Գիտություն և մեթոդ

II գլուխ
Մաթեմատիկական սահմանումներ և դասավանդում

1. Այստեղ պետք է խոսեմ մաթեմատիկական գիտությունների մեջ ընդհանուր սահմանումների մասին. ամեն դեպքում դա է պարտադրում այս գլխի անվանումը: Բայց չեմ կարող այն չափով մնալ հարցի շրջանակներում, ինչքան պահանջում է գործողությունների միասնության կանոնը. չեմ կարող բացատրել հարցը՝ չշոշափելով առնչվող ուրիշ հարցեր, և ուստի աջ կամ ձախ շեղվելու համար, ինչին հետագայում կհանդիպեք, խնդրում եմ ներել ինձ

Ի՞նչ են հասկանում՝ լավ սահմանում ասելով: Փիլիսոփայի կամ գիտնականի համար դա այն սահմանումն է, որը կիրառելի է բոլոր սահմանվող առարկաների և միայն դրանց համար. այդպիսի սահմանումը բավարարում է տրամաբանության կանոններին: Բայց դասավանդման դեպքում հարցն այլ կերպ է դրվում: Այստեղ լավ սահմանումն այն է, որն աշակերտներին հասկանալի է:

Ինչո՞վ բացատրենք, որ շատ ուղեղներ հրաժարվում են մաթեմատիկան հասկանալուց: Արդյո՞ք սա պարադոքսալ չէ: Իրականում սա գիտություն է, որը միայն տրամաբանության հիմնական կանոններին է դիմում, օրինակ հակասությունների սկզբունքին, դիմում է նրան, ինչը այսպես ասած, կազմում է ըմբռման կմախքը, նրան, ինչից հնարավոր չէ հրաժարվել առանց հրաժարվելու բուն մտածողությունից, բայց լինում են մադիկ, որոնց այս գիտությունը մութ է թվում: Եվ այդպիսի մարդիկ մեծամասնություն են: Թող ի վիճակի չլինեին ստեղծելու, թերևս դա թույլատրելի է: Բայց նրանք չեն հասկանում իրենց ներկայացվող ապացույցները, կույր են մնում, երբ իրենց ես մատուցում լույսը, որ մեզ համար վառվում է մաքուր, պայծառ բոցով. ա՛յ, թե ինչն է շատ տարօրինակ:

Ընդ որում բավական է քննություններից ստացվող ոչ մեծ փորձը, որպեսզի համոզվենք, որ այդ կույրերն ամենևին էլ բացառություն չեն: Այստեղ խնդիր կա, որը հեշտությամբ չի լուծվում, բայց որը պետք է հետաքրքրի բոլոր նրանց, որ դասավանդման գործին են ցանկանում նվիրվել:

Ի՞նչ է նշանակում հասկանալ: Արդյո՞ք այս բառը բոլորի համար նույն նշանակությունն ունի: Թեորեմի ապացույցը հասկանալ՝ նշանակո՞ւմ է արդյոք հաջորդաբար դիտարկել ապացույցը կազմող յուրաքանչյուր եզրահանգում և փաստել, որ այն ճիշտ է, խնդրի ընթացքին համապատասխանում է:  Ճիշտ նույն ձևով՝ սահմանումը հասկանալ արդյո՞ք նշանակում է հաստատել, որ օգտագործվող բոլոր տերմինների իմաստը հասկանալի է, և փաստել, որ սահմանումը ոչ մի հակասություն չունի:

«Այո» կասեն ոմանք, որոնք, փաստելով, որ սահմանման մեջ հակասություն չկա, կասեն՝ «հասկացանք»: «Ոչ» կասի մեծամասնությունը: Համարյա բոլոր մարդիկ ավելի պահանջկոտ են. նրանք ցանկանում են իմանալ ոչ միայն՝ ճի՞շտ են արդյոք ապացույցի բոլոր եզրահանգումները, այլ նաև, թե ինչու են եզրահանգումները կապվում այդ հաջորդականությամբ, այլ ոչ մեկ ուրիշ: Քանի դեռ նրանց թվում է, թե այդ կապը քմահաճույքից է ծնվել, այլ ոչ թե հետապնդվող նպատակը մշտապես գիտակցելու բանականությունից, նրանք կարծում են, որ ապացույցը չեն հասկացել:

Անկասկած նրանք իրենց հաշիվ չեն տալիս, թե ինչ են պահանջում, և չեն կարող ձևակերպել իրենց ցանկությունը, բայց երբ բավարարվածություն չեն գտնում, աղոտ զգում են, որ ինչ-որ բան պակասում է: Իսկ ի՞նչ է տեղի ունենում: Սկզբում նրանք դեռ վերցնում են այն ակնհայտը, ինչ աչքի է զարնվում, բայց քանի որ դրանք նուրբ թելերով կապված են նախորդների և հաջորդների հետ, ոչ մի հետք չեն թողնում նրանց ուղեղում. անմիջապես մոռացվում են: Մի պահ լուսավորվելով՝ անմիջապես անհետանում են հավերաժական գիշերվա մթության մեջ: Իսկ երբ այդ մարդիկ հետևում են ապացույցի հետագա ընթացքին, նրանց համար նաև նախկին եթերային պարզությունը է վերանում, քանի որ թեորեմները հենվում են իրար վրա, իսկ իրենց պետքական թեորեմներն արդեն մոռացվել են: Այսպիսով, այդ մարդիկ մաթեմատիկան հասկանալու անկարող են դառնում:

Միշտ չէ, որ այստեղ մեղավորը դասավանդողն է. հաճախ, մարդկանց՝ ղեկավարող թելի կարիք ունեցող միտքը չափից դուրս ծույլ է լինում դա գտնելու համար: Բայց որպեսզի օգնենք չհասկացողներին, պետք է սկզբում լավ պարզենք այն, ինչը նրանց խոչընդոտում է: 

Կարող են հարցնել, թե ինչի համար է այս ամենը. նրանք չեն հասկանա եզրահանգումները, եթե իրենց կյանքում կամ բնության մեջ հիմնավորում չեն գտել այս կամ այն մաթեմատիկական հասկացության համար:    Յուրաքանչյուր բառի ետևում նրանք ցանկանում են զգայական պատկեր տեսնել. անհրաժեշտ է, որ սահմանումն առաջացնի այդ պատկերը, որ ապացուցման յուրաքանչյուր փուլում նրանք տեսնեն այդ պատկերի ձևափոխվելն ու զարգանալը: Միայն այդ դեպքում նրանք կհասկանան և կհիշեն ապացույցը: Այդպիսի մարդիկ հաճախ սխալ պատկերցում ունեն իրենք իրենց մասին. նրանք չեն լսում դատողությունները, այլ միայն դիտում են պատկերները, նրանց թվում է, թե իրենք հասկացել են, այն դեպքում, երբ միայն տեսել են: 

2. Ինչքա՜ն շատ միտումներ կան: Պե՞տք է, ադյոք, նրանց դեմ պայքարել: Թե՞ պետք է նրանցից օգտվել: Իսկ եթե ցանկանում ենք նրանց դեմ պայքարել, նրանցից որի՞ն պետք է նպաստենք: Արժե՞ միայն մաքուր տրամաբանությամբ բավարարվողներին ապացուցել, որ նրանք իրերի միայն մի կողմն են տեսնում: Թե՞ հակառակը, նրանց, որ այնքան էլ հեշտ չեն բավարարվում, պետք է ապացուցել, որ անհրաժեշտ չէ այն, ինչ իրենք պահանջում են:

Այլ կերպ ասած, պարտավո՞ր ենք երիտասարդներին ստիպել, որ փոխեն իրենց մտքի բնույթը: Այդպիսի փորձն ապարդյուն կլիներ: Մենք փիլիսոփայական քար չունենք, որով կարող էինք մեզ վստահված մետաղներից մեկը փոխել մյուսով. այն ամենը ինչ կարող ենք անել՝ աշխատելն է:

Երեխաների մեծամասնությունն ունակ չէ մաթեմատիկոս դառնալու, այնուամենայնիվ նրանց պետք է մաթեմատիկա դասավանդել: Դե, բոլոր մաթեմատիկոսներն էլ նույն կաղապարով չեն ձուլված:  Նրանց աշխատությունները կարդալը բավական է, որ նկատենք երկու տեսակի մտքի գոյությունը՝ տրամաբաններ, ինչպես Վայերշտրասը, և ինտուիտիվիստներ, ինչպես Ռիմանը:  Նման տարբերություն նկատվում է նաև ուսանողների մեջ: Նրանց մի մասը գերադասում է խնդիրը քննարկել, ինչպես իրենք են ասում, «վերլուծության միջոցով», մյուսները՝ «երկրաչափության միջոցով»:

Այդ հարցում ինչ-որ բան փոխելն անօգուտ կլիներ, բացի դրանից, արդյո՞ք ցանկալի կլիներ:

Լավ է, որ գոյություն ունեն տրամաբաններ և ինտուիտիվիստներ. ո՞վ կհամարձակվի պնդել, որ կգերադասեր, որ Վայերշտրասը երբեք չգրեր, կամ որ Ռիմանը չլիներ: Այսպիսով, պետք է համակերպվենք մտքերի բազմազանության հետ, իսկ ավելի լավ կլինի, որ դրանից ուրախանանք:

3. Քանի որ «հասկանալ» բառը մի քանի նշանակություն ունի, ապա մարդկանց որոշ խմբի համար ավելի հասկանալի սահմանումները չեն համընկնի այն սահմանումների հետ, որոնք հասկանալի են մարդկանց ուրիշ խմբի: Ունենք այնպիսի սահմանումներ, որոնք ձգտում են մեր մտքում պատկեր առաջացնել, և իրենց վերացարկվածությամբ որևէ նյութական բովանդակությունից զուրկ սահմանումներ, որոնք ընդամենը զուգադրում են միայն մտքին (բայց միայն նրան) հասանելի դատարկ ձևերը:

