Թվաբանության ուսուցում։ Մի գիտափորձի պատմություն

1-ին մաս
2-րդ մաս

Սա հանրակրթական դպրոցների տեսուչ Լ.Փ. Բենեզեթի թվով երրորդ և վերջին հոդվածն է, որտեղ նա Նյու Հեմփշիրի Մանչեսթերի դպրոցներում իրականացրած թվաբանության ուսուցման մի գիտափորձ է նկարագրում: Հոդվածի առաջին երկու մասերի հրապարակումները [1935-ի նոյեմբերին, էջ 241-4և1935-ի դեկտեմբերին,էջ 301-3] շատ դրական մեկնաբանություններ են ունեցել: Վիլյամ ՄակԷնդրյուն նյութն անվանում է «զորեղ ու լավ ընթերցվող մի գիտական հոդված, որը զերծ է նման հոդվածներին բնորոշ ձանձրալի բնույթից»: Նյու Ջերսիից Հելեն Այվես Շերմերհորնը գրում է, որ վերադառնալով միջին դպրոց մեծահասակների կրթական դաշտում տարիներ շարունակ աշխատելուց հետո, նա «սարսափահար է եղել այն բոլոր փոփոխություններից, որ տեղի են ունեցել, այն մեծ քանակի նոր ուսումնական գործունեություններից, որոնցից յուրաքանչյուրն ինքնին լավն է, այդուհանդերձ, անկանոն կերպով խժռում է երեխաների ժամանակը: Աններելի թվաց երեխաների անգլերենի թույլ իմացությունը. չափազանց քիչ ժամանակ էր հատկացված լեզվամտածողական հմտություններ ձեռքբերելու համար: Հույս ունեմ պարոն Բենեզեթի հոդվածի ազդեցությամբ շատ բաներ կփոխվեն:  Կանզասի Լորենս քաղաքի դպրոցների տեսուչ Ք.Ե. Բըրչը իր նամակում նշում է, որ Լորենսի դպրոցները վերջին երկու տարիներին վերանայում են թվաբանության ծրագիրը: Պարոն Բըրչը առաջարկել է քննարկել Բենեզեթի հոդվածները մասնագիտական հանդիպումներում և դրանց կիրառման հարց բարձրացնել տեղական իրավիճակի լույսի ներքո:
Արդյո՞ք ձեր դպրոցը նույն կերպ է մոտենում այս հոդվածներին: Հետաքրքիր կլիներ այս հարցի քննարկման համար կլոր սեղան քննարկում կազմակերպել ձեր համայնքում՝  ներգրավելով մի քանի առաջատար քաղաքացիների և տեսնել, թե ինչպիսին է նրանց վերաբերմունքը:
Ամսագրի* խմբագրի նախաբանը

Պետք է հասկանալի լինի, որ ես լավ գիտեի, որ իմ ամենադժվար գործը դեռ առջևում էր: Ստիպված էի ցույց տալ իմ ավելի պահպանողական ուսուցիչներին, թե ինչ ենք փորձում անել, և նրանց համոզել, որ դա հնարավոր է: Ես անցնում էի դպրոցից դպրոց, դասարանից դասարան՝  փորձարկումներ անելով, հարցաքննելով, օրինակներ տալով:

Մենք այցելուներ ունեցանք: Եկավ Մասաչուսեթսի մի տեսուչ՝ իրենց հինգ դպրոցների տնօրեններով և Բոստոնի պետական քոլեջի երկու դասավանդողներով: Նրանք հասկացան, թե ինչ ենք փորձում անել, և զարմացած էին մտածելու և խոսելու կարողության վրա, որ ցուցաբերում էին այն երեխաները, ում մտքերը մթագնված չէին թվաբանական աղյուսակների և համակցությունների ձանձրալի ու գորշ մտապահումով: Բայց շշուկներ տարածվեցին քաղաքով մեկ: Ի վերջո խորհրդի նիստ գումարվեց: Պաշտոնական կարծիքն այն էր, որ թվաբանության նոր դասընթացը դեն ենք նետում և հետ գնում դեպի հինը: Այն պարտություն կրեց՝ 9-ը 4-ի դեմ քվեարկությամբ, բայց երեք հոգուց բաղկացած մի կոմիտե ստեղծվեց, որպեսզի խնդիրը մանրազնին ուսումնասիրվի: Ինձ հետ վերցնելով կոմիտեի երկու անդամի և մի սղագրողի՝ մեր քաղաքի չորս տարբեր դպրոցներ այցելեցի և երեք դպրոց էլ՝ մոտ 30 մղոն հեռավորության վրա գտնվող մի քաղաքում:

