Մաթեմատիկոսի արդարացում

Սկիզբը

5

Մի բան էլ կա, որ կանվանեի ստանդարտ արդարացման «ավելի համեստ տարբերակը», բայց դրանից հեշտ կարելի է ազատվել մի քանի բառով:

(2) «Չկա այնպիսի բան, որ շատ լավ կարող էի անել: Զբաղվում եմ նրանով, ինչով զբաղվում եմ, որովհետև այդպես է ստացվել: Իրականում երբեք առիթ չեմ ունեցել այլ բանով զբաղվելու»: Այս արդարացումն էլ եմ համոզիչ համարում: Բացարձակ ճշմարտություն է, որ մարդկանց մեծ մասը ոչ մի բան չի կարողանում լավ անել: Քանի որ այդպես է, առանձնապես նշանակություն չունի, թե ինչ կարիերա են ընտրում, և այդ մասին խոսելն էլ արդեն իմաստ չունի: Սա բավականին համոզիչ պատասխան է, բայց դույզն-ինչ հպարտության ունեցող մարդը հազիվ թե այսպիսի պատասխան տա, և կարող եմ ենթադրել, որ մեզանից ոչ մեկը նման պատասխանի հետ չէր համաձայնի:

6

Եկել է 3-րդ պարագրաֆում առաջ քաշած հարցերից առաջինի մասին խորհելու ժամանակը. հարց, որը շատ ավելի դժվար է, քան երկրորդը: Արժե՞ զբաղվել մաթեմատիկայով (նրանով, ինչ մաթեմատիկա ասելով հասկանում ենք ես և մյուս մաթեմատիկոսները), և եթե արժե, ինչո՞ւ: Վերընթերցում եմ իմ երդմնակալության դասախոսության առաջին էջերը, որ 1920թ. Օքսֆորդում եմ կարդացել: Ըստ էության այնտեղ սեղմ շարադրված է մաթեմատիկայի պաշտպանության հիմնական բովանդակությունը: Շարադրանքը շատ սեղմ է (երկու էջից էլ պակաս), գրված մի ոճով, որ հիմա ինձ առանձնապես դուր չի գալիս. երևի «օքսֆորդյան ոճով» (ինչպես այն ժամանակ էր ինձ թվում) գրված առաջին աշխատանքս է: Հիմա էլ հակված եմ մտածելու, որ չնայած հետագա զարգացմանը, իմ երդմնակալության դասախոսությունն այնուամենայնիվ ընդգրկում է մաթեմատիկայի արդարացման հիմնական գաղափարները: Հիշեցնեմ, թե ինչ եմ այն ժամանակ ասել` որպես ավելի մանրամասն քննարկման ներածություն:

(1)   Սկսել եմ նրանով, որ ընդգծել եմ մաթեմատիկայով զբաղվելու անվնաս լինելը. մաթեմատիկա ուսումնասիրելը եթե նույնիսկ օգտակար չէ, ամեն դեպքում անվնաս ու անմեղ է: Այդ կարծիքին եմ մնում, չնայած այն ավելի ընդարձակ շարադրման և պարզաբանումների կարիք ունի:

Մի՞թե անօգուտ է մաթեմատիկան: Որոշ իմաստով, եթե պարզ ասենք, իհարկե, անօգուտ չէ. օրինակ՝ շատ թվով մարդկանց մեծ բավարարվածություն է պատճառում: Սակայն «օգտակար» բառն ավելի նեղ իմաստով եմ օգտագործել՝ «օգտակա՞ր» է մաթեմատիկան, տալի՞ս է ուղղակի օգուտ մյուս գիտությունների նման, ինչպիսիք են քիմիան և ֆիզիալոգիան: Սա հեշտ հարցերից չէ ու անվիճելի չէ, և ես  շատ վճռական «Ոչ» կպատասխանեմ, չնայած որոշ մաթեմատիկոսներ (և մյուսների մեծ մասը), անկասկած, կպատասխանի «Այո»: «Անվնա՞ս է» արդյոք մաթեմատիկան: Այս հարցի պատասխանն էլ բոլորովին ակնհայտ չէ, իսկ հարցը նրանցից է, որոնց կգերադասեի չպատասխանել, քանի որ անմիջականորեն շոշափում է պատերազմական գործողությունների վրա գիտության ազդեցության խնդիրը: Անվնա՞ս է մաթեմատիկան այն իմաստով, որով անշուշուշտ անվնաս չէ քիմիան:  Հետագայում դեռ կվերադառնամ վերոհիշյալ երկու հարցին:

(2)   Իմ երդմնակալության դասախոսության մեջ ասել եմ. «Տիեզերքի չափսերն ահռելի են, և եթե իզուր տեղը ժամանակ ենք վատնում, ապա համալսարանական մի քանի դոն[1]ի անիմաստ ապրած կյանքն այնքան էլ տիեզերական աղետ չէ»: Այս մասին հասնելով` երևի ընդունել կամ փորձել եմ ընդունել չափազանցված խոնարհության դիրք, որից հենց նոր հրաժարվեցի: Վստահ եմ, որ իրականում ուրիշ բան եմ ցանկացել ասել` փոձելով մի արտահայտությամբ ասել այն, ինչը ավելի մանրամասն շարադրված է 3-րդ պարագրաֆում: Նկատի եմ ունեցել, որ մենք՝ դասավանդողներս, իսկապես որոշակի տաղանդ ունենք, և դժվար թե մոլորություն համարվի դա ամբողջ թափով զարգացնելու ձգտումը:

(3)   Վերջապես (հիմա ինձ հիվանդագին հռետորական թվացող արտահայտություններով) նշել եմ մաթեմատիկական ձեռքբերումների անանց բնույթը.

«Այն, ինչ անում ենք, հնարավոր է, որ քիչ է, բայց անկասկած անանց բնույթ ունի, իսկ ստեղծել որևէ բան, որը թեկուզ դույզն-ինչ ոչ անցողիկ բնույթ ունի, լինի բանաստեղծության օրինակ, թե երկրաչափական թեորեմ, նշանակում է այնպիսի բանի ստեղծում, որն ամբողջությամբ մարդկանց ճնշող մեծամասնության հնարավորություններից դուրս է»:

Եվ հետո. «Անցյալի և ներկայի գիտական ձեռքբերումների հակասության օրերին պետք է ինչ-որ բան ասեմ մի գիտության մասին, որը ոչ Պյութագորասից է սկսվում և ոչ էլ Էյնշտեյնով ավարտվում, այլ ամենահին և ամենաերիտասարդ գիտություններից մեկն է»:

Այս ամենը հռետորություն է, բայց ասածի էությունը հիմա էլ ինձ ճիշտ է թվում, և կարող եմ իմ կողմից առաջ քաշած հարցերը ավելի մանրամասն շարադրել, առանց տրվելու մյուս հարցերից որևէ մեկի նախնական քննարկմանը, որոնք բաց եմ թողնում:

7

Ելնում եմ այն ենթադրությունից, որ գրում եմ ընթերցողի համար, ով հավակնոտության համապատասխան ոգով լի է կամ անցյալում է եղել: Մարդու, ամեն դեպքում, երիտասարդ մարդու առաջին պարտականությունը հավակնություններն են: Հավակնոտությունն ազնիվ կիրք է, որը տարբեր ձևեր ընդունելու միանգամայն օրինական հիմքեր ունի: Ինչ-որ վեհ բան եղել է և Աթիլի կամ Նապոլեոնի հավակնությունների մեջ, բայց ամենավեհ հավակնոտությունը ղեկավարում է նրանց, ովքեր իրենցից հետո թողնում են անանց արժեք ունեցող որևէ բան.

Ավազի վրա միտք եմ անում,
Ծովի ու ցամաքի արանքում,
Ի՞նչ եմ շինելու կամ գրելու,
Նախքան կգա մայրամուտս`ժամն իմ գնալու:

Սեպագրեր անեմ տապանաքարին,
Որ դիմանում են ալիքների պոռթկումներին,
Կամ էլ մի ամրոց արարեմ,
Երկար կյանքով ավելի, քան ես կապրեմ:[2]

Հավակնությունն աշխարհի համարյա բոլոր լավագույն ստեղծագործությունների շարժիչ ուժն է եղել: Մասնավորապես, մարդկանց երջանկության մեջ բոլոր էական ներդրումները գործնականում հավակնոտ մարդիկ են արել: Երկու հայտնի օրինակ բերենք. Լիստերը[3] և Պաստերը[4] մի՞թե հավակնոտ չեն եղել: Կամ, ավելի համեստ մակարդակի, Քինգ Ժիլետը[5] և Ուիլյամ Ուիլետը[6]: Վերջին ժամանակներում ո՞վ է նրանցից ավելի շատ նպաստել մարդկային երջանկությանը:

Հատկապես լավ օրինակներ կարող ենք վերցնել ֆիզիոլոգիայից, քանի որ այն «օգտակար» գիտությունների թվին է դասվում: Պետք է զերծ մնանք այն սխալներից, որ սովորաբար անում են գիտության ջատագովները, սխալներ, որոնց ենթարկվել է, օրինակ, պրոֆեսոր Ա. Վ. Հիլը[7]: Այդ սխալի համաձայն, ընդունված է համարել, թե այն մարդիկ, որ մարդկության բարգավաճմանը մեծապես նպաստել են, աշխատանքի ընթացքում շատ են մտածել իրենց բարձր առաքելության մասին, կարճ ասած, իբր ֆիզիոլոգները հատուկ վսեմ հոգի ունեն: Ֆիզիոլոգն իհարկե ուրախ է, որ իր աշխատանքը բարեգործություն է մարդկության համար, բայց նրան աշխատանքը կատարելու ուժ և ներշնչանք տվող դրդապատճառները չեն տարբերվում դասական հումանիտար-գիտնականի կամ մաթեմատիկոսի դրդապատճառներից: 

Տարբեր ազնիվ դրդապատճառներ կան, որ մարդուն մղում են ուսումնասիրություն անելու, բայց դրանցից երեքը մյուսներից ավելի կարևոր են: Առաջին դրդապատճառը (առանց դրա մյուսները ոչինչ են) մտավոր հետաքրքրասիրությունն է, ճշմարտությունն իմանալու ծարավը: Երկրորդ դրդապատճառը մասնագիտական հպարտությունն է, անհանգստությունը, որը կարելի է հանդարտեցնել միայն մտադրվածը իրականացնելու միջոցով, ամոթը, որը պատում է ցանկացած վարպետի, երբ ստեղծածն արժանի չի լինում իր տաղանդին: Վերջապես երրորդը հավակնոտությունն է, համբավ ու դիրք ձեռք բերելու ծարավը, նաև իշխանություն և փող, որ իր հետ բերում է դիրքը: Հնարավոր է, հաճելի է զգալ, որ արել ես «քո աշխատանքը», ուրախություն ես ավելացրել կամ նվազեցրել ուրիշների տանջանքը, բայց քեզ քո աշխատանքն անելու մղող խթանը դա չէ: Ուստի եթե մաթեմատիկոսը, քիմիկոսը կամ նույնիսկ ֆիզիոլոգը ասեն, որ իրենց աշխատանքի շարժիչ ուժը մարդկությանը բարություն անելու ցանկությունն է եղել, չեմ հավատա նրա բառերին (նմանապես չեմ մտածի այն մասին, թե ով է ավելի լավ ասում, եթե նույնիսկ հավատամ): Իրականում նա ուղղորդվել է վերը նշածս դրդապատճառներով, և այդտեղ այնպիսի բան չկա, որից պետք է ամաչեր արժանապատիվ մարդը:

8

Եթե մտավոր հետաքրքրասիրությունը, մասնագիտական հպարտությունը և հավակնոտությունը հետազոտության գլխավոր խթաններն են, ապա, անկասկած, ոչ մեկը չունի դրանք ավելի լավ բավարարելու հնարավորություն, քան մաթեմատիկոսը: Նրա հետազոտության առարկան գերհետաքրքիր է. չկա որևէ այլ առարկա, որտեղ ճշմարտությունն այդքան զարմանալի բաներ անի: Մաթեմատիկան ուսումնասիրության՝ մինչև մանրուքները մշակված հրաշալի ապարատ ունի և անասելի տեղ է թողնում բարձր մասնագիտական վարպետություն ցուցաբերելու համար: Վերջապես, ինչպես բազմաթիվ անգամներ ապացուցել է պատմությունը, մաթեմատիկական ձեռքբերումը, ինպիսին էլ լինի նրա ներքին արժեքը, մյուս գիտությունների ձեռքբերումների համեմատ ավելի մեծ «երկարակեցությամբ» է օժտված:

Կարող ենք համոզվել նույնիսկ կիսապատմական քաղաքակրթությունների օրինակով: Բաբելոնյան և ասորական քաղաքակրթությունները կործանվել են, Համուրաբին[8], Սարգոնը[9] և Նաբուգոդոնոսորը[10] հիմա դատարկ անուններ են. սակայն բաբելոնյան մաթեմատիկան հիմա էլ հետաքրքրություն է ներկայացնում, իսկ համրանքի բաբելոնյան վաթսունական համակարգը դեռ օգտագործվում է աստղագիտության մեջ: Բայց ամենահամոզիչ օրինակը, իհարկե, Հին Հունաստանն է:

Հին հույներն առաջին մաթեմատիկոսներն