով կստանանք միայն 1-երով գրված թիվ:

Գտնենք այն թիվը, որը 333-ով բազմակպատկելիս կստանանք միայն 1-երից կազմված թիվ:

Ուշադրություն դարձնեք, որ առաջին դպքում արտադրյալը եղավ 111: Երկրորդ դեպքում՝ մասնակի արտադրյալներում յուրաքանչյուր հարևան 1-երի մեջ ավելացավ մեկ հատ 0: Երրորդ դեպքում մասնակի արտադրյալներքւմ յուրաքանչյուր հարևան 1-երի մեջ ավելացավ երկու հատ 0: Կարելի է ենթադրել, որ 100 հատ 3-երից բաղկացած թվի դեպքում մասնակի արտադրյալներում յուրաքանչյուր հարևան 1-երի միջև կավելանա 99 հատ 0:

Գալիս ենք վերևում ստացված արդյունքին: Բայց սա էլ մեր եզրակացության ապացույց չէ:

Գևորգ Հակոբյան

Հիմա փորձենք ապացուցել փորձերից ստացված մեր եզրակացությունը: Սա արդեն՝ միջին և ավագ դպրոցի սովորողների, դասավանդողների համար:

  • m-ով նշանակենք միայն 1-երից բաղկացած որոնելի թիվը,
  • n–ով նշանակենք 100 հատ 3-ներից բաղկացած թիվը։

Ակնհայտ է, որ m-ի թվանշանների քանակը մեծ է 100-ից։
Եթե n թիվը ներկայացնենք որպես 3-ի եւ 100 հատ մեկերից բաղկացած թվի արտադրյալ, այն է՝

ապա պարզ է, որ m թիվը պետք է բաժանվի ե՛ւ 3-ի, ե՛ւ 100 հատ 1-երից բաղկացած թվի։

Միայն մեկերից բաղկացած թիվը  3-ի բաժանվելու համար, 1-երի քանակը պետք է լինի եռապատիկ։

Որպեսզի պարզենք, թե ինչպիսի թվեր կան, որ բաղկացած են միայն 1-երից եւ բաժանվում են 100 հատ մեկերից բաղկացած թվի, ներկայացնենք դրանք 10-ական համակարգով գրառման ձեւով, այն է՝ որեւէ k բնական թվի համար, որոնելի m թիվը կունենա հետեւյալ տեսքը՝

100 մեկերից բաղկացած թիվը կունենա հետեւյալ տեսքը՝

Ակնհայտ է, որպեսզի այս թվերից առաջինը բաժանվի երկրորդին, ապա առաջին թիվը ներկայացնող բազմանդամի անդամների քանակը՝  k+1-ը պետք է լինի երկրորդ թիվը ներկայացնող բազմանդամի անդամների թվի պատիկը։ Դա հեշտությամբ կտեսնենք, եթե փորձենք առաջին թիվը որպես բազմանդամ բաժանել երկրորդ բազմանդամին։

Այսինքն որոնելի m թվի թվանշանների քանակը կարող է լինել 200 հատ 1, 300 հատ մեկ եւ այլն։ Ակնհայտ է, որ 200 հատ մեկերից բաղկացած թիվը 3-ի չի բաժանվի։ Ուստի ամենափոքր թիվը, որը բաղկացած է մեկերից, բաժանվում է ե՛ւ 3 -ի, ե՛ւ 100 հատ մեկերից բաղկացած թվին, դա 300 հատ մեկերից բաղկացած թիվն է։

Ստեփան Մարգարյան

Լուսանկարը՝ Արմինե Թոփչյանի

  • Deutsch
  • 日本語
  • Հայերեն
  • English
  • Georgian
  • Русский