Չգիտեմ՝ արժե՞ օրինակներ բերել: Այնուամենայնիվ, բերենք մի քանիսը և ամենից առաջ կանգ կառնենք կոտորակների սահմանման վրա, որը ծայրահեղ օրինակ է: Տարրական դպրոցներում, որպեսզի կոտորակը սահմանեն, խնձոր կամ տորթ են կտրտում. իհարկե, մտքով են կտրտում, ոչ թե իրականում, չեմ կարծում, որ տարրական դպրոցի բյուջեն այդպիսի շռայլություն թույլ տա: Կարգին բարձրագույն դպրոցում կամ ֆակուլտետներում, հակառակը, կասեն, որ կոտորակը երկու ամբողջ թվերի՝ հորիզոնական գծիկով բաժանված ամբողջություն է. պայմանավորվածության միջոցով կսահմանեն այն գործողությունները, որոնք կարելի է կատարել այդ սիմվոլների հետ, կապացուցեն, որ այդ գործողությունների համար կանոնները նույնն են, ինչ որ ամբողջ թվերի համար և, վերջապես, կհայտնաբերեն, որ եթե, այդ կանոնների համաձայն, կոտորակը բազմապատկենք իր հայտարարով, կստանանք համարիչը: Այստեղ այդպիսի սահմանումը տեղին կլինի, քանի որ ներկայացվում է երիտասարդ մարդկանց, որոնց վաղուց վարժվել են կոտորակներին (նրանք խնձորները և այլ առարկաներ արդեն բաժանել են), ում միտքն արդեն մաթեմատիկական խորահմտության (էրուդիցիայի) մեծ փորձ ունի, ովքեր, վերջապես, ցանկանում են մաքուր տրամաբանական սահմանում ստանալ: Բայց ինչքան կշփոթվեր սկսնակը, եթե նրան այսպիսի սահմանում մատուցեին:

Հենց այսպիսիք են սահմանումները, որ կգտնեք  Հիլբերտի մի քանի անգամ մրցանակների արժանացած «Երկրաչափության հիմունքները» գրքում: Տեսնենք, թե ինչպես է նա սկսում. վերցնենք առարկաների երեք համակարգեր, որոնք կանվանենք կետեր, ուղիղներ և հարթություններ: Թե ինչ են այդ «առարկաները» չգիտենք, և պետք էլ չէ, որ իմանանք։ Նույնիսկ մեղք կլիներ իմանալ փորձելը:  Ամենը, ինչին կարող ենք հավակնել, հանգում է նրան, որ յուրացնենք դրանց վերաբերող աքսիոմները, օրինակ՝ հետևյալը. երկու տարբեր կետեր միշտ որոշում են ուղիղ, և դրա մեկնաբանությունը. «որոշել» բառի փոխարեն կարող ենք ասել, որ ուղիղը անցնում է երկու կետերով, կամ միացնում է երկու կետերը, կամ, որ երկու կետերը գտնվում են ուղղի վրա:  Նշանակում է. որ «կետերը գտնվում են ուղղի վրա» արտահայտությունն ուղղակի հոմանիշ է «կետերը որոշում են ուղիղը» արտահայտությանը: Ահա մի գիրք, որը շատ գնահատում եմ, բայց որը լիցեիստին խորհուրդ չէի տա: Ընդ որում առանց վախենալու կարող էի դա անել, քանի որ գրքի ընթեցման ժամանակ նա շատ հեռու չէր գնա:

Վերցրեցի ծայրահեղ օրինակներ. ոչ մի դասվանդող, իհարկե, այդպիսի սահմանումներ չէր առաջարկի: Արդյո՞ք նման վտանգ չի մնում նաև այն ժամանակ, երբ իրականությանն ավելի մոտ ենք լինում:

Ահա չորրորդ դասարանում ենք: Դասավանդողը թելադրում է. «շրջանագիծը հարթության վրա ներքին կենտրոն կոչվող մի կետից միևնույն հեռավորության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղն է»: Լավ աշակերտն այդ արտահայտությունը գրում է իր տետրում, իսկ վատը շարունակում է մարդուկներ նկարել, բայց նրանցից ոչ մեկն էլ ոչինչ չհասկացավ:  Այդ ժամանակ դասավանդողը վերցնում է կավիճը և գրատախտակին շրջանագիծ գծում: «Ահա,- մտածում են աշակերտները,- ինչու միանգամից չասաց՝ շրջանագիծը կլորն է. միանգամից կհասկանայինք»: Անկասկած, դասավանդողը ճիշտ է: Սովորողների բերած սահմանումը որևէ արժեք չէր ունենա, քանի որ չէր կարող ծառայել ինչ-որ բան ապացուցելուն, և հատկապես նրանց չէր հանգեցնի իրենց հասկացությունների վերլուծման փրկարար սովորությանը: Բայց հարկ էր նրանց ապացուցել, որ չեն հասկանում այն, ինչը նրանց հասկանալի է թվում, պետք էր նրանց ստիպել, որ իրենք իրենց հաշիվ տային, որ իրենց սկզբնական հասկացությունը կոպիտ է, այնպես անել, որ նրանք ցանկանային մաքրել և լավացնել այդ պատկերացումը:

4. Դեռ կվերադառնամ այս բոլոր օրինակներին:  Ցանկացա միայն ցուցադրել երկու հակադիր գաղափարներ. նրանց միջև կտրուկ տարբերություն կա, որի պատճառը բացահայտում է գիտության պատմությունը: Երբ հիսուն տարի առաջ գրված գիրք ենք կարդում, այնտեղ բերված դատողությունները մեզ հիմնականում տրամաբանական խստությունից զուրկ են թվում:

Այն ժամանակ ենթադրում էին, որ անընդհատ ֆունկցիան չի կարող փոխել նշանը՝ առանց զրոյով անցնելու. հիմա դա ապացուցում են: Ենթադրում էին, որ հաշվարկման սովորական կանոնները կիրառելի են անհամաչափելի թվերի համար, հիմա դա ապացուցում են: Ուրիշ բաներ էլ էին ենթադրում, որոնց մի մասը հետո պարզվեց, որ սխալ է:

Ինտուիցիային էին վստահում: Բայց ինտուիցիցան չի կարող ապահովել ո´չ դատողությունների խստությունը, ո´չ դրանց ճշմարտացիությունը, դրանում գնալով ավելի ու ավելի են համոզվում: Օրինակ, ինտուիցիան հուշում է, որ ցանկացած կոր շոշափող ունի, այսինքն՝ ցանկացած անընդհատ ֆունկցիա ածանցյալ ունի, այնինչ այս դրույթը սխալ է: Եվ քանի որ գիտելիքը ձգտում էր վստահության, ապա ստիպված էին ավելի ու ավելի սահմանափակել ինտուիցիայի դերը: Ինչպե՞ս իրականացավ այս անհրաժեշտ զարգացումը Շուտով նկատվեց, որ դատողությունները միայն այն ժամանակ են ապացուցողական ուժ ստանում, երբ այդ խստությունը նախօրոք դրվում է սահմանման մեջ:

Առարկաները, որոնցով զբաղվում են մաթեմատիկոսները, երկար ժամանակ լավ սահմանումներ չեն ունեցել. այդ առարկաները հայտնի էին թվում, քանի որ մարդիկ դրանք պատկերացնում էին զգայարանների կամ երևակայության միջոցով, բայց իրականում  դրանց պատկերները աչքի էին ընկնում կոպտությամբ. չկային ճշգրիտ գաղափարներ, որոնց վրա հիմնվեր ապացույցը: Հենց այս ուղղությամբ ստիպված եղան տրամաբանները ուղղել իրենց ուժերը: Որպես օրինակ կարող են ծառայել անհամաչափելի թվերը:

Անընդհատության չսահմանված գաղափարը, որի համար պարտական ենք իտուիցիային, լուծվեց, որպես ամբողջ թվերի ետ կապված անհավասարությունների բարդ համակարգ:  Դրա շնորհիվ, վերջապես, վերացան այն բոլոր դժվարությունները, որոնք վախեցնում էին մեր հայրերին, երբ նրանք մտածում էին անվերջ փոքրերի հաշվի հիմունքների մասին:

Հիմա անալիզը գործ ունի միայն ամբողջ թվերի կամ ամբողջ թվերի վերջավոր կամ անվերջ համակարգերի հետ, որոնք կապված են հավասարությունների և անհավասարությունների համախմբով:

Ինչպես ասում են, մաթեմատիկական գիտությունները թվաբանացվեցին:

5. Իսկ կարելի՞ է ասել, որ այդ գիտությունները բացարձակ խստության հասան՝ առանց իրենց կողմից որևէ զոհաբերության: Բնավ. այն, ինչ նրանք ձեռք բերեցին խստության մեջ, կորցրին առարկայականում: Նրանք կատարյալ մաքրության հասան՝ հեռանալով իրականությունից:  Հիմա կարելի է ազատ դիտարկել մաթեմատիկական գիտելիքի ամբողջ տարածքը, որն առաջ մասնատված էր արգելքներով, բայց այդ արգելքները չեն վերացել: Նրանք միայն տեղափոխվել են սահմանի վրա, և եթե ցանկանում ենք անցնել այդ սահմանը, որպեսզի մտնենք գործնականի բնագավառը, ապա պետք է հաղթահարենք այդ արգելքները:

Առաջ ունեինք չկապակցված տարրերից կազմված ոչ պարզ հասկացություններ, որոնց մի մասը ապրիորի էր, մյուս մասը բխում էր շատ թե քիչ պարզված փորձից. մտածում էինք, որ նրանց գլխավոր հատկությունները ճանաչվել են ինտուիտիվ ճանապարհով: Հիմա փորձնական տարրերը մերժվում են և պահպանվում են միայն ապրիորի տարրերը, որոնց սահմանման համար ընտրվում է հատկություններից մեկը, իսկ մնացած բոլորը ստացվում են դրանից, խիստ դատողությունների միջոցով:  Դա լավ է, բայց մնում է դեռ ապացուցել, որ որպես սահմանում ընտրված հատկությունը իսկապես պատկանում է այն իրական օբյեկտներին, որոնց հետ մեզ ծանոթացրել է փորձը, և որոցից մենք ստացել էինք մեր պարզ ինտուիտիվ պատկերացումները: Որպեսզի դա ապացուցենք, անհրաժեշտ կլինի փորձին կամ մեր ինտուիցիայի ջանքերին դիմել. եթե դա չապացուցենք, ապա մեր թեորեմները բացարձակ խիստ կլինեն, բայց բացարձակ անօգտակար:

Տրամաբանությունը հաճախ այլանդակությունների է հանգեցնում: Կես դարի ընթացքում մենք ականատեսն ենք եղել, թե ինչպես են առաջացել բազում տարօրինակ ֆունկցիաներ. այդ նոր ֆունկցիաները, կարծես, ձգտում են հնարավորին չափ քիչ նմանվել այն ազնիվ ֆունկցիաներին, որոնք ինչ-որ բանի ծառայում են: Այդպիսին են, օրինակ, անընդհատ, բայց ածանցյալ չունեցող ֆունցիաները: Դեռ ավելին, տրամաբանության տեսանկյունից այդ տարօրինակ ֆունկցիաները հենց ամենաընդհանուրն են, իսկ այն ֆունկցիաները, որոնք գտնում ենք առանց երկար փնտրտուքի, կարծես մասնավոր դեպքն են կազմում: Նրանց համար մի փոքրիկ անկյուն է մնում: Ժամանակին որևէ նոր ֆունկցիայի գտնելը նկատի է ունեցել գործնական նպատակ: Հիմա հատուկ ստեղծվում են ֆունկցիաներ, որպեսզի հայտնաբերեն մեր հայրերի դատողությունների անբավարար լինելը. բացի սրանից, որևէ ուրիշ հետևություն հնարավոր չէ անել:

Եթե մանկավարժի միակ ղեկավարը տրամաբանությունը լիներ, ապա պետք է սկսել ամենաընդհանուրից, այսինքն` ամենատարօրինակ ֆունկցիաներից: Այդ դեպքում հենց սկսնակին պետք էր հանձնել այդ այլանդակ ֆունկցիաների թանգարանի տիրապետությանը: «Եթե սա չանեք,- կասեին տրամաբանները,- ապա դուք անհրաժեշտ խստության կհասնեիք մի շարք փուլերից հետո»:

6. Հնարավոր է, որ դա այդպես է, բայց մենք չենք կարող չարժևորել իրականությունը: Այստեղ նկատի ունեմ, որ միայն զգայական աշխարհի իրականությունը, որը, ի միջիայլոց, արժեք ունի արդեն իսկ այն պատճառով, որ ձեր աշակերտների ինը տասներորդը ձեզ մոտ գործիքներ են փնտրում այդ իրականության հետ պայքարելու համար: Բայց ավելի նուրբ իրականություն կա, որը մաթեմատիկական նյութերի էությունն է կազմում, և որը ամեն դեպքում տրամաբանություն չէ:

Մեր մարմինը բաղկացած է բջիջներից, բջիջները՝ ատոմներից: Արդյո՞ք այդ բջիջներն ու ատոմներն այն ամենն են, ինչ մարդու մարմնում իրականն է: Արդյո՞ք դա իրականություն այն ձևը չէ (և ավելի հետաքրքիր իրականություն), որով այդ ատոմները հավաքված են, և ինչով որոշվում է մարդու անհատականությունը:  Կարո՞ղ է փղին միայն միկրոսկոպով ուսումնասիրած բնագետը մտածել, որ ինքը բավարար չափով ծանոթացել է այդ կենդանուն:

Նույնն էլ մաթեմատիկայի բնագավառում է: Երբ տրամաբանը իր ապացույցը ներկայացնում տարրական և լրիվ ճիշտ, գործողությունների տեսքով, նա դեռ իրականությունը ամբողջությամբ չի ընկալել. ինձ համար այն անհայտը, ինչը կազմում է ապացույցի ամողջականությունը, սպրդել է նրանից:

Արժե՞ մեր ուսուցիչների կառուցած շենքում զարմանալ պատշարի աշխատանքով, եթե չենք հասկանում ճարտարապետի ծրագիրը: Բայց ընդհանուր հայացքը մաքուր տրամաբանությամբ չի տրվում, այն ունենալու համար պետք է դիմենք ինտուիցիային:

Օրինակի համար դիտարկենք անընդհատ ֆունկցիայի գաղափարը: Սկզբում դա ոչ այլ ինչ է, քան զգայական պատկեր, կավիճով սև տախտակի վրա գծված հետք: Կամաց-կամաց այդ գաղափարը մաքրվում է: Դրանից օգտվում են անհավասարությունների բարդ, պարզագույն պատկերի բոլոր գծերը վերարտադրող համակարգ կազմելու համար: Երբ կառուցումն ավարտված է, կամարակապերը հանվում են, ինչպես դա արվում է կամարներ կառուցելիս. արդեն անօգտակար էր դարձած կոպիտ պատկերացումն անհետանում է, մնում է միայն շենքը, որը տրամաբանի աչքին անթերի է: Եվ այնուամենայնիվ, եթե դասավանդողը սկզբնական պատկերներում բովանդակություն չդներ, եթե նա ժամանակավորապես կամարակապեր չդներ, կարո՞ղ էր աշակերտը կռահել, թե ինչ քմահաճույքով են այդ բոլոր անհավասարությունները որոշակի կարգով դասավորվել իրար վրա:  Տրամաբանության տեսակետից սահմանումը ճիշտ կլիներ, բայց այն աշակերտին իսկական իրականությունը չէր բացահայտի:

7. Պարտավոր ենք վերադառնալ: Անկասկած ուսուցչին հաճելի չէ դասավանդել այն շրջանակում, որ իրեն լիովին չի բավարարում: Բայց ուսուցչի բավարարվածությունը չէ ուսուցման միակ նպատակը. ամենից առաջ պետք է հաշվի նստել աշակերտի մտքի հետ և նկատի ունենալ, թե ինչ ենք ցանկանում նրանից պատրաստել:

Կենդանաբանները պնդում են, որ կենդանու սաղմնային զարգացումը հակիրճ ամփոփում է նրա նախնիների պատմությունը տարբեր երկրաբանական շրջաններում:  Դաստիարակը երեխային պետք է ստիպի անցնել այն բոլոր աստիճաններով, որոնցով անցել են նրա նախնիները, անցնի արագ, բայց առանց միջանկյալ փուլեր բաց թողնելու: Այս իմաստով գիտության պատմությունը պետք է լինի մեր առաջին ղեկավարը:

Մեր նախնիներին թվում էր, թե իրենք գիտեն՝ ինչ է կոտորակը, անընդհատությունը, կոր մակերևույթի մակերեսը. միայն մենք նկատեցինք, որ նրանք դա չգիտեին: Ճիշտ այդպես էլ մեր աշակերտներն են մտածում, թե իրենք դա գիտեն, երբ ձեռնամուխ են լինում մաթեմատիկան լրջորեն ուսումնասիրելու։ Եթե առանց նախնական պատրաստության նրանց ասեմ. «Ոչ, դուք դա չգիտեք, դուք չեք հասկանում այն, ինչը ձեզ հասկանալի է թվացել, ես պետք է ապացուցեմ այն, ինչ ակնհայտ եք համարել». և եթե իմ ապացույցներում հենվեմ այնպիսի ելակետերի վրա, որոնք նրանց պակաս ակնհայտ թվան, քան եզրահանգումները, ի՞նչ մտածեն այդ խեղճերը: Նրանք կմտածեն, որ մաթեմատիկան ոչ այլ ինչ է, քան կամայականորեն հավաքված անօգուտ մտահանգումների կույտ, և նրանք կա´մ կզզվեն մաթեմատիկայից, կա´մ նրանով կխաղան և մտավոր առումով կնմանվեն հունական սոփեստներին: 

Հակառակը, հետագայում, երբ աշակերտը կվարժվի մաթեմատիկական դատողություններին, և նրա միտքը կհասունանա երկարատև աշխատանքի համար, կասկածներն իրենք իրենց կառաջանան, և այդ ժամանակ ձեր ապացույցը տեղին կլինի:  Այն նոր կասկածներ կառաջացնի, և հարցերը պատանու առաջ կկանգնեն նույն հաջորդականությամբ, որով նրանք կանգնել են մեր հայրերի առջև. և դա կշարունակվի այնքան ժամանակ, մինչև նա կզարգանա այն աստիճանի, որ նրան բավարարեն միայն մաքուր և խիստ ապացույցները: Ամեն ինչի կասկածելը դեռ բավարար չէ, պետք է իմանալ, թե ինչու են այդ կասկածներն առաջանում:

8. Մաթեմատիկայի ուսուցման գլխավոր նպատակը մտքի որոշակի ունակությունների զարգացումն է, իսկ այդ ունակությունների թվում ինտուիցիան ամենևին էլ պակաս արժեքավորներից չէ:  Դրա շնորհիվ է մաթեմատիկական պատկերների աշխարհը շփման մեջ մնում իրական աշխարհի հետ, և եթե մաքուր մաթեմատիկան կարող է լինել առանց ինտուիցիայի, ապա այն միշտ անհրաժեշտ է լցնելու համար այն անդունդը, որը բաժանում է սիմվոլները իրական աշխարհից. ինտուիցիային մշտապես կդիմի գործունեություն իրականացնող յուրաքանչյուր ոք, իսկ մեկ մաքուր երկրաչափին բաժին է ընկնում հարյուր պրակտիկ:

Ճարտարագետը պետք է լրիվ մաթեմատիկական կրթություն ստանա, բայց նրա ինչի՞ն է դա պետք: Որպեսզի տեսնի իրերի տարբեր կողմերը,  արագ տեսնի: Նա մանրուքների ետևից ընկնելու ժամանակ չունի: Բարդ ֆիզիկական առարկաների մեջ, որ նրա տեսահորիզոնում են, նա պետք է արագ գտնի այն կետը, որի դեպքում կիրառելի են իրեն տրված մաթեմատիկական գործիքները: Դա ինչպե՞ս կաներ, եթե առարկաների և գործիքների միջև մնար այն անդունդը, որ փորել են տրամաբանները:

9. Ապագա ճարտարագետների կողքին կան աշակերտներ, ոչ այնքան մեծաքանակ, որ պետք է ուսուցիչ դառնան: Սրանք մինչև վերջ պետք է գնան. նրանց համար ամենից առաջ պարտադիր է հիմնական սկզբունքների խորը և խիստ ուսումնասիրությունը: Բայց այստեղից չի հետևում, որ նրանց ինտուիցիան պետք չէ զարգացնել։ Այլապես նրանք գիտության մասին կեղծ պատկերացում կկազմեն, եթե միշտ միայն մի տեսանկյունից նայեն գիտությանը, և չեն կարող իրենց սաների մեջ զարգացնել այն որակները, որ իրենք չունեն:

Մաքուր երկրաչափի համար այս կարողությունն անհրաժեշտ է: Ապացուցում են տրամաբանության միջոցով, հայտնագործում ինտուիցիայի օգնությամբ: Լավ է քննադատել կարողանալը, բայց ավելի լավ է ստեղծել կարողանալը: Կարող եք ճանաչել՝ ճիշտ է արդյոք տրված զուգադրումը, և դա վատ չէ, եթե անգամ չեք տիրապետում բոլոր հնարավոր զուգադրումներից ընտրություն կատարելու արվեստին: Տրամաբանությունը մեզ ասում է, որ ինչ-որ ճանապարհով գնալիս կարող ենք վստահ լինել, որ խոչընդոտի չենք հանդիպի. նա չի ասում, թե որ ճանապարհը կհասցնի նպատակակետին: Դրա համար նպատակը հեռվից պետք է տեսնել, և ինտուիցիան այն կարողությունն է, որ դա սովորեցնում է: Առանց դրա երկրաչափը նման կլիներ գրողի, որ գամված է քերականությանը, բայց գաղափարներ չունի: Բայց ինչպես կարող է զարգանալ այդ կարողությունը, եթե նրան հետապնդում և վռնդում են, հենց որ հայտնվում է, եթե նրա նկատմամբ ավելի շուտ են անվստահության վարժեցնում, մինչև նրա օգտակարությունը տեսնելը:

Թույլ տվեք այստեղ հպանցիկ անդրադառնալ գրավոր աշխատանքի կարևրությանը: Միգուցե այդ աշխատանքները շատ քիչ տեղ են զբաղեցնում քննությունների ժամանակ, օրինակ՝ պոլիտեխնիկական դպրոցում: Ինձ ասում են, որ այդպիսի աշխատանքները կփակեին այն լավ աշակերտների ճանապարհը, ովքեր հասկանում են անցած դասընթացները, դրանք լավ գիտեն, բայց չեն կարողանում նույնիսկ դույն-ինչ կիրառել: Վերևում ասել եմ, որ «հասկանալ» բառը մի քանի նշանակություն ունի. այդ աշակերտները «հասկանում են» սահմանումներն այդ բառի՝ իմ բերած առաջին իմաստով, բայց տեսանք, որ այդպես հասկանալը բավարար չէ ո´չ ճարտարագետի, ո´չ երկրաչափի համար: Իսկ քանի որ այստեղ անհրաժեշտ է ընտրություն կատարել, գերադասում եմ ընտրել նրանց, որ ամբողջությամբ են հասկանում:

10. Բայց մի՞թե թանկարժեք որակ չէ ճիշտ մտածելու մշակույթը, որը մաթեմատիկայի ուսուցիչը ամենից առաջ պետք է մշակի: Սա չեմ մոռանում: Սրա մասին ամենասկզբից պետք է մտածել: Ես կհուսահատվեի, եթե տեսնեի, որ երկրաչափությունը վեր է ածվել ինչ-որ ցածր մակարդակի տախոչափության, և գերմանացի որոշ գերուսուցիչների ծայրահեղ վարդապետություններն ամենևին չեմ ստորագրում: Բայց մաթեմատիկա ուսուցանելու ժամանակ և հատկապես այն բաժինների, որտեղ այդ անհարմարությունները չեն հանդիպում, քիչ չեն դեպքերը, որոնք թույլ են տալիս աշակերտներին վարժվելու ճիշտ դատողություններ անելուն: Ունենք թեորեմների երկար շարան, որտեղ բացարձակ տրամաբանությունը անմիջապես և կարծես բնականորեն իշխող դիրք է գրավել, և դրանք, որպես առաջին երկրաչափների ձեռքերով ստեղծված օրինակներ, զարմանքի և ընդօրինակման են արժանի:  

Հատկապես հիմնական սկզբունքների շարադրման ժամանակ պետք է խուսափել ավելորդ նրբություններից:  Այստեղ նրանք չէին ներառվի, միևնույն ժամանակ ավելորդ կլինեին: Չի կարելի ամեն ինչ ապացուցել և ամեն ինչ սահմանել: Ստիպված ենք լինում ինչ-որ բաներ փոխառել ինտուիցիայից: Այդ փոխառումը մի քիչ շուտ, թե ավելի ուշ կանենք, շատ, թե քիչ կլինի՝ կարևոր չէ. միայն թե ինտուիցիայի տրամադրած հղումներից ճիշտ օգտվելով՝ սովորենք ճիշտ դատողություններ անել: 

11. Բայց հնարավո՞ր է բավարարել այդքան հակասական պայմանների: Հնարավո՞ր է դա հատկապես այն ժամանակ, երբ հարկ է լինում սահմանումներ տալ: Ինչպե՞ս գտնենք այն կարճ ձևակերպումը, որը միաժամանակ բավարարի տրամաբանության խստապահանջ օրենքներին, մեր ցանկությանը՝ հասկանալու այն տեղը, որը նոր հասկացությունը զբաղեցնում է գիտելիքների համախմբում, և մեր՝ պատկերներով մտածելու անհրաժեշտությանը: Ավելի հաճախ այդպիսի ձևակերպում գտնելը հնարավոր չէ, և ահա թե ինչու բավարար չէ սահմանումը ասելը, անհրաժեշտ է այն նախապատրաստել, անհրաժեշտ է այն արդարացնել:

Սրանով ի՞նչ եմ ցանկանում ասել: Գիտեք, թե ինչ հաճախ են ասում՝ յուրաքանչյուր սահմանում իր մեջ աքսիոմա է պարունակում, քանի որ այն պնդում է որոշակի օբյեկտի գոյություն: Հետևաբար, սահմանումը տրամաբանության տեսակետից արդարացված կլինի միայն այն ժամանակ, երբ կապացուցվի, որ այն չի հակասում ո´չ տերմիններին, ո´չ էլ ավելի շուտ ընդունված ճշմարտություններին:

Բայց սա ամենը չէ: Հիմա սահմանումը պայմանավորվածություն են համարում. բայց շատերը կբողոքեն, եթե ցանկանաք սահմանումը հարկադրել որպես կամայական պայմանավորվածություն: Նրանք կհանգստանան միայն այն ժամանակ, երբ պատասխանեք առաջացած բազմաթիվ հարցերին:

Ամենից հաճախ մաթեմատիկական սահմանումները, ինչպես ցույց է տվել Լիարը, ամբողջական կառույցներ են, որոնք կազմվում են պարզագույն հասկացությունների միջոցով: Բայց ինչո՞ւ են այդ տարրերը միավորվում հատկապես այդ ձևով, երբ հնարավոր են հազարավոր այլ եղանակներ: Քմահաճո՞ւյք է: Իսկ եթե ոչ, ապա ինչո՞ւ այդ զուգադրումը գոյության ավելի մեծ իրավունք ունի, քան մյուսները: Ի՞նչ անհրաժեշտության է այն բավարարում: Ինչպե՞ս կարելի էր կանխատեսել, որ այն կարևոր դեր կխաղար գիտության զարգացման գործում, որ այն կկարճեր մեր դատողությունները և հաշվարկները: Արդյոք բնության մեջ մի հատուկ առարկա կա՞, որը այդպիսի զուգադրաման կոպիտ և ոչ պարզ նախապատկերը լինի:

Սա ամենը չէ: Եթե այս բոլոր հարցերին բավարար պատասխանեք, ապա կտեսնենք, որ ընդունված զուգադրումը պետք է ինչ-որ անունով կոչենք: Բայց անվան ընտրությունն էլ կամայական չէ: Պետք է բացատրել, թե ինչ համաբանությամբ ենք առաջնորդվել անունը ընտրելիս: Եթե նույնանման անուն է տրվել տարբեր առարկաների, ապա պետք է ցույց տալ, որ այդ առարկաները միայն նյութապես են տարբերվում, ձևով մոտ են իրար, որ նրանց հատկությունները մոտ են, այսպես ասած՝ զուգահեռ են:

Ահա՝ ինչ գնով կարելի բոլոր պահանջներին բավարարել: Եթե ձևակերպումը բավականին ճիշտ է, որ բավարարի տրամաբանին, ապա դրա արդարացումը կբավարարի ինտուիտիվիստին: Բայց ավելի լավ է այլ կերպ վարվել. անհրաժեշտ է, որ ամեն դեպքերում, երբ հնարավոր է, արդարացումը նախորդի ձևակերպմանը և նախապատրաստի այն. մի քանի մասնավոր օրինակ ուսումնասիրելն ամենից լավ կհանգեցնի ընդհանուր ձևակերպմանը:

Մեկ հանգամանք ևս. ձևակերպված սահմանման յուրաքանչյուր մասը նպատակ ունի նշելու որոշակի օբյեկտի տարբերությունը մոտիկ ուրիշ առարկաների դասից: Սահմանումը հասկանալի կլինի միայն այն ժամանակ, երբ ցույց կտաք ոչ միայն սահմանվող առարկան, այլ նաև հարևան առարկաները, որոնցից այն պետք է տարբերվի. երբ տեսանելի կդարձնեք այդ տարբերությունը և միաժամանակ կասեք. «Ահա, թե ինչու սահմանման մեջ ընդգրկել եմ սա և սա»:

Հիմա մենք պետք է ընդհանուր դատողություններից անցնեք այն հարցը ուսումնասիրելուն, թե ինչպես կարելի է իմ կողմից շարադրված վերացական սկզբունքները կիրառել թվաբանության, երկրաչափության մեջ, անալիզում և մեխանիկայում:

Շարունակությունը

Թարգմանություն ռուսերենից