Թվաբանության ուսուցում։ Մի գիտափորձի պատմություն

Սկիզբը (1-ին մաս)

Սա 1929-ից Նյու Հեմփշիրի Մանչեսթերում իրականացվող մի գիտափորձ նկարագրող հոդվածի երկրորդ մասի հրապարակումն է: Նախորդ մասում, որը հրապարակվել էր ամսագրի նոյեմբերյան համարում, պարոն Բենեզեթը բացատրում էր, որ Մանչեսթերի մի քանի դպրոցներում առաջին վեց տարիների ընթացքում թվաբանության ուսուցումը բարձրությունների, երկարությունների, տարածքների չափումների գործունեությամբ էր սահմանափակվում: Թվաբանության ֆորմալ ուսուցումը սկսվում էր միայն 7-րդ դասարանում: Ավանդական ուսումնական պլանով և գիտափորձով սովորող աշակերտների խմբերին տրված հարցաշարերի արդյունքում պարզվեց, որ գիտափորձով սովորողները մեկ տարվա ընթացքում կարողացան հասցնել կատարողական այնպիսի մակարդակի, որին հասել էին ավանդական ուսումնական պլանով սովորողները երեք ու կես տարվա թվաբանական վարժանքների շնորհիվ: Բացի դրանից, քանի որ գիտափորձով աշխատող դասավանդողները ժամանակ էին ունեցել կենտրոնանալու երեխանրին «կարդալ, պատճառաբանել և միտք արտաբերել» սովորեցնելու վրա, վերջիններս զարգացրեցին ընթերցանության նկատմամբ հետաքրքրությունը, ձեռք բերեցին ավելի հարուստ բառապաշար և սեփական մտքերն արտահայտելու ավելի մեծ սահունություն:
Ամսագրի* խմբագրի նախաբանը

1933-ի աշնանը ես զգում էի, որ արդեն պատրաստ էի կայացնելու այդ լուրջ որոշումը: Ես գիտեի, որ կարող եմ պաշտպանել իմ դիրքորոշումը փաստերով, որոնք կբավարարեին ցանկացած խոհեմ անձնավորության: Այսպիսով, մեր տնօրեններից բաղկացած մի կոմիտե թվաբանության մի նոր դասընթաց մշակեց: Ինձ համար ավելի նախընտրելի կլիներ այդ ուղով գնալ մինչև վերջ և բոլորովին զերծ մնալ թվաբանությունից մինչև յոթերորդ դասարանը, քանի որ չորս դասարանների օրինակով մենք ապացուցել էինք, որ դա հնարավոր է անել առանց որևէ կորստի, բայց տնօրենները ավելի զգուշավոր էին, քան ես, և ես նաև հասկացա, որ հիմա ստիպված եմ գործ ունենալ խորապես արմատացած նախապաշարմունքներով քաղաքի կրթված հանրության հետ: Այդ պատճառով էլ հանգեցինք փոխզիջման:

Այսպիսով, 1933-ի սեպտեմբերի 1-ին մենք հանրությանը ներկայացրինք թվաբանության ուսուցման հետևյալ դասընթացը.

• I դասարան։ Թվաբանության ֆորմալ ուսուցում չկա: Ընթերցարանների օգտագործման հետ կապված, երբ դրա կարիքը զգացվում է, երեխաներին սովորեցնում են մինչև 100-ը ճանաչել և կարդալ թվերը: Ուսուցման այս ձևը չի կենտրոնացվում մի որևէ առանձնահատուկ ժամանակահատվածում, այլ ներմուծվում է չնախատեսված կերպով՝ կապված ընթերցանական դասի հանձնարարությունների կամ էլ ընթերցվող տեքստի որոշ էջերի մասին տեղեկությունների հետ:
  Միևնույն ժամանակ, երեխաներին հիմնական գաղափար են տալիս այն մասին, թե ինչպես կարելի է համեմատություն անել և գնահատել այնպիսի հակասական բառերով, ինչպիսիք են՝ շատ, քիչ, ավելի շատ, ավելի քիչ, ավելի բարձր, ավելի ցածր, ավելի բարձրահասակ, ավելի կարճ, ավելի վաղ, ավելի ուշ, ավելի նեղ, ավելի լայն, ավելի փոքր ավելի մեծ և այլն:
  Իրագործելի դառնալուն պես երեխաներին սովորեցնում են օրացույցի վրա ամսաթվերի հաշիվը պահել: Նշվում են տոները, համադասարանցիների, նրանց ընկերների և բարեկամների ծննդյան տոները:
   
• II դասարան։ Թվաբանության ֆորմալ ուսուցում չկա:
  Շարունակվում է համեմատական բառերի ուսուցումը, ինչպես արվել էր առաջին դասարանում: 
  Ժամացույցով ժամանակն ասելու սկիզբն է դրվում: Երեխաներին սովորեցնում են ճանաչել ժամերը և կես ժամերը:
  Շարունակվում է էջերի թվերի ճանաչումը: Երեխաներին սովորեցնում են ճանաչել այն թվերը, որոնք նրանք հանդիպում են երկրորդ դասարանի դասագրքերում: Եթե այդ դասարանում օգտագործվող որևէ դասագիրք թեմաների էջանշված ցանկ ունի, երեխաներին սովորեցնում են ի՞նչ է դա նշանակում և ինչպե՞ս գտնել ցուցանշած էջերը: Հաշվել պահանջող խաղեր խաղալու ընթացքում երեխաները բնականոն կերպով կսովորեն հաշվելը: Նրանք նաև հեշտությամբ և առանց ֆորմալ ուսուցման կսովորեն «կեսի», «կրկնակիի», «երկու անգամի» կամ «երեք անգամի» նշանակությունները: Ուսուցիչն այդ տերմինների նշանակությունը բացատրելու համար չի դիմի որևէ ֆորմալ ուսուցան ձևի, նույնիսկ, եթե երեխաները բնականոն կերպով ինքնաբերաբար չհանգեն դրանց:
  Ամսաթվերի գիտելիքին ավելացվում են շաբաթվա օրերի և տարվա ամիսների անունները: 
  Ուսուցիչը պարզում է, թե արդյո՞ք երեխաները դպրոցից դուրս իրենց կենցաղում գործ են ունենում փողի հետ: Եթե այդպես է, սովորեցնում է երեխաներին «փենիի» (1 ցենտ)**, «նիկելի» (5 ցենտ), «դայմի» (10 ցենտ) և «դոլարի» նշանակությունները: Նույն ձևով, հենց այդպես՝ ձեռքի հետ, ներմուծվում են «փինթի» (473 գրամ), «քվորթի» (0,94 լիտր), ծավալի չափի միավորները:
   
• III դասարան։ Թվաբանության ֆորմալ ուսուցման բացակայությամբ հանդերձ, երբ երեխաները ընթերցանության ընթացքում թվերի են հանդիպում, ուսուցիչը բացատրում է դրանց արժեքի արտահայտությունը: 
  Մինչև տարվա վերջը երեխաներին կսովորեցնեն, որ մեկ դայմը արժե 10 ցենտ, իսկ մեկ դոլարը՝ 10 դայմ կամ 100 ցենտ, կես դոլարը՝ 5 դայմ կամ 50 ցենտ, և այլն: Նրանք կսովորեն, որ 4 քվոթերը, կամ երկու «կես դոլարը» մեկ դոլար արժե:
  Ժամերի և կես ժամերի մասին նրանց գիտելիքին կավելանա օրվա ցանկացած պահին ժամն ասելու նրանց կարողությունը: Ժամանակն ասելու սկզբնական ուսուցման ընթացքում բաց կթողնվեն այնպիսի ձևերը, ինչպիսիք են՝ 4-ից 10 րոպե պակաս, կամ՝ 3-ից 25 րոպե պակաս: Նրանց սկզբում սովորեցնում են 3:50, 2:35 ձևերը: Սրա հետ կապված նրանք սովորում են, որ 60 րոպեն մեկ ժամ է կազմում: 
  Հիմա արդեն ժամանակն է, որ նրանք իմանան, որ շաբաթն ունի 7 օր, իսկ մեկ օրը՝ 24 ժամ: Նրանց նաև սովորեցնում են, որ մեկ տարվա մեջ 12 ամիս կա, և մեկ ամսվա մեջ՝ մոտ 30 օր: 
  Հաշվելու ուսուցումը հետ չի մնում օգտագործվող դասագրքերի էջերի քանակի աճից և նրանց ցանկերում ցուցանշված էջերի թվերից, որոնց հարկ է ճանաչել և գտնել: Խաղերը հեշտացնում են թվերի ճանաչումը: Այս առումով օգնության են գալիս նաև ավտոմեքենաների պետհամարանիշերը: Օրինակ՝ ուսուցիչը մի ավտոմեքենայի համար է ասում, որը մի քանի այլ համարների միջև է գրված, և հարցնում է աշակերտներին, թե արդյոք նրանք կարող են գտնել ասված համարը: Երեխաներին ասվում է տալ իրենց տների համարները, ավտոմեքենաների պետհամարանիշները, հեռախոսահամարները և այդ թվերով նույնանման խաղեր են կազմակերպվում:
  Շարունակվում է համեմատությունների օգտագործումը՝ հատկապես ներառելով այնպիսի հարաբերություններ, ինչպիսիք են «կեսը», «կրկնակին», «երկու անգամը», «երեք անգամը» և այլ նման բաներ:
   
• IV դասարան։ Թվաբանության ֆորմալ ուսուցում դեռ չկա:
  Ոտնաչափի (30,48 սմ) և յարդի (0,91մ) չափափայտիկներով երեխաներին սովորեցնում են դյույմի (2,54 սմ), ոտնաչափի և յարդի նշանակությունը: Նրանք տարբեր առարկաների երկարության չափումներ են անում դյույմերով, ոտնաչափերով և յարդերով: Օրինակ՝ դասարանի յուրաքանչյուր աշակերտի հանձնարարվում է թղթի վրա չափի միավորներով նշել մի որևէ համադասարանցու հասակը, պատուհանի կամ սենյակի լայնությունը աչքաչափով՝ առանց օգտագործելու չափափայտիկներ, որից հետո թղթի վրա գրված մեծությունները ստուգվում են իրական չափումներով: 
  Երեխաներին սովորեցնում են կարդալ ջերմաչափի ցուցմունքները և բացատրվում է 32⁰F-ի (0^oC), 98,6⁰F-ի (36,6^oC) և 212⁰-ի(100⁰C) ջերմաստիճանների իմաստները:
  Նրանց ծանոթացնում են «քառակուսի դյույմ», «քառակուսի ոտնաչափ» և «քառակուսի յարդ» տերմիններին՝ որպես մակերեսի չափման միավորներ:
  Ինքնաշեն խաղալիք փողով (առկայության դեպքում՝ իրական մետաղադրամներով) նրանք փող մանրելու վարժանք են անում՝ օգտագործելով միայն 5-ի վրա բաժանվող 5, 10, 25, 50 ցենտանոցներ և 1 դոլարանոցներ: Այս ամբող աշխատանքը մտքով է արվում: Չեն առաջարկվում այնպիսի խնդիրներ, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է թվերը գրել թղթի կամ գրատախտակի վրա, որովհետև դրանք դժվար են և այդ պատճառով էլ տարկետվում են մինչև երեխաները մեծանան:
  Մինչև տարեվերջ երեխաները տարածքների, տարածությունների և այլնի աչքաչափով չափումների և հետո էլ իրական չափումներով դրանց ստուգումների մեծ աշխատանք արած կլինեն:
  Երեխաներին սովորեցնում են «կես մղոն», «մեկ քառորդ մղոն» և «մեկ մղոն» տերմինները, և բացատրվում է, թե որքան հեռու են այս տարբեր տարածությունները՝ չափելով դրանք ավտոմեքենայի արագաչափի ցուցիչով:
  Տարվա վերջին սովորեցնում են ժամանակն իր վայրկյաններով, րոպեներով, ժամերով և օրերով: Սովորեցնում են նաև ֆունտերի և ունցիաների հարաբերակցությունը (մեկ ֆունտը 16 ունցիա է և հավասար է 453,59 գր):
   
• V դասարան. Բ մակարդակ։ Դեռևս չկա թվաբանության ֆորմալ ուսուցում: Երեխաներին միայն հանձնարարվում է հաշվել 5-ական, 10-ական, 2-ական, 4-ական, 3-ական հաշվարկներով: Սկզբում այս աշխատանքն արվում է մտքում՝ առանց թղթի կամ գրատախտակի վրա գրելու: Սա բնական, ինքնաբերաբար նախապատրաստում է երեխաներին՝ մինչև կիսամյակի վերջը գիտակցելով սովորելու 5-ի, 10-ի, 2-ի, 4-ի և 3-ի բազմապատկման աղյուսակը:
  Ինքնաշեն խաղալիք փողով (առկայության դեպքում՝ իրական  մետաղադրամներով) նրանք մինչև մեկ դոլար մանրելու վարժանք են անում՝ ներառելով արդեն փենիները: 
  Շարունակվում է տարածության, տարածքի, ժամանակի, կշռի, ծավալի, բարձրության, երկարության, լայնության չափումների՝ նախորդ դասարաններում արված ոչ ֆորմալ աշխատանքը: 
  Երեխաները համեմատում են կոտորակների արժեքները և իրենք իրենց համար հայտնագործում են, որ 1/3-ը ավելի փոքր է, քան ½-ը, և ավելի մեծ է, քան ¼-ը, այսինքն՝ հասկանում են, որ որքան մեծ է հայտարարը, այնքան փոքր է կոտորակը: Սա լուսաբանվում է առարկայական ձևով կամ նկարներով: 
  Կիսամյակի վերջին երեխաներին է տրվում չորրորդ դասարանի համար նախատեսված «Մտավոր թվաբանության գործնական խնդիրներ» դասագիրքը:
  Այս խնդիրների լուծումը ներառում է չափի, կշռի, դրամի միավորների մասին գիտելիք, որը երեխաները դեռ չեն ստացել, ինչպես նաև աղյուսակներ և համադրություններ, որոնց օգտագործումը դեռ չեն սովորել: Այդուհանդերձ, թվերի բնական իմացությամբ ու զգացողությամբ նրանք կկարողանան տալ ճիշտ պատասխանները: Ուսուցիչը ժամանակ չի ծախսի բանաձևերով կամ աղյուսակներով բացատրելու այդ խնդիրների լուծումները նրանց, որ արագ ու բնականորեն չեն ընկալում դրանք: Մտավոր թվաբանության դասագրքի նպատակն է խթանել երեխաների արագ մտածելը և հեռու պահել նրանց գլխի աշխատանքը մատներով անելու հնացած մեթոդից: Եթե երեխաներից մի քանիսը հեշտ ու արագ չեն ընկալում խնդիրները, ուսուցիչը պարզապես առաջ է անցնում՝ գիտենալով, որ տրամաբանորեն մտածելու նրանց կարողությունը հավանաբար կզարգանա համապատասխանաբար մեկ-երկու տարի հետո: Միակ բանը, ինչից ուսուցիչը խուսափում է, այն է, որ երեխաները չհանգեն այն մտքին, թե կարելի է բանաձևերը գործածել մտածելու փոխարեն:
  Սեպտեմբերի, հոկտեմբերի և նոյեմբերի համար նախատեսված խնդիրները լուծվում են մինչև կիսամյակի վերջը:
   
• V դասարան. Ա մակարդակ։ Երեխաներին հանձնարարվում է հաշվել 6-ական, 7-ական, 8-ական և 9-ական հաշվարկով: Այս աշխատանքն արվում է մտքում՝ չունենալով իրենց առջև թղթի կամ գրատախտակի վրա գրված աղյուսակ: Որոշ ժամանակ անց այս մտավոր վարժանքն օգնում է բնականոն ձևով յուրացնելու 6-ի, 7-ի, 8-ի և 9-ի բազմապատկման աղյուսակները: Երեխաների ուշադրությունը կենտրոնացնում են այն բանի վրա, որ 9-ի աղյուսակում արտադրյալների երկրորդ թիվը միշտ մեկով նվազում է (18, 27, 36, 45,…). դա բացատրվում է նրանով, որ 9-ով ավելացնելը նույնն է, ինչ 10-ով ավելացնել և ստացվածից 1 հանելը: Նույն ձևով էլ ցույց է տրվում, որ 8-ով ավելացնելը նույնն է, ինչ 10-ով ավելացնել և արդյունքից 2 հանելը, այնպես որ 8-ի աղյուսակում բազմապատկումից ստացված յուրաքանչյուր արտադրյալի երկրորդ թիվը 2-ով ավելի փոքր է, քան նախորդ արտադրյալի երկրորդ թիվը (…48, 56, 64, 72): Նույն ձևով էլ ցույց է տրվում, որ 7-ով ավելացնելը նույնն է, ինչ 10-ով ավելացնելը և արդյունքից 3 հանելը։ Աղյուսակներն այս կերպ սովորեցնելուց հետո ուսուցիչը համոզվում է, որ երեխաները գիտեն արտադրյալները աղյուսակի ցանկացած տեղում և ցանկացած հերթականությամբ. այսինքն՝ երեխայի համար անհրաժեշտ չի լինում նորից հետ գնալ ու աղյուսակը սկսել ասել սկզբից, մինչև պահանջվող արտադրիչներին ու արտադրյալին հասնելը: Նրանց համար պարզ է, որ 2 անգամ 3-ը միշտ էլ հավասար է 3 անգամ 2-ին:
  Երեխաներին մի փոքր գաղափար է տրվում 1/2, 1/4, 1/5 և 1/10 կոտորակների հարաբերական արժեքի մասին: Տեսանելի առարկայական օրինակներն օգնում են այս հարցում. օրինակ՝ երբ երեխաները հիշում են, որ 2 հատ «Քառորդ դոլար»-ը (Ջ. Վաշինգտոնի պատկերով այդպիսի մետաղադրամ կա) արժեքով հավասար է 1 կեսդոլարանոցին, հեշտ է նրանց բացատրել, որ 2 անգամ ¼ հավասար է ½, կամ էլ 2 անգամ 1/10 հավասար 1/5։
  IV դասարանի «Մտավոր թվաբանության գործնական խնդիրներ» գրքում ըստ ծրագրի դեկտեմբերից մինչև հունիսը ներառյալ ընկած ժամանակահատվածի համար նախատեսված խնդիրները լուծվում են կիսամյակի ընթացքում: Եթե երեխաները հեշտ ու արագ չեն ընկալում խնդիրը, ուսուցիչը չի բացատրում խնդիրը լուծելու մեթոդը կամ էլ չի տալիս խնդրի լուծման բանաձևը: Ուսուցիչն, իհարկե, ձեռքի հետ բացատրում է խնդիրների մեջ պատահող նոր տերմինները (peck=8,81 լիտր, gallon=4,54 լիտր):
   
• VI դասարան. Բ մակարդակ (օրական 20-ից 25 րոպե)։ Այս դասարանում է սկսվում թվաբանության ֆորմալ ուսուցումը: Որպես հիմք՝ օգտագործվում է Ջորջ Դրեյթոն Սթրեյերի և Քլիֆորդ Բրյուսթեր Ափթոնի թվաբանության III գրքի առաջին 180 էջը (Strayer-Upton Arethmetics, book III):
  Ուսուցանվում են գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման թվաբանական գործողությունները: Հոգ է տարվում, որպեսզի գործողությունները կատարելիս երեխաները խուսափեն մեխանիկական վարժանքից: Այնպես է արվում, որ երեխաները հասկանան, թե ինչու են կատարում այդ գործողությունները: Սա հատկապես կարևոր է հանման գործողության դեպքում: Խուսափում են երեխաներին շփոթեցնող երկար թվեր պարունակող խնդիրներից: Գործողությունները կատարելիս նախապատվությունը տրվում է ճշգրտությանը, այլ ոչ թե արագությանը կամ էլ՝ կատարած գործողությունների քանակին, և որտեղ հնարավոր է՝ գործողությունները մտովի են արվում՝ ոչ գրավոր:
  Նախքան այս չորս հիմնական գործողություններով որևէ խնդրի լուծում սկսելը երեխաներին տրվում է բանավոր հաշվարկել կամ կռահել պատասխանը և հետո միայն գրելով ստուգում են իրենց վերջնական պատասխանը՝ համեմատելով այն իրենց նախնական թվի հետ: Ուսուցիչն ուշադիր հետևում է, որ թվաբանության ուսուցումը չվերածվի առանց մտածելու մեխանիկական աշխատանքի:
  Կոտորակները և խառը թվերը այս դասարանում են ուսուցանվում: Նորից հոգ է տարվում, որպեսզի երեխաների մտածող միտքը շփոթության մեջ չընկնի չափազանց շատ թվերով խճճված ու արհեստականորեն բարդեցված խնդիրներից:
   
• VI դասարան. Ա մակարդակ (օրական 25 րոպե)։ Այս դասարանում օգտագործվում է «Սթրեյեր-Ափթոն թվաբանություն» III գրքի II գլուխը (էջ 109-182) և IV գրքի առաջին 50 էջը:
  Կատարվում է բազմապատկման աղյուսակների և մինչև այդ սովորած անվանական թվերի կրկնողություն:
  Ուսուցիչը միշտ հիշում է, որ թվային արժեքի մասին դատելը և պատճառաբանելը ավելի կարևոր նպատակ է, քան թվերով մեխանիկական գործողություններ կատարելը: 
  Նորից, ինչպես նախորդ դասարանում, նախքան մի որևէ խնդրի լուծումը սկսելը երեխաները մտովի անհատապես հաշվարկ են անում, թե ինչ կլինի պատասխանը և հետո միայն լուծելով՝ ստուգում են իրենց նախնական կռահած թիվը վերջնական պատասխանով:
   
• VII դասարան. Բ մակարդակ (օրական 25 րոպե)։ Հանձնարարությունները «Սթրեյեր-Ափթոն թվաբանություն» IV գրքից են, սկսած էջ 51-ից: Կատարվում է անվանական թվերի աղյուսակների կրկնողություն՝ ներառելով Միացյալ նահանգների դրամական համակարգը, որն առկա է թվաբանության IV գրքի կազմի ետևի կողմում: Բացի տրված գծային չափման աղյուսակից՝ ուսուցանվում է, որ 1760 յարդ կա մեկ մղոնում, 880 յարդ՝ կես մղոնում, 440 յարդ՝ մեկ քառորդ մղոնում, և այլն:
  Ուսուցիչը բաց է թողնում գրքի այն խնդիրները, որոնք ունեն երկար թվեր, և որոնցով պետք է թվաբանական չորս գործողություններն էլ անել, որի պատճառով աչքաթող է արվում թվային արժեքների մասին դատելն ու պատճառաբանելը, ինչը խնդիր լուծելու գլխավոր նպատակն է:
  Մեծ աշխատանք կա անելու մտավոր թվաբանությունից՝ ներառելով խնդիրների լուծումը առանց օգտագործելու թուղթ կամ գրատախտակ: Սա շատ ավելի կարևոր է, քան թվաբանական չորս գործողությունների գրավոր ճշգրիտ կատարումը:
   
• VII դասարան. Ա մակարդակ (օրական 30 րոպե)։ Հանձնարարությունները «Սթրեյեր-Ափթոն թվաբանություն» V գրքից են, առաջին 100 էջը՝ բաց թողնելով 1-10, 28, 71-78 էջերը: Որտեղ հնարավոր է, աշխատանքը մտովի է արվում:
  Պետք է նկատի ունենալ, որ այս դասարանում բաց թողնված էջերի մեծ մասը նորից է տեղ գտնում VI գրքում:
  Մշտապես կիրառվում է խնդրի հնարավոր պատասխանի մտովի հաշվարկով կռահումը և դրա ստուգումը վերջնական լուծումով:
  Ուսուցիչներն անընդհատ հիշում են, որ խնդրի լուծումը պատճառաբանելու կարողությունը շատ ավելի կարևոր է, քան թվաբանական չորս գործողությունների անսխալ կատարումը:
   
• VIII դասարան. Բ մակարդակ (օրեկան 30 րոպե)։ Հանձնարարությունները «Սթրեյեր-Ափթոն թվաբանություն» V գրքից են՝ սկսած էջ 101-ից, (բաց թողնելով 127-134 էջերը և VI գրքի առաջին 32 էջը):
  Շարունակվում է խնդրի պատասխանի նախնական մոտավոր հաշվարկը նախքան դրա վրա գրոհելը: Խնդրի պատասխանի մտովի արագ և հնարավորին չափ ճիշտ կռահելու կարողությունը թվաբանություն ուսանելու ամենակարևոր ձեռքբերումներից է:
  Երեխաների հիշողության մեջ թարմ են պահվում անվանական թվերի աղյուսակները: Միշտ շարունակվում է ծանոթ առարկաների երկարությունների, բարձրությունների, մակերեսների անվանական թվերի մոտավոր մտովի կռահումները և դրանց ստուգումները իրական չափումներով:
   
• VIII դասարան. Ա մակարդակ (օրական 30 րոպե)։ Այս դասարանի դասագիրքը «Սթրեյեր-Ափթոն» շարքի VI գիրքն է, և դասընթացն սկսվում է էջ 35-ից՝ բաց թողնելով հետևյալ էջերը՝ 36, 46-8, 57-9, 80-2, 92-3, 104, 158-188, 194, 203-4, 206-8:
  Այս դասարանում արվող աշխատանքը պետք է ամփոփումը լինի այն ամենի, ինչը երեխաները մինչ այդ սովորել են թվաբանությունից, բայց խնդրի պատասխանի մտովի կռահումը նախքան խնդրի գրավոր լուծումը շարունակվում է մնալ որպես կարևոր նպատակ: 
  Երեխաներին ցույց է տրվում թվաբանական տարբեր գործողություններ անելու պատճառը. ինչո՞ւ է կոտորակների բաժանման ճիշտ պատասխանը ստացվում՝ շրջելով բաժանարար կոտորակի համարիչի և հայտարարի տեղերը և այնուհետև բազմապատկելով երկու կոտորակները: Շատ ավելի կարևոր կարողություն է խնդիրները խելացիորեն կարդալը, բացատրելը, թե ինչպես է պետք գրոհել նրա վրա, քան առանց սխալվելու երկար սյունակներով թվեր գումարելու կարողությունը:
  Ուսուցիչը պետք է հաշվի առնի, որ տարբեր առարկաների մեծ քանակի չափումներ է արվելու (էջ 88-ից մինչև 100-ը ներառյալ), որը որոշ աշակերտների համար դժվար կլինի հասկանալ: Իհարկե, աշխատանքի ընթացքում օգտագործվում են երկրաչափական բանաձևեր՝ առանց բացատրելու այդ բանաձևերի տեսությունը. որոշ երեխաներ բոլորովին չեն էլ հասկանա դրանց իմաստը: Արժե դասասենյակում ունենալ տարբեր երկրաչափական մարմինների մոդելներ և փորձեր կատարել. օրինակ՝ երեք փորձով գլանը լրիվ ջրով լցնել՝ օգտագործելով նույն բարձրություն և հիմք ունեցող կոն:
  Նորից, որքան հնարավոր է, աշխատանքի ընթացքում հաշվարկների մեծ մասն արվում է մտովի: Խնդիրներն այնպես են ընտրվում, որ ավելի շուտ կարևորվեն լուծման սկզբունքները և գործողություններն անելու պատճառները, քան մեծ թվերով և բարդ կոտորակներով թվաբանական գործուղություններ անելու վարժանքը:

3-րդ մաս

Թարգմանություն անգլերենից
Լուսանկարի աղբյուրը

* Հոդվածը հրատարակվել է Ազգային կրթական միության ամսագրի 24-րդ հատորի 9-րդ համարում, 1935-ի դեկտեմբերին։
** Ամբողջ էջում՝ փակագծում շեղատառ ծանոթությունները՝ թարգմանչի։