Ամենահամոզիչ ստուգումը մի խնդրի հետ էր կապված, որը փորձարկեցի ամենաքիչը 6 տարբեր դասարաններում: Այս դասարաններից չորսում այն երեխաներն էին, որ թվաբանությունը սովորում էին հին ֆորմալ ուսուցմամբ, մինչդեռ, մյուս երկուսում այն խմբերն էին, ում նոր մեթոդով էին ուսուցանել: Երկու տիպի դասարաններում էլ նստած էին V դասարանի Ա մակարդակի աշակերտներ, որ մեկ ամսից անցնելու էին VI դասարանի Բ մակարդակ:

Տալիս եմ այս երկու տիպի դասարանների ստուգման տառացի հաշվետվությունը. առաջինը՝ ավանդական ուսուցմամբ դասարանից, իսկ մյուսը՝ գիտափորձով խմբերից մեկից:

Գրատախտակին մի դիագրամ գծեցի և ասացի հետևյալը.
- Ահա մի փայտե ձող, որը խրված է ջրավազանի հատակի տիղմի մեջ: Տիղմից վերև ջրի շերտ կա, իսկ ձողի մի մասն էլ օդում է ցցված: Ձողի մեկ երկրորդ մասը տիղմի մեջ է, մնացած մասի 2/3-ը ջրի մեջ է, իսկ օդում ցցված մասն էլ մեկ ոտնաչափ է: Որքա՞ն է ձողի երկարությունը:

Առաջին երեխա.
- Բազմապատկում եք 1/2-ը 2/3-ով, իսկ հետո ավելացնում եք դրան մեկ ոտնաչափ:
Երկրորդ երեխա.
- Գումարում ենք մեկ ոտնաչափ իսկ հետո 2/3 և 1/2:
Երրորդ երեխա.
- Սկզբում գումարենք 2/3-ը և 1/2 իսկ հետո ավելացնենք մեկ ոտնաչափ:
Չորրորդը.
- Բոլորն իրար գումարեք և տեսեք, թե որքան է ձողի երկարությունը:
Հաջորդը.
- Մեկ ոտնաչափը հավասար է 1/3: Երկու երրորդը բաժանած 6-ի հավասար է 3 անգամ 2 հավասար է 6: 6-ին գումարած 4 հավասար է 10: Տասին գումարած 3 հավասար է 13 ոտնաչափ:

Կարող եք նշել, որ ոչ մի երեխա չնկատեց այն էական կետը, որ ձողի կեսը՝ ½ մասը, թաղված է տիղմի մեջ, իսկ մյուս կեսը տիղմից վերև է, և այդ կեսի 1/3-ը հավասար է մեկ ոտնաչափ: Նրանց միակ մտածմունքը թվերով գործողություններ անելն էր՝ հույս ունենալով, որ ինչ-որ կերպ կստանան ճիշտ պատասխանը:

Հետո ես հարցրի.
- Որևէ մեկը գիտի՞ ձողի երկարությունը գտնելու մի ինչ-որ ձև:
Հաջորդ երեխան.
- Մեկ ոտնաչափը հավասար է 3/3: Երկու երրորդը և ½-ը բազմապատկենք 6-ով:
Իմ հաջորդ հարցն էր.
- Ինչո՞ւ ես բազմապատկում 6-ով:
Երեխան, օդում ձեռքի մտրակող շարժումով՝ 
- Բաժանե՜նք:
Միգուցե նա ինչ-որ շեշտադրում էր նկատել իմ «բազմապատկել» բառի մեջ: Հետո նրանց մի ակնարկ արեցի, որը ցույց կտար նրանց, թե ինչպես լուծել խնդիրը, եթե նրանք մի փոքր մտածել կարողանային:
- Ձողի որքա՞ն մասն է տիղմից վերև,- ասացի ես: Իհարկե, հույս ունեի ստանալու «Ձողի կեսն է տիղմից վերև» պատասխանը:
- Մեկ ոտնաչափ և 2/3,- պատասխանեց առաջինը:
Իմ հայացքը տարակուսանք էր արտահայտում, ուստի երկրորդ երեխան ասաց.
- Մեկ ոտնաչափ և 1/3:
Հետո ես ասացի.
- Ես կփոխեմ իմ հարցը: Ձողի որքա՞ն մասն է տիղմի մեջ:
- Երկու երրորդը,- ասաց առաջին երեխան:
- Մեկ երկրորդը,- ասաց երկրորդը:
- Մեկ երկրորդը,- ասաց երրորդը:
- Այդ դեպքում ձողի որքա՞ն մասն է տիղմից վերև,- ասացի ես՝ կարծելով, որ նրանց պատասխանը, անշուշտ, կլինի «մեկ երկրորդ մասը»:
-Երկու երրորդ,- ասաց մեկը:
- Մեկ ոտնաչափ և 2/3,- ասաց հաջորդը:
- Ձողի մեկ երկրորդը տիղմի մեջ է,- ասացի ես,- դե, հիմա, որքա՞ն է ձողի երկարությունը:
Սրանք էին տրված պատասխանները՝ «երկու ոտնաչափ», «մեկ և մեկ երկրորդ ոտնաչափ», «մեկ երկրորդ ոտնաչափ», «մեկ ոտնաչափ», «մեկ ոտնաչափ», և ես այլևս չշարունակեցի:

Նույն խնդիրը նույն շաբաթվա ընթացքում տվեցի մեր քաղաքի մի հինգերորդ դասարանի, որը նոր ուսումնական պլանով էր սովորել՝ առանց մեծ թվերի գումարման, բազմապատկման և բաժանման ֆորմալ վարժանքների, բայց տրամաբանորեն մտածելու շատ աշխատանք էր կատարել: Ես նորից գծեցի դիագրամը և ասացի.
- Ահա մի ջրավազան՝ տիղմոտ հատակով ու ջրով, և մի ձող, որը խրված է տիղմի մեջ: Ձողի մեկ-երկրորդ մասը տիղմի մեջ է, մնացած մասի 2/3-ը ջրի մեջ է, և մեկ ոտնաչափով էլ ձողը ջրից դուրս է ցցված: Որքա՞ն է ձողի երկարությունը: Ինչպե՞ս եք սկսելու աշխատել այդ խնդրի վրա, որպեսզի գտնեք պատասխանը:

Առաջին երեխա.
- Պետք է պարզել, թե քանի ոտնաչափ է ձողը տիղմի մեջ:
- Էլ ի՞նչ,- հարցրեցի:
Մեկ ուրիշ երեխա.
- Պետք է պարզել նաև, թե քանի ոտնաչափ է ջրում և գումարենք իրար:
- Ինչպե՞ս ես մտածելու, որ պարզես դա,- հարցրեցի մեկուրիշ երեխայի:
- Մեկ յարդը ունի 3 ոտնաչափ: Մեկ յարդը տիղմի մեջ է: Մեկ յարդը 36 դյույմ է: Եթե մնացած մասի 2/3 մասը ջրում է, իսկ մեկ ոտնաչափ էլ՝ օդում (մեկ ոտնաչափը 12 դյույմ է), ջրի մեջի մասը երկու անգամ ավելի երկար է, քան օդում ցցված մասը, ուրեմն այն պետք է լինի 2 ոտնաչափ կամ 24 դյույմ: Եթե ձողը 3 ոտնաչափ տիղմից վերև է և 3 ոտնաչափ էլ տիղմի մեջ է, ուրեմն ձողը 6 ոտնաչափ է կամ 72 դյույմ: 72 դյույմը հավասար է 2 յարդի:

Ինձ զարմացրեց այն, թե ինչպես էր այդ երեխան բոլոր չափումները դյույմերի վերածում: Փաստորեն նրա համար խնդիրը այնքան պարզ էր, և այնքան հեշտ լուծվեց, որ չէր կարողանում հավատալ, թե ինչու է անհրաժեշտ անել այդ բոլոր քայլերը, որպեսզի ինձ ասի, որ ձողը 6 ոտնաչափ երկարություն ունի: Նա ստիպված էր նույնիսկ դա արտահայտել 72 դյույմով և 2 յարդով, որպեսզի հիմնավորի իմ խնդրի պատասխանը:

Հաջորդ երեխան այսպես շարունակեց.
- Ձողի 1/2 մասը տիղմի մեջ է, և մյուս 1/2 մասը պետք է լինի տիղմից վերև: Եթե 2/3 մասը ջրի մեջ է, ապա 2/3-ը և մեկ ոտնաչափը հավասար է 3 ոտնաչափի, և եթե գումարենք տիղմի մեջի 3 ոտնաչափին, կստանանք 6 ոտնաչափ:

Խնդիրը շատ պարզ թվաց այս երեխաներին, ովքեր ուսման ընթացքում մատիտների փոխարեն իրենց գլուխներն էին օգտագործել:

Կոմիտեն զեկուցեց խորհրդին  և խորհուրդը ընդունեց նրանց զեկույցը՝ ասելով, որ տեսուչը ճիշտ ուղու վրա է: Նրանք պարզապես առաջարկեցին աղյուսակների ուսուցումը սկսել մի քիչ ավելի շուտ՝ մեղմելու համար որոշ ծնողների բողոքները:

Տրամաբանելով մտածելու կարողության զարգացումը թվաբանության նոր դասընթացի ուսուցման ամենամեծ արդյունքներից մեկն էր: Վերջերս, լսելով 5-րդ դասարանի Բ մակարդակի մի երեխայի մայրիկի բողոքը թվաբանության ուսուցման վերաբերյալ, ես դպրոցի տնօրենի հետ մտա այդ դասարան՝ պարզելու համար, թե երեխան ինչ է կարողանում և ինչ չի կարողանում անել: Մի քանի խնդիր տվեցի նրանց, որպեսզի ստուգեմ մտավոր թվաբանության նրանց կարողությունը և զարմացա այն ճշգրտության և արագության վրա, որոնցով պատասխանում էին ինձ: Հետո ես նրանց կարողությունը փորձեցի մի խնդրով, որը մի փոքր տրամաբանական մտածողություն էր պահանջում: Նկարեցի երկու ծորակ և նրանց տակը դրված մի դույլ: Ասելով, որ այդ ծորակներից յուրաքանչյուրն առանձին այդ դույլը կարող է լցնել 2 րոպեում, ես հարցրի, թե որքան ժամանակ կպահանջվի այդ դույլը լցնելու համար, եթե երկու ծորակները միաժամանակ բացվեն: Համոզված, որ երեխաների պատասխանը կլինի 4 րոպե, ես մեծ գոհունակությամբ բավարարվեցի՝ լսելով դասարանի 3/4 մասի պատասխանը՝ «մեկ րոպե»: Հետո փոխեցի խնդիրը՝ ասելով, որ ծորակներից մեկը փոխում եմ ավելի փոքրով, որն առանձին կարող է դույլը լցնել 4 րոպեում: Դրանից հետո հարցրեցի, թե որքան ժամանակ կպահանջվի այդ դույլը լցնելու համար, եթե երկու ծորակները միաժամանակ միասին գործեն: Մի քանիսը ասացին՝ երեք րոպե, բայց դասարանի մեծ մասը կռահեց՝ մեկից երկու րոպե, իսկ ամենահաճախ ասվող պատասխանը մեկ և կես րոպեն էր: Հետո ես հարցրեցի, թե դույլի որքան մասը լցված կլինի մեկ րոպեի վերջին, և երեխաները առանց որևէ դժվարության պատասխանեցին, որ լցված կլինի դույլի ¾ մասը: Իմ հաջորդ հարցը սա էր.
- Ոչ մոտավոր, ճշգրիտ որքա՞ն ժամանակ կտևի դույլը լցնելը երկու ծորակներով:
Առաջին երեխան, որին ես դիմեցի, տվեց ճիշտ պատասխանը.
- Մեկ րոպե, քսան վայրկյան:
Տնօրենն իր զարմանքն արտահայտեց և խնդրեց ինձ նույն խնդիրը տալ նաև 8-րդ դասարանում: Այդպես էլ արեցի: Այս երեխաները, ում ուսուցանել էին ֆորմալ թվաբանություն հին՝ ավանդական մեթոդով, իրենց կրտսեր քույրերի ու եղբայրների նման լավ չլուծեցին խնդիրը:

Վերջերս ես քաղաքի տարբեր մասերում մի ստուգում եմ անցկացրել, որը ներառում էր 5 պարզ խնդիր: Ահա դրանք։ 

1. Երկու տղա վազքարշավով միասին սկսում են անցնել Մանչեսթերից դեպի Կոնկորդ տարածությունը, որը կազմում է 20 մղոն: Մեկը ժամում 4 մղոն է անցնում, իսկ մյուսը՝ 5: Որքա՞ն ժամանակում նրանք երկուսն էլ կհասնեն Վեստ Կոնկորդ:  
2. Մի տղամարդ կարող է կանգնած ջրում թիավարելով՝ մեկ ժամում անցնել 4 մղոն: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի նրանից ՀիլիցԿոնկորդ (քաղաքների միջև եղած հեռավորությունը գետով 24 մղոն է)  հասնելու և վերադառնալու համար, եթե գետը հոսում է դեպի հարավ ժամում 2 մղոն արագությամբ:
3. Նույն տղամարդը սկսում է թիավարել Հիլից Կոնկորդ գարնանը, երբ ջուրը վարար է և հոսանքի արագությունը երկու անգամ ավելի արագ է քան նախկինում: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի նրանից հիմա՝ գնալու և հետ գալու համար:
4. Ռեմուսը կարող է ուտել ամբողջ ձմերուկը 10 րոպեում, իսկ Ռաստուսը՝ 12 րոպեում: Ես առաջարկում եմ նրանց մրցել՝ տալով յուրաքանչյուրին ձմերուկի մի կեսը: Որքա՞ն ժանակում ձմերուկն ամբողջությամբ կուտվի:
5. Բոստոնից մինչև Պորտլանդ ընկած տարածությունը 120 մղոն է: Երեք շոգենավ միաժամանակ դուրս են գալիս Բոստոնից և ուղևորվում դեպի Պորտլանդ: Մեկը այդ ճամփարդությունը անում է 10 ժամում, մյուսը՝ 12, իսկ երրորդը՝ 15: Որքան ժամանակ անցած կլինի, որ երեք շոգենավերն էլ հասնեն Պորտլանդ:

Թվում է, որ դրանք բավականաչափ հեշտ խնդիրներ են, բայց խորհուրդ եմ տալիս փորձել: Ես երաշխավորում եմ, որ քոլեջի ընդունելության մաթեմատիկայի քննությանը պատրաստվող ավագ դպրոցի բարձր դասարանցիների՝ միջին հաշվով 70 %-ը չի կարողանա լուծել դրանք: Ես մի քանի ծիծաղելի արդյունք ունեցա: Անցյալ օրը ես չորրորդ և հինգերորդ խնդիրները փորձեցի երկրորդ դասարանում և ունեցա գրեթե կատարյալ արդյունք, մինչդեռ, հին ուսումնական պլանով թվաբանություն սովորած 9-րդ դասարանի աշակերտները ցավալի արդյունք ցուցաբերեցին: Դասարանի քսանինը աշակերտից միայն 6-ը կարողացավ հինգերորդ խնդրի ճիշտ պատասխանը տալ:

Մենք արդեն տեսել ենք մեր նոր դասընթացի ուսուցման արդյունքները: Մեր Կենտրոնական ավագ դպրոցի (2450 աշակերտական կազմով) անգլերենի ամբիոնի վարիչն ասում է ինձ, որ 1935-ի փետրվարի 1-ին ընդունված սովորողներից կազմված դասարաններում անգլերենի դասերին առկա է սովորողների խոսքի սահունություն և մայրենի լեզվի զարմացնող պատրաստվածություն: Այլևս չկա առաջվա անվստահությունը: Երեխաների լեզուն բացվել է և կարողանում են իրենց բառերով նոր միտք ասել:

Ես զարմացած չեմ: Հենց այսպիսի զեկույց էի ակնկալել: Դուք կարող եք հիշել այն սարսափելի անգլերենը, որով խոսեցին մեր 8-րդ դասարաններից մեկում, ինչը նույնությամբ գրի առնվեց և մեջբերվեց իմ հոդվածի առաջին մասում: Ես նույն դասարանը մտա 5 տարի անց: Նույն ուսուցիչն էր դասը վարում, և աշակերտներից մի քանիսը նախկինում հիշատակված խմբի աշակերտների կրտսեր քույրերն ու եղբայրներն էին, բայց ուսուցման մեթոդներն արմատապես փոխվել էին: Հինգ տարվա վաղեմություն ունեցող դասի սղագրությունը ձեռքիս՝ ես այս նոր դասարանին տվեցի այն նույն հարցը, որը տվել էի նրանց ավագ եղբայրներին և քույրերին 5 տարի առաջ: Առանձնացնում եմ նրանց տված բնորոշ պատասխանները և հավատացնում եմ ձեզ, որ չեմ ընտրել բոլոր պատասխանների լավագույնները:
- Երբ ցանկացած երկու կոտորակների համարիչները նույնն են, ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակն է ավելի մեծը:
- Մեր ապացուցած սկզբունքն այն է, որ որքան փոքր է հայտարարը… ոչ, որքան մեծանում է հայտարարը, այնքան փոքրանում է կոտորակը:
- Որքան մեծ է հայտարարը, այնքան փոքր կլինի կոտորակը, եթե համարիչը մնա նույնը:
- Որքան փոքրանում է համարիչը, եթե հայտարարը մնում է նույնը, այնքան փոքրանում է կոտորակը:
- Որքան մեծանում է հայտարարը, այնքան փոքր կլինի կոտորակը, եթե համարիչը մնում է նույնը:
- Որքան մեծանում է հայտարարը, եթե համարիչը մնում է նույնը, այնքան փոքրանում է կոտորակը:

Հետո ես փորձեցի մի բան, որն իմ կարծիքով ամենահամոզիչն էր. բարձրաձայն կարդացի ձեռքիս մեջ պահած՝ նույն հարցի հինգ տարվա վաղեմություն ունեցող պատասխանները (իհարկե, չասացի նրանց, որ դրանք տրվել են հենց այդ նույն դասասենյակում), և ներկայիս 8-րդ դասարանցիները բարձր ծիծաղեցին այդ պնդումների վրա, որոնք հինգ տարի առաջ ոչ մի ծիծաղ չէին հարուցել: Ես հարցրի նրանց, թե ինչու են ծիծաղում, և նրանք սկսեցին նշել նախորդ աշակերտների   հիմնավորումների թերությունները և բառերի ընտրությունը: Իմ կարծիքով դա մինչև հիմա եղած ամենաքաջալերող երևույթն էր և մարգարեությունն այն բանի, թե ինչ կարող ենք ակնկալել, երբ ներկայիս ութերորդ դասարանցիները մեր ավագ դպրոցների սովորողներ դառնան:  

Թարգմանություն անգլերենից
Լուսանկարի աղբյուրը

* Հոդվածը հրատարակվել է Ազգային կրթական միության ամսագրի 24-րդ հատորի 9-րդ համարում, 1935-ի դեկտեմբերին։
** Ամբողջ էջում՝ փակագծում շեղատառ ծանոթությունները՝ թարգմանչի։