Թվերի ընտրության և թվաբանական խնդիրների կազմության սկզբունքները

Սկիզբը 
Նախորդ հատվածը

§ 5. Խնդիրների նյութի մեթոդաբանական համակարգման հարցը

Նախորդ գլխում տարբեր խնդիրների բերված օրինակները ցույց են տալիս, որ բավականին հեշտ է յուրաքանչյուր խնդրում առանձնացնել այն տարրերը, որոնք որոշում են նրանց դիդակտիկական արժեքը: Ընդ որում, ինչպես պարզ ցույց է տալիս 3-1=2 գործողությամբ լուծվող խնդիրների շարքը, հիմնական ուշադրությունը պետք է ուղղված լինի ոչ այնքան խնդրի «հանրահաշվական կառուցվածքին», այլ նրա կոնկրետ կաղապարին, այն բանին, թե մեծությունների որ շրջանում և ինչպես է իրականացված տվյալ «թվաբանական իրավիճակը»:

Հենց դրանով ենապես պայմանավորվում սովորողների պատկերացման հստակության աստիճանը և բնույթը, որով և խնդրի լուծման ժամանակ որոշվում է դատողության ընթացքը:

Անդրադառնալով նշված տարրերի առանձնացման հիմնական խնդրին, որ ձևակերպված է §4-ի սկզբում, որպես անհրաժեշտ նախնական աշխատանք` կարող ենք նշել թվաբանական խնդիրների արդեն իսկ կազմված և փորձարկված ժողովածուներում համապատասխան նյութի հետազոտումը գրեթե նույն ուղղությամբ, որով շարադրել ենք §4-ում: Սակայն  իրերի փաստացի վիճակի այդպիսի փորձնական ուսումնասիրությունը, նույնիսկ եթե հետագա կառուցումների համար կարող է ծառայել որպես հենակետ, ինքն իրենով բավարար չէ հենց միայն այն պատճառով, որ այդ ճանապարհին հնարավոր չէ դուրս գալ հարցերի տրադիցիոն շրջանակից և համապատասխանեցնել խնդիրների նյութը իրականության աճող պահանջների հետ: Հետևաբար անհրաժեշտ է ձեռնարկել ընդհանուր մեթոդաբանական գաղափարների վրա հիմնված լրացուցիչ վերլուծություն: Այս վերլուծությունը պետք է այնպես անել, որպեսզի a priori նախատեսվեն թվաբանական խնդիրների տարբեր հնարավոր և անհրաժեշտ տարրերը, գոնե այն տեսանկյունից, ինչ հնարավոր է թվաբանական սխեմայի քննարկում անվանել:

Այս վերլուծությունը հետագայում անհրաժեշտ է լրացնել հաճախ հանդիպող կոնկրետ մեծությունների այն ցանկի հիման վրա, որոնց մասին արդեն խոսվել է §3-ում, և դիտարկել «թվաբանական սխեմաների» բոլոր համապատասխան տարբերակները:

 Հարցին այսպիսի մոտեցման դեպքում փնտրվող կառույցների շրջանը ֆիքսվում է ուսումնական նյութի այն ծավալի և բովանդակության սահմանումով և թվաբանության դասավանդման հիմնական նպատակների այն բնութագրերով, որ հիմքում կդրվեն: Դրա համար բավարար ենք համարում հետևյալ դրույթները.

1.   Միջին դպրոցում թվաբանության դասավանդման հիմնական նպատակներն են.

ա) սովորողների` հստակ պատկերացումների ստեղծում և միաժամանակ ռացիոնալ թվերի հետ ռացիոնալ գործողությունների տեխնիկական ունակությունների ամրապնդում.

բ) սովորողներին՝ մեծությունների միջև համապատասխան տարրական ֆունկցիոնալ կախվածություններին և ա) կետում նշված` այս խնդիրներին վերաբերվող պատկերացումների և հմտությունների վրա հիմնված լուծման մեթոդների ծանոթացում: Վերջինը պետք է իրականացվի որակական և քանակական առումով այնպես, որպեսզի  բավարար պատրաստվածություն ապահովի պրակտիկ գործունեության կամ հետագա ուսուցման ընթացքում մասնագիտանալու համար:

Միացնելով այս ամենին թվաբանության մեջ ուսումնասիրվող այնպիսի մեծությունների միջև կախվածության ֆունկցիոնալ բնութագիրը, որոնք ընդգրկվում  են գծային կախվածության ընդհանուր հասկացությամբ և հակառակ կախվածության  տարրական հատկություններով և հաշվի առնելով այն, ինչ ասվել էր խնդիրների լուծման թվաբանական մեթոդի առանձնահատկությունների մասին, կարող ենք ասել, որ.

2.   Թվաբանության ուսուցման ժամանակ թվաբանական «տեքստային» խնդիրների լուծման հիմնական նպատակներ են (ա) և բ) ընդհանուր խնդիրների հետ միասին).

ա) մեծությունների միջև հենց նոր բնութագրված կախվածություններով կոնկրետ դեպքերին վերաբերող հստակ պատկերացումների ձևավորումը և ամրապնդումը (սովորողների համար առավել մատչելի և գործնականում կարևոր):

բ) տվյալների և փնտրվող մեծությունների միջև հնարավոր բազմազան փոխհարաբերությունների մեջ կողմնորոշվելու ունակության դաստիարակումը` տրամաբանական դատողության բնական ընթացքի հենքի վրա, որը հիմնված է համապատասխան թվային տվյալների փոխադարձ պայմանավորվածության մասին առողջ մտքի թելադրած դատողության վրա.

գ) ա) կետում նշված մեծությունները համադրելու և գործողություններ կատարելու հմտությունների ստեղծումը և ամրապնդումը, որոնք հիմնված են ենթադրվող, սակայն սկզբունքորեն հնարավոր կոնկրետ իրավիճակում նրանց հանդեպ գործողություններով:

Հարցը դառնում է այս սկզբունքների վրա հիմնված մեթոդոլոգիական կառույցի իրականացումը, ինչի մասին և է խոսքը՝ հնարավոր թվաբանական սխեմաների և նրանց կոնկրետ իրականացումների համակարգումը և ցանկի կազմումը, այսինքն` վերը նշված նպատակներին համապատասխանող տարրերի, որոնցից կազմված են բոլոր թվաբանական կառույցները: Մենք համարում ենք, որ առավել լիարժեք և ընդհանրական պատկեր ստանալու համար այս աշխատանքը պետք է կատարել ոչ թե ուսումնական նյութի սովորական դասավորության կարգով, այլ կարգով, որը բնական է թվաբանության մեջ ուսումնասիրվող փոխհարաբերությունների առավել վերացարկված դասակարգման տեսանկյունից, միաժամանակ հաշվի առնելով հոգեբանական առանձնահատկություները, որոնք որոշում են վերցարկվածի կապը կոնկրետի հետ և սովորողների պատկերացումների բնույթը:

Նշված ճանապարհով առանձնացված տարրերի, նյութի դասավորության, սովորողներին դատողությունների նոր հնարքներին ծանոթացնելու նախապատրաստական աշխատանքի և այլ հարցերի մեկնաբանությունը պետք է լինի այդ տեսակի աշխատանքի վերջին մասը, որը անմիջականորեն նախորդում է խնդիրների համապատասխան հավաքածու կազմելուն:

Որքան մեզ հայտնի է, նշված ոչ մի ուղղություններով այսպիսի աշխատանք երբեք չի կատարվել, այն դեպքում, երբ նրա իրակացման այստեղ բերված կարգը, անշուշտ, ապահովում է նրա ռեալ իրականացումը:  Ավելին, դժվար թե կարելի լինի ժխտել թվաբանական, և ոչ միայն թվաբանական խնդիրների ժողովածուներ կազմելու հիմքում հենց այս տեսակի նախնական հետազոտությունների անհրաժեշտությունը:  Իհարկե, այն կարելի է տարբեր կերպ իրականացնել, և նրա արդյունքները չեն կարող միանշանակ կանխորոշել ո´չ նյութի ծավալը, ո´չ նրա ձևավորման դետալները՝ թողնելով բոլոր տեսկետներից բավականին մեծ հնարավորություն ստեղծագործական մեթոդական աշխատանքի համար: Բայց այս կամ այն տարրերի դերի վերաբերյալ դատողության համար հիմքը թվաբանության դասընթացի դասավորության մեջ արդեն դրված է, և կարելի է քննարկման ենթարկել և որոշումներ կայացնել համապատասխան մոտիվացման վրա հիմնված որոշակի և հստակ դրված խնդիրների վերաբերյալ: Մինչ այժմ նյութի անորոշությունը, քաոսը, նյութի ոչ համակարգվածությունը, գործնականորեն անհնար էին դարձնում այս ոլորտում  գոնե ինչ-որ չափով մեթոդական կարևորագույն խնդիրների արդյունավետ քննարկումը:

§6. Թվաբանական խնդիրների կառույցի մեջ մտնող պարզ տարրերի աղյուսակ

Հենց նոր բնութագրված և ըստ էության բավական քրտնաջան մեթոդական վերլուծության վերջնական արդյունքների շարադրումը այս հոդվածի խնդիրը չէ: Մենք կփորձենք այնուամենայնիվ մի քիչ հստակեցնել §5-ում ասվածը, որպեսզի ավելի պարզ պատկերացում կազմենք, թե ինչ բնույթի վերլուծություն և համակարգում նկատի ունենք:

Քանի որ նյութի համակարգումը հիմնականում կախված է երկու գործոնից՝ թվաբանական «սխեմաներ» և մեծությունների միջև կոնկրետ փոխհարաբերությունների ոլորտում դրա իրականացում, արդյունքների դասավորությունը ընդհանուր գծերով պետք է «կրկնակի մուտքով աղյուսակի» համապատասխանի:

Տարրերի համակարգումն, ասենք, ըստ ուղղաձիգի, փոփոխվող (ընդհանուր առմամբ՝ բարդացող) թվաբանական բովանդակությունը հորիզոնականում պետք է համալրել տարբեր կոնկրետ մեկնաբանությունների թվարկումով ու վերլուծությունով և համապատասխան հոգեբանական պահերի վերլուծություններով:

Բացի դրանից, անհրաժեշտ է տալ նաև տարբեր խնդիրների ուղղահայացով մենագրական համեմատություն, այսինքն` կոնկրետ տրված նյութին վերաբերող հարցադրումների և դատողությունների հնարքների ամփոփում:

Ըստ ուղղաձիգի համակարգումը մեզ հետևյալ տեսքով է ներկայանում (մենք պահանջներ չենք ներկայացնում, որպեսզի առանձին կետերը միմյանց չծածկվեն):

I.Մեկ սկալյար արժեքի հետ կապված առնչություններ.

1) հավասարության և անհավասարության առնչություններ
2) ադիտիվ մեծություններ. մեծության երկու արժեքների տարբերական համեմատություն
3) առաջին աստիճանի գործողության օգնությամբ մեծության արժեքի աճ կամ նվազում (գումարում կամ հանում)
4) մեծության արժեքի բազմապատիկ փոփոխություն. բազմապատկման գործողություն
5) հավասար մասերի բաժանում
6) ամբողջի և ամբողջի մասերի միջև առնչություններ
7)  մեծության երկու արժեքների բազմապատիկ համեմատություն. բաժանում բովանդակությամբ
8)  մեծության արժեքը հավասար մասերի բաժանելու և այդ մասերը միացնելու միջոցով մի արժեքից մյուսին անցում. ընդհանուր չափ
9)  մեծության չափում. չափման միավորներ, անցում չափման մի համակարգից մյուսին
10)  մեծության երկու արժեքների հարաբերության հասկացություն: Հարաբերության արտահայտում սովորական և տասնորդական կոտորակներով, տոկոսներով: Մեծության տրված երկու արժեքների միջոցով հարաբերության որոշում և տրված հարաբերության միջոցով արժեքներից մեկը հաշվում (մասը ամբողջով և ամբողջ մասով)
11)  մեծության արժեքների տարբերակային և պատիկային համեմատությունների համադրումը և դրանց համատեղ կիրառումը: Աճ՝ արտահայտված սկզբնական քանակի մասերով և տոկոսով, դրա կապը մեծության սկզբնական և վերջնական արժեքների հարբերության հետ.
12)  ամբողջի մասերի բնութագրում ամբողջի հետ հարաբերության միջոցով, տոկոսային հարաբերություններ: Շրջանաձև դիագրամներ: Միջին թվաբանական:

II. Մի քանի մեծություններ համատեղ դիտարկելու հետ կապված առնչություններ.

1) ուղիղ համեմատականություն. գումարային և պատիկ փոփոխությունների զուգահեռականություն. «միավորի բերել».
2) երկու համեմատական մեծությունների արժեքների պատիկ հարաբերությունների հավասարություն. համամասնություններ.
3) ուղիղ համեմատականություն. մեծության համապատասխան արժեքների հարաբերության հաստատունություն: համեմատության գործակից. մեծության հավասարաչափ փոփոխության ուժգնության բնութագիր. միատարր մեծությունների տեսակարար բնութագրեր. համեմատական հատվածներ.
4) համեմատական մեծությունների գումարային փոփոխության և պատիկ համեմատության համադրում, համեմատության համապատասխան հատկություններ.
5) գծային կախվածություն. սկզբնական արժեքն ու համեմատականության գործակիցը` որպես փոփոխության արագություն կամ տեսակարար բնութագրիչ. մեծության արժեքների սպառում համաչափ փոփոխության ճանապարհով.
6) երկկողմ փոփոխությունով ուղղորդված մեծություններ. հաշվարկի սկզբնակետ. տարբեր նշանների գումարային փոփոխություն.
7) երրորդի մեծությանը համեմատական մի քանի մեծությունների համատեղ դիտարկում. ամբողջի և մասերի փոխհարաբերությունները նրանց միևնույն կազմության դեպքում. փոփոխության արագությունների և տեսակարար բնութագրիչների համեմատություն. նմանության առնչություն. չափման կամայական միավորի ընտրություն. տարբերական և պատիկ հարաբերությունների համադրում.
8) մի քանի գծային կախվածությունների համատեղ դիտարկում. աճի ինտենսիվության համեմատություն. երկու գծային ֆունկցիաների տարբերական համեմատում. տիպային խնդիրներ, որոնք լուծվում են թվային տվյալների անհամապատասխանությունների վերլուծության հիման վրա.
9) մեծությունների միջև հակդարձ համեմատական կախվածություն. չափում ամբողջի մասերով և չափի կամայական միավորների օգնությամբ. ուղիղ և հակադարձ առնչություններ. համամատությունների օգտագործում. բարդ (բաղադրյալ) միավորներ. տարբեր կոնկրետ դեպքերում գումարային փոփոխությունների և տարբերական տվյալների հաշվառում.
10) մի քանի մեծությունների ուղիղ և հակադարձ համեմատականություն.
11) ավելի բարդ կախվածություններ. ծավալի և մակերեսի չափում. մեծությունների ոչ գծային փոփոխություն. աղյուսակներ. գրաֆիկներ. գծային միջարկում. ֆունկցիաների աճում և նվազում. անսահմանափակ աճ և նվազում.
12) խնդրի կառուցվածքում «բարդության» տարր. համալիր խնդիրներ, դրանց ընդհանուր դասակարգում ու բնութագրում.
13) խնդիրների կառուցվածքում «նորույթի» տարրեր. ոչ սովորական հարցադրմամբ կամ լուծման մեթոդներով խնդիրներ.
14) խնդրի լուծման մեթոդական տարրեր. դատողության համադրական մեթոդի բնորոշ օրինակներ. ոչ բավարար կամ ավելորդ տվյալներով խնդիրներ. հանրահաշվական բովանդակությամբ խնդիրներ. լուծման թվաբանական և հանրահաշվական մեթոդների համադրում:

Ավելորդ չէ ասել, որ այս թվարկումը սպառիչ չէ: Յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է թվաբանական հայտնի խնդիրների ամբողջ շարքի և ենթակա է հետագա մասնատման՝ հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղություններով:

Այսպես, օրինակ, I.1 կետում (հավասարության և անհավասարության հարաբերություններ) պետք է տեղ գտնեն երկու կոնկրետ կոտորակների հավասարությանն ու անհավասարությանն առնչվող հարցեր (կոտորակների համեմատությանը, նրանց աճման կարգով դասավորելու վերաբերող խնդիրներ), դրա հետ կապված՝ սովորական և տասնորդական կոտորակների հավասարության (օրինակ, այնպիսի առնչությունների բացատրությունը, ինչպես 0,999...=1 և այլն), թվերի (մեծ ու փոքր) գրառման տարբեր ձևեր՝ թվային տվյալները միմյանց հետ համեմատելը հեշտացնելու համար 10-ի աստիճաններ առանձնացնելով, նույն նպատակով տոկոսներ և գծապատկերներ կիրառել, այնուհետև՝ կոտորակների բաղադրիչների՝ համարիչի և հայտարարի տարբեր (այդ թվում՝ գումարային) փոփոխությունների դեպքում կոտորակի փոփոխության (մեծանալ և փոքրանալ), վարժություններ, որոնք սովորողների մտքում կամրագրեն а:а=1 և а-а=0 հավասարությունները և այլն:

Նմանապես 1.11 կետը, ինչպես պարզ երևում է, ընդգրկում է զգալի թվով թվաբանական խնդիրներ: Դա պայմանավորված է հոգեբանական գործոններով: Ինչպես փորձն է ցույց տալիս, հենց տարբերական և բազմակի համեմատության տվյալների միաժամանակյա հաշավառումը («այսքանով» շատ ու քիչ և դրա հետ մեկտեղ ինչ-որ բանի մաս են կազմում և այլն) պահանջում են մեծ թվով վարժություններ, և սովորողները դրանք միանգամից չեն յուրացնում: «Համամասնական բաժանման» վերաբերյալ խնդիրները պարզ դեպքերում կարող են հանդիպել արդեն I.6 և I.12 կետերում, ինչպես նաև II.7, II.9 և II.10 կետերում: Այստեղ տարբերությունը որոշ չափով կապված է անցած նյութի հետ՝ նույն հարցը տարբեր կերպ է լուսաբանվում, և նկատի առնվող հմտություններն էլ տարբեր են: Շարժման վերաբերյալ տիպային խնդիրները (ճանապարհորդներ, սուրհանդակներ) համապատասխանում են II.5 և II.6 (և բազմաթիվ այլ) կետերին, խառնուրդների վերաբերյալ խնդիրները՝ հիմնականում II.8 կետին, լողավազանների և համատեղ աշխատանքի խնդիրները՝ II.9, II.10:

Բոլոր դեպքերում նկատի ունենք, և սա է հարցի էությունը, բավական ճշտգրիտ և ամբողջական բնութագիր այն բանի, թե ինչին պետք է հասնեն սովորողների պատկերացումների ու մտավոր կարողությունների զարգացումը տվյալ կետով և կոնկրետ ինչ նյութի նկատմամբ պետք է կիրառել:

Այսպես օրինակ, երկրորդ մասի I.11 կետում կարելի էր ձևակերպել պահանջ, որպեսզի սովորողը կարողանա ազատ կողմորոշվել §4-ի վերջում նշված ջրի և սպիրտի խառնուրդի խնդրի վերլուծության հետ կապված հարցերում, որտեղ բերված են նաև II.9 կետին համապատասխանող պահանջները:

Դժվար չի լինի թվարկել (հորիզոնականով) այն կոնկրետ մեծությունները, որոնց տեղեկատուի առկայության դեպքում, ինչի մասին խոսվում էր § 3-ում, պետք է ուշադրություն դարձնել:

Իմիջի այլոց նշենք, որ մենք կողմ ենք, որպեսզի թվաբանական նյութում ներառվեն նաև բացասական թվերի պարզագույն կիրառությունները և հատվածների համեմատականությանը վերաբերող երկրաչափական փաստերը, որոնք հանգեցնում են համեմատականության գործակիցների աղյուսականացմանը:

Հենց այդպես էլ, սովորողներին չվախեցնելով տարրական հանրահաշվի սկզբնական գլուխների շարադրման ծանրակշիռ տեխնիկական ապարատով, մեր կարծիքով, պետք է վերջ տալ թվաբանական խնդիրների լուծման ընթացքում տառային նշանակում ներմուծելու` ոչ մի բանի վրա չհիմնված վախին, ըստ այդմ, արդեն թվաբանության դասերի ժամանակ սովորողներին ծանոթացնել պարզագույն հավասարումներին` դրանք լուծելով «դատողությամբ»` սովորողներին ծանոթ թվաբանական դրույթների հիման վրա:

Մեզ թվում է, որ սա II.14 կետի վերջին հարցի հետ կապված երկընտրանքի առավել պարզ և նպատակահարմար լուծում է, ինչը արդեն շոշափել ենք §4-ում: Մենք մեծ նշանակություն ենք տալիս նաև հարակից առարկաների՝ առաջին հերթին ֆիզիկայի և քիմիայի կարիքներին (I.10-12; II.3, II.5-11).

Թվաբանական վարժությունների համապատասխան նյութի ոչ բավարար մշակումը, մեր կարծիքով, ոչ միայն միջնակարգ դպրոցի սովորողին պրակտիկ գործունեության նախապատրաստելու տեսանկյունից ամենամեծ թերությունն է, այլև մաթեմատիկական առարկաներ անցնելիս ինչպես կրտսեր, այնպես էլ միջնակարգ դպրոցում ծանր հետևանքների կհանգեցնի:

Մեր կարծիքով, շարադրվածը բավական պարզ բնութագրում է այն, ինչը նկատի ունենք, խոսելով պարզագույն տարրերի առանձնացման և համակարգման մասին, որոնք որոշում են թվաբանական խնդիրների բովանդակությունը և ներկայումս ենթակա են «թվաբանական նվազագույնում» ընդգրկվելու:

Համառոտակի ամփոփենք թվաբանական խնդիրների ընտրության, նախապատրաստման և դասավորության մեր կողմից առաջ քաշված հիմնական սկզբունքները:

Խնդիրների թվաբանական բովանդակությունը պետք է հաստատագրվի սովորողների մտածողության և երևակայության այն տարրերի մանրամասն և սպառիչ վերլուծության հիման վրա, որոնք թվաբանության ուսուցման նպատակն են: Այդ տարրերը որոշվում են մի կողմից` մեծությունների միջև ուսումնասիրվող կախվածությունների ֆունկցիոնալ և կոնկրետ բնույթով, և մյուս կողմից` տրամաբանական դատողությունների ընթացքի բնականությամբ և համապատասխան համադրումների և գործողությունների կոնկրետ մեկնաբանելիությամբ:

Խնդիրների հարցադրումը, որպես կանոն, պետք է իրական լինի, պատասխանի ստացումը՝ սովորողների համար հետաքրքիր, կոնկրետ ձևակերպումը և թվային տվյալների ընտրությունը պետք է ունենան կամ ճանաչողական արժեք կամ զգացմունքային, և ընդլայնեն սովորողների թվային մտահորիզոնը:

Խնդրի լուծումը պետք է սովորողների մեջ դաստիարակի հստակ պատկերացում հետազոտվող առնչությունների բնագավառի մասին, պետք եղած դեպքում անհրաժեշտ մաթեմատիկական միջոցներ կիրառելու հմտություն և ինչպես հաճախ հանդիպող պարզ, այնպես էլ բարդ և լուծողի համար նոր, բայց իրեն հասնելի թվաբանական իրավիճակներում կողմնորոշվելու կարողություն: