Թվեր: Թվաբանությունից մինչև բարձրագույն մաթեմատիկա

Սկիզբը 
Նախորդ հատվածը

Գլուխ 6
Թվերի ձևը

Մի քիչ էլ հունական զվարճություն

Հույն մաթեմատիկոսները հիմնականում երկրաչափությամբ էին զբաղվում և շատ ժամանակ էին անցկացնում հարթության վրա տարբեր երկրաչափական պատկերների տեսքով դասավորված կետերի քանակը հաշվելու համար: Եռանկյուն կազմող կետերի քանակը անվանում են եռանկյուն թվեր:

Եռանկյուն և քառակուսի թվեր

Կարելի է պատկերացնել գերփոքր եռանկյուն, որը մեկ կետից է բաղկացած: Երեք կետը նույնպես եռանկյուն են կազմում, որի յուրաքանչյուր կողմին երկուական կետ կա: Վեց կետը արդեն մեծ եռանկյուն է  կազմում, որի յուրաքանչյուր կողմին երեք կետ է, իսկ տասը կետով՝ եռանկյուն, որի յուրաքանչյուր կողմին չորսական կետ է:  Կարելի է եռանկյուն թվերը շարքով գրառել՝ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 և այլն: Յուրաքանչյուր հաջորդ եռանկյուն թիվը ձևավորում է եռանկյուն, որի յուրաքանչյուր կողմում մեկ կետ ավելի է: Եռանկյունաձև թվերի շարքը կարելի է անվերջ շարունակել:  

Ուշադրություն դարձրեք, որ եռանկյուն թվերի շարքը որոշակի օրինաչափություն է ձևավորում: Առաջին թիվը 1 է, հաջորդը հավասար է  3-ի, այսինքն՝ 1+2, հետո՝ 6, այսինքն՝ 1+2+3, հետո՝ 10, այսինքն՝ 1+2+3+4, հետո՝ 15, այսինքն՝ 1+2+3+4+5, և այլն: Այս օրինաչափությունը հիշելով` եռանկյունի թվերի շարքը ինչքան ուզեք կարող եք շարունակել` առանց եռանկյուն կազմելու և կետերը հաշվելու: Տվյալ թիվը եռանկյունաձև է, թե ոչ` կարելի է որոշել` ներկայացնելով այն վերը նշված շարքի տեսքով։ Եթե թիվը կարելի է ներկայացնել թվերի գումարի տեսքով, որտեղ առաջին թիվը մեկն է, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը` նախորդից մեկով մեծ, ապա այդ թիվը եռանկյունաձև է:

Թվերի ցանկացած խումբ, որը կարելի է ինչ-որ կանոնի բավարարող հաջորդականության տեսքով ներկայացնել, շարք է ձևավորում: Թվերը, որ այնպիսի կետերի քանակ են ցույց տալիս, որոնցից կարելի է քառակուսի կազմել, նույնպես կարելի է շարքի տեսքով ներկայացնել: Ինչպես նախորդ անգամ, մեկ կետը կարելի է ներկայացնել որպես գերփոքր քառանկյուն: Չորս կետը նույնպես քառանկյուն են ձևավորում, որի յուրաքանչյուր կողմին երկու կետ է: Ինը կետը մեծ քառանկյուն է կազմում, որի յուրաքնչյուր կողմին երեք կետ է, իսկ տասնվեց կետը՝ քառանկյուն, որի յուրաքանչյուր կողմին չորս կետ է:  
Կարելի է քառանկյուն թվերը շարքով գրառել` 1, 9, 16, 25, 36, 49 և այլն: Յուրաքանչյուր հաջորդ քառանկյուն թիվը ձևավորում է քառանկյուն, որի յուրաքանչյուր կողմին մեկ կետ ավելի է:  Քառանկյուն թվերի շարքը կարելի է անվերջ շարունակել:

Վերլուծելով քառանկյուն թվերի շարք կազմող թվերը` կտեսնենք, որ նրանք նույնպես ինչ-որ կանոնի են ենթարկվում: Սկսենք 1-ից: Այստեղ տարբերակներ չկան, մեկը հենց միավորն է: Բայց արդեն 4=1+3, հետո 9=1+3+5, 16=1+3+5+7 և այլն:
Այսպիսով, յուրաքանչյուր թիվ հաջորդական կենտ թվերի գումար է, որոնցից առաջինը մեկն է: 

Եռանկյուն և քառանկյուն շարքերի թվերի միջև եղած հարաբերությունները ցուցադրված է սխեմայում:

Եռանկյուն և քառակուսի թվերի հարաբերությունը շարքերով

Հույներն ունեին նաև հնգանկյուն թվերի շարք, որոնք ներկայացված են նկարում:  Այդ շարքը կարելի է դիտարկել որպես եառանկյուն և քառանկյուն շարքերի համադրություն: Եթե կառուցենք մի քանի հնգանկյուն նույն ձևով, ինչպես կառուցեցինք եռանկյուններն ու քառակուսիները, ապա կստանանք թվային շարք՝ 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70 և այլն: Սա թվային շարք է, որը ստացվում է իրարից երեքով տարբերվող թվեր գումարելով: Շարքի առաջին անդամը մեկն է: Երկրորդը՝ 5, այսինքն՝ 1+(1+3)=1+4։ Երրորդը՝ 12, այսինքն՝ 1+4+(4+3)=1+4+7, չորրորդը՝ 22, այսինքն՝ 1+4+7+10 և այլն:

Հույները հորինել են նաև ուրիշ երկրաչափական պատկերներ, որոնք թվային շարք են մոդելավորում: Այդպիսի հաջորդականանություն կազմող թվերը կոչվում են պատկերային: Մի քանի պատկերային թվերը մոդելավորվում են արդեն ոչ թե հարթ պատկերներով, ինչպես եռանկյունն ու քառակուսին, այլ ծավալային, օրինակ՝ խորանարդներով: Այդպիսի խորանարդները  նկարում պատկերելը դժվար է, սակայն եթե ուշադիր նայեք թվային շարքին, կարող եք ինչ-որ պատկերացում կազմել կետերից կազմված խորանարդային պատկերների մասին: Խորանարդ թվերի շարքն է 1, 8, 27, 64, 125 և այլն:

Խորանարդ թվերի շարքը նույնպես կենտ թվերի գումար է ներկայացնում, ճիշտ է, այդ գումարը մեկից չի սկսվում: Շարքի առաջին անդամը 1-ն է, երկրորդը՝ 8 կամ 3+5, երրորդը՝ 27 կամ 7+9+11, չորրորդը՝ 64  կամ 13+15+17+19: Յուրաքանչյուր թվային խումբ, որը պետք է գումարել, սկսվում է, այն թվին հաջորդող կենտ թվից, որն ամփոփել է նախորդ գումարը, իսկ ամեն հաջորդ գումարի գումարելիների քանակը մեկով ավելի է, քան նախորդը:  

Բացականչական նշան [1]

Մինչ այժմ մեր ուսումնասիրած բոլոր շարքերը կազմվում են կրկնվող գումարման գործողության օգնությամբ: Սակայն գոյություն ունեն նաև շարքերի ուրիշ տեսակներ, օրինակ շարք, որը կազմվում է կրկնվող բազմապատկման օգնությամբ:

Ենթադրենք, չորս տարբեր գույնի ուլունքներ ունեք, որոնք պետք է շարել: Քանի՞ տարբեր գունային համադրություն կարող եք կազմել այդ ուլունքներից: 

Պատկերացնենք, կարմիր, դեղին, երկնագույն և սպիտակ ուլունքներ կան (իրականում այս օրինակի համար համապատասխանում են ցանկացած գույները): Շարքը կարելի է ցանկացած գույնով սկսել, ուրեմն, չորս հնարավոր տարբերակ ունեք: Ընտրենք դրանցից մեկը, ապա պետք է շարել ևս երեքը, հետևաբար, ունենք 4x3 կամ12 հնարավոր տարբերակ: Էլի երկու ուլունք մնաց, կարող եք շարել մնացած երկու ուլունքներից մեկը, ինչն էլ տալիս է  4x3x2, կամ 24 հնարավոր տարբերակ: Այժմ մնաց միայն մեկ ուլունք, հետևաբար, դուք ունեք 4x3x2x1, կամ 24 հնարավոր տարբերակ: Նկարում պատկերված է գունային համադրությունների բոլոր հնարավոր 24 տարբերակները:

Տեսնում ենք, որ 24 թիվը կարելի է ներկայացնել որպես 4x3x2x1արտադրյալ: Այդպիսի մոտեցում օգտագործելով, կարող ենք յոթ տարբեր գույնի ուլունքների համակցությունները հաշվել: Այդպիսի տարբերակների քանակը 7x6x5x4xЗx2x1 է կամ 5040: Այսպիսի հաշվարկ կարելի է կատարել ուլունքների ցանկացած քանակի համար:

Հաջորդական թվերի բազմապատկումից  կազմված հաջորդականությունն անվանում են ֆակտորիալ:  Օրինակ, «4x3x2x1» արտահայտությունը կոչվում է «4-ի ֆակտորիալ»` այդ հաջորդականության ամենամեծ արտադրիչի թվով: 

Ճիշտ նույն կերպ էլ 7x6x5x4xЗx2x1 շարքը կոչվում է  «7-ի ֆակտորիալ»: Սովորաբար, ֆակտորիալը նշանակելու համար օգտագործում են բացականչական նշանը: Այսպես, «4-ի ֆակտորիալ»՝ 4!, իսկ «7-ի ֆակտորիալ»՝ 7!։ Բացականչական նշանի օգտագործումը լիովին հիմնավորված է. բացականչական նշանը ցույց է տալիս, որ հաջորդականության թվերը շատ արագ են մեծանում։ 1!, 2!, 3!, 4! շարքը և այլն` նույնն է, թե 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880 և այլն: Այս շարքի քսաներորդ անդամը, կամ 20!-ը հավասար է 2432932008176640000:

Քառակուսիներ, խորանարդներ և այլն

Այժմ, եթե նորից վերադառնանք եռանկյուն և քառականյուն թվերին, հեշտությամբ կհամոզվենք, որ գումարման գործողություն պարունակող կանոնավոր հարաբերությունների կողքին գոյություն ունեն բազմապատկման վրա հիմնված կանոնավոր հարաբերություններ:

1    Վերադառնանք երրորդ գլուխ, որտեղ պատմեցի քառակուսու մակերեսը որոշելու մասին: Հուսով եմ, հիշում եք, որ 1 կողմով քառակուսու մակերեսը (օրինակ, մեկ սանտիմետրի, մեկ մետրի կամ ցանկացած այլ երկարության չափման միավորի), հավասար է 1x1, այսինքն` մակերեսի միավորի՝ մեկ սանտիմետր քառակուսու, մեկ մետր քառակուսու կամ ցանկացած այլ երկարության չափման միավորի քառակուսուն: 2 կողմով քառակուսու մակերեսը հավասար է 2x2=4 :

Այժմ, եթե դիտարկենք 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 կողմերով քառակուսիների շարքը, հավասար, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 և այլն, նրանց մակերեսները կլինեն համապատասխանաբար 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 և այլն:

Համեմատելով այս շարքն այն շարքերի հետ, որոնք արդեն ուսումնասիրել ենք այս գլխի նախորդ բաժիններում, կտեսնեք, որ մեր դիմաց քառանկյունաձև թվերի շարքն է, որոնք գրառված են ոչ թե  նախորդ ձևով՝ 1,1+3, 1+3+5, 16, 1+3+5+7  և այլն, այլ՝  1x1, 2x2,
3x3, 4x4, 5x5, 7x7  և այլ տեսքով:

Այժմ ուսումնասիրենք խորանարդը, այսինքն` եռաչափ պատկերը, որը երկարություն, լայնություն և բարձրություն ունի, ընդ որում` բոլորն իրար հավասար են: 

Խորանարդի օրինակ կարող են լինել սեղանի խաղի խորանարդիկները կամ զառերը: Խորանարդի ծավալը հաշվում են երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը իրար հետ բազմապատկերլով: Ապացուցել կարելի է նույն մեթոդով, որից օգտվեցինք երրորդ գլխում քառակուսու կամ  ուղղանկյան մակերեսը հաշվելու համար, երբ բազմապատկեցինք երկարությունն ու լայնությունը:  

Միավոր կողմով խորանարդի ծավալը համապատասխանաբար հավասար է մեկ խորանարդ միավորի (1x1x1=1): 2 կողմով խորանարդի ծավալը հավասար է, համապատասխանաբար 2x2x2=8, կամ ութ խորանարդ միավորի: Կարելի է շարունակել այսպիսի հաշվարկները, և կստանանք, որ  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 և այլն կողմերով խորանարդների ծավալները համապատասխանաբար հավասար են 1, 8, 27, 64, 125, 216 և այլն: Այս թվերը կարելի է ներկայացնել 1x1x1; 2x2x2; 3x3x3; 4x4x4; 5x5x5; 6x6x6 և այլն տեսքով:

Ե´վ քառակուսիները, և´ խորանարդները հեշտ է պատկերացնել, քանի որ այդպիսի պատկերներ առօրյայում հաճախ են հանդիպում: Սակայն կարելի է երկրաչափական պատկերացումներից հեռանալ և թվային շարք կազմել, որտեղ թիվը  չորս, հինգ կամ վեց կամ ցանկացած այլ քանակի միանման արտադրիչների արտադրյալ է:

Միևնույն թիվը հաջորդաբար ինքն իր հետ բազմապատկելը մաթեմատիկայում շատ հաճախ օգտագործվող գործողություն է: Ժամանակին, երբ ուսումնասիրում էինք բազմակի կրկնվող գումարման գործողությունը, ներմուծեցինք նոր հասկացություն և մաթեմատիկական նոր գործողություն՝ բազմապատկում: Օրինակ, 6+6+6+6 փոխարինեցինք 6x4: Այդպես էլ՝ հաճախ օգտագործվող բազմապատկման 6x6x6x6 գործողությունը նոր սիմվոլի՝ աստիճանային արտահայտության օգնությամբ  կարելի է կարճ գրել 6⁴:

Ի՞նչ է նշանակում 6⁴:  Միայն այն, որ  6 թիվն ինքն իր հետ չորս անգամ բազմապատկում ենք, կամ 6x6x6x6: 10⁵ թիվը 10x10x10x10x10 է, իսկ З²–ը՝ 3x3-ը:

Կարելի է գրել թվերի քառակուսիների շարքը (1², 2², З², 4², 5², 6², 7² և այլն) և թվերի խորանարդների շարք (1³, 2³, З³, 4³, 5³, 6³, 7³ և այլն):

Հիմնական թվի աջ կողմի վերևում մանր տառաչափով գրված թիվը կոչվում է աստիճանացույց:   

Այն թիվը, որը աստիճան են բարձրացնում, այսինքն ինքն իրենով բազմապատկում են, կոչվում է աստիճանային թվի հիմք: 6⁴ արտահայտության մեջ 6 թիվը- հիմքն է, 4-ը՝ աստիճանացույցը:

Թվի` ինքն իր հետ բազմապատկումը կրկնելը կոչվում է աստիճան բարձրացնել: Այսպես, 6⁴–ը վեցի չորրորդ աստիճանն է, նմանապես 10⁵–ը՝ տասի հինգերորդ աստիճանը. Կարելի է ուղղակի ասել վեցի չորրորդ աստիճան կամ տասի հինգերորդ։ З² և З³ կարելի է անվանել ինչպես երեքի երկրորդ կամ երեքի երրորդ աստիճան, բայց հաճախ, հունական սովորույթին հետևելով, դրանք անվանում են երեքի քառակուսի կամ երեքի խորանարդ:

Առանց բազմապատկման հնարավո՞ր է

Աստիճանային թվերը մեծ հնարավորություն են տալիս. թույլ են տալիս բազմապատկումը գումարումով փոխարինելու, իսկ գումարելն ավելի հեշտ է, քան բազմապատկելը: Դիցուք, պետք է 16-ը բազմապատկել 64-ով: Այս երկու թվերի բազմապատկման արդյունքը 1024 է: Սակայն 16-ը 4x4-ն է, իսկ 64-ը՝ 4x4x4: Այսինքն՝ 16x64=4x4x4x4x4, որը նույնպես 1024 է:

16 թիվը կարելի է ներկայացնել նաև 2x2x2x2 տեսքով, իսկ 64-ը՝ որպես 2x2x2x2x2x2. և եթե բազմապատկումը կատարենք, նորից 1024 կստանանք:

Իսկ հիմա աստիճանային արտահայտություն օգտագործենք. 16=4² կամ 2⁴, 64=4³,կամ 2⁶, միևնույն ժամանակ, 1024=4⁵ կամ 2¹⁰:

Հետևաբար, մեր խնդիրը կարելի է այլ կերպ գրառել՝ 4²x4³=4⁵ կամ 2⁴x2⁶=2¹⁰, և ամեն անգամ 1024 ենք ստանում:

Կարող ենք միանման օրինակների շարք լուծել և ամեն անգամ կտեսնենք, որ բազմապատկման ժամանակ  աստիճանացույցների գումարման կանոնը ճիշտ է, բնականաբար այն պայմանով, որ արտադրիչների հիմքերը հավասար են:

Այսպիսով, կարող ենք բազմապատկում չկատարելով` իսկույն ասել, որ 2⁴x2²x2¹⁴=2²⁰, իսկ 84x87=7308.

Այս կանոնը ճիշտ է նաև բաժանման համար, սակայն այդ դեպքում բաժանելիի աստիճանացույցից հանում ենք բաժանարարի աստիճանացույցը: Այսպիսով, 2⁵:2³=2², որը սովորական թվերով հավասար է՝ 32:8=4, այսինքն 2²:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե այդպիսի մեթոդն այնքան էլ հարմար չէ, քամի որ սկզբում թիվը աստճանային տեսքով պետք է  ներկայացնել:

Դժվար չէ 8 և 16 թվերը այդպիսի տեսքով ներկայացնել, այսինքն՝ 2³ և 2⁴, բայց ինչպե՞ս վարվել 7 և17 թվերի հետ: Կամ ի՞նչ անել այն դեպքում, երբ թիվը կարելի է աստիճանային տեսքով ներկայացնել, սակայն հիմքերը խիստ տարբերվում են: Օրինակ, 8x9-ը  2³xЗ²-ն է, և այս դեպքում չենք կարող աստիճանացույցները գումարել: Ո՛չ 2⁵-ը, և ո՛չ З⁵–ը պատասխանը չեն, պատասխանն այս երկու թվերի միջև էլ չէ:

Այդ դեպքում արժե՞ այս մեթոդի հետ գլուխ դնել: Անկասկած արժե: Այն հսկայական առավելություն է տալիս, հատկապես  բարդ և աշխատատար հաշվարկներում: Որպեսզի հեշտ լինի առաջ շարժվել, եկեք ավելի մանրամասն ուսումնասիրենք  աստիճանային տերմինը և փորձենք նրան ավելի ընդհանրական մեկնաբանություն տալ:

Մինչ այժմ համարում էինք, որ աստիճանացույցը միևնույն արտադրիչների քանակն է: Այս դեպքում աստիճանացույցի մինիմալ մեծությունը  2 է: Սակայն, եթե կատարենք բաժանման գործողություն, կամ աստիճանացույցները հանենք իրարից, կարող ենք 2-ից փոքր թիվ  ստանալ, նշանակում է, հին սահմանումը չի կարող մեզ բավարարել:  

Վերադառնում ենք զրոյին և ավելի ներքև իջնում

Օրինակ, 16:8=2: Քանի որ 16=2⁴, իսկ 8=2³, հետևաբար, աստիճանային տեսքով բաժանումը կարելի է գրառել որպես 2⁴:2³=2, իսկ եթե աստիճանացույցները հանենք, կստանանք 2⁴:2³=2¹: Այսպիսով, պետք է ընդունենք, որ 2 և 2¹–ը նույն են, հետևաբար 2¹=2 :

Նույն կանոնը  ճիշտ է նաև ցանկացած ուրիշ աստիճանային թվի համար, այսպիսով, կարելի է կանոնն ամբողջական տեսքով ձևակերպել՝ ցանկացած թիվ մեկ աստիճան բարձրացնելս մնում է անփոփոխ: Այսինքն 5¹=5, 27¹=27 և այլն:

Սակայն հետո ամեն ինչ ավելի բարդանում է: Ինչի՞ է հավասար 8:8-ը: Իհարկե, մեկ: Սակայն 8=2³, հետևաբար 2³:2³=1: Բայց եթե աստիճանացույցները հանենք, զրո կստանանք 2³:2³=2⁰: Նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ 2⁰=1:
Կարծես, հենց այդպես է, որ կա:

Այս եզրակացությունը գուցե ձեզ զարմացրեց: 2¹=2 արտահայտության իմաստը դեռ  կարելի է հասկանալ, չնայած  «մեկ հատ երկուսը, ինքն իր հետ բազմապատկած» արտահայտությունը բավական տարօրինակ է հնչում: Սակայն 2⁰ արտահայտությունը նշանակում է  «ոչ մի հատ երկուսը ինքն իր հետ բազմապատկած», այսինքն` կարծես տրամաբանական կլիներ, որ  2⁰ հավասարվեր զրոյի: Հնարավոր է, դա տրամաբանական է, բայց մաթեմատիկոսները սովորական առօրյա տրամաբանությանը չեն հետևում: Սա ձեզ շշմեցնո՞ւմ է: Մաթեմատիկոսներն առաջնորդվում են ընդհանուր  օրինաչափություններով և դրույթների փոխադարձ համատեղելիության անհրաժեշտությամբ: Այլ կերպ ասած, մաթեմատիկոսները կարող են ընդունել ամենաանհավանական կանոնները, որոնք առօրյա տեսանկյունից կարող են ուղղակի անմտություն թվալ: Սակայն ինչպիսի արդյուքներ էլ որ ստացվեն, այդ օրենքները չպետք է մեկը մյուսին հակասեն: Աստիճանացույցների գումարման և հանման կանոնն այնքան լավ է գործում, որ եթե այն կիրառելու համար անհրաժեշտ է, որ 2⁰=1, այդպես էլ պետք է լինի: Մենք ուղղակի ընդունում ենք, որ 2⁰=1 հավասարությունը ճիշտ է:

Եթե ոչ թե 2³-ը բաժանենք 2³-ի, այլ 6³-ը` 6³-ի , ապա նորից կստանանք, որ 6⁰=1: Կարող ենք թիվը թվի հետևից ստուգել. ամեն անգամ միևնույն արդյունքը կստանանք՝ ցանկացած թվի 0 աստիճանը հավասար է 1.

Գնանք առաջ: 64-ը 128-ի բաժանելու դեպքում 64/128 կամ 1/2 կստանանք: Աստիճանային տեսքով խնդիրը կստանա հետևյալ տեսքը՝ 2⁶:2⁷:

Պատասխանը 2^-1 է, կամ 1/2, կամ, աստիճանային տեսքով՝ (1/2)¹: Նմանապես՝ 32:128= (1/4): Մեր խնդիրն աստիճանային տեսքով կլինի՝ 2⁵:2⁷:
Պատասխանը՝ 2^-2 է, կամ 1/4, կամ աստիճանային տեսքով՝ (¼)²: Կարող ենք էլի շատ օրինակներ բերել, և յուրաքանչյուր անգամ կտեսնենք, որ հակադարձ թվին անցնելու դեպքում բացասական աստիճանացույցը դրական է դառնում:

Այլ կերպ, 4^-7=(1/4)⁷, իսկ 10^-3=(1/10)³:  Այս կանոնը ճիշտ է ցանկացացած թվի համար:

6⁴=(1/36)^-4. կարող եմ մի քանի օրինակներ բերել, որոնք կցուցադրեն, որ «աստիճան» հասկացության այդպիսի մեկնաբանությունը հակասական չէ:

Եկեք ստուգենք, թե հավասա՞ր են արդյոք  և (1/6)^-4 արտահայտությունները: (1/6)⁴ արտահայտությունը կարելի է ներկայացնել  1:6⁴ տեսքով:

Բայց 1-ը հավասար է 6⁰, այսպիսով, մեր արտահայտությունը կստանա 6⁰:6⁴ տեսքը: Հանենք աստիճանացույցներն ու կստանանք 6^-4, ինչպես և սպասվում էր:

Իսկ ինչպե՞ս ցույց տալ, որ 6⁰ իրականում հավասար է 1 Ձեր կարծիքով, ինչի՞ է հավասար 36x1/36: Շատ պարզ է՝ 36x1/36=1. դա ոչ մի կասկած չի հարուցում:

Բայց 36=6², այդ դեպքում 1/36=(1/36)² կամ 6^-2: Այժմ 36x1/6 արտահայտությունը կստանա հետևյալ տեսքը 6²x6^-2, և եթե գումարենք աստիճանացույցները, կստանանք՝ 6°, այսինքն՝ 1.

Հասկանալի է, որ մեր օրինակները, խիստ ասած, ապացույց չեն: Մաթեմատիկոսները դրանք ուղղակի կանվանեին շրջանաձև դատողություններ: (Ահա այսպիսի շրջանաձև դատողության օրինակ: Դուք պնդում եք. «Կատու է կոչվում ցանկացած կենդանի, որը մլավում է», այստեղից եզրակացություն եք անում. «Կենդանին, որը մլավում է, կոչվում է կատու».) Այնուամենայնիվ այս օրինակները ցույց են տալիս, որ աստիճանացույցների հետ գործողությունների համակարգը տրամաբանական է:

Կարող ենք այն ցուցադրել նաև ուրիշ ճանապարհով, օրինակ մի քանի աստիճանային թվերի ցանկ կազմելով: Սկսենք  իրենք իրենցով բազմապատկվող քաջ հայտնի թվերի սահմանումը ցուցադրելուց:

2⁶=2x2x2x2x2x2=64
2⁵=2x2x2x2x2=32
2⁴=2x2x2x2=16
2³=2x2x2=8
2²=2x2=4

Այժմ համադրենք այս արտահայտության աջ և ձախ սյունակները` բաց թողնելով միջին սյունակը, այսինքն` իրենք իրենցով բազմապատկվող երկուսները: Տեսնում ենք, որ աստիճանացույցները մեկով փոքրացնելիս արդյունքը կրկնակի է նվազում: Եկեք այս սյունակը շարունակենք ցած՝ աստիճանացույցների հանման ուղղությամբ  և կստանանք.

2¹=2
2⁰=1
2^-1=1/2
2^-2=1/4
2^-3=1/8

Տեսնում եք, որ երբ աստիճանացույցը փոքր է 2-ից, գործում է միևնույն կախվածությունը, և համանման կանոնը ճիշտ է ցանկացած աստիճանային արտահայտության դեպքում: Կարող եք հեշտությամբ ցույց տալ, որ 3 հիմքով աստիճանային թվի դեպքում աստիճանացույցի նվազեցումը 1-ով բերում է արդյունքի երեք անգամ նվազման, իսկ   6 հիմքով աստիճանայինթվի աստիճանացույցի նվազեցումը  1-ով՝արդյունքի վեց անգամ նվազման: Բայց ցանկացած հիմքի դեպքում ընդհանուր կանոնը ճիշտ է:

Վերևում ամբողջ ասվածը նշանակում է, որ բազմապատկումը  գումարումով փոխարինելու մեր հնարավորություններն ընդարձակվում են: Այժմ կարող ենք 1/8-ը աստիճանացույցի օգնությամբ 1024-ով բազմապատկել, սակայն դեռ չենք պարզել, թե ինչպես կարելի է  7-ը և 17-ը բազմապատկել:

Այժմ գիտենք, որ լինում են ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական աստիճանացույցներ, և կարող ենք նրանցով աշխատել: Իսկ կոտորակային աստիճանացույցներ լինո՞ւմ են: Նախքան պարզելը, թե ինչ է կոտորակային աստիճանացույցը, եկեք հասկանանք  աստիճան բարձրացնելու հակադարձ գործողությունը:

Թարգմանություն ռուսերենից
Լուսանկարը` Սյուզի Հակոբյանի

[1] Խոսքը լատիներենում,  լատինտառ և այլ լեզուներում օգտագործվող ! նշանի մասին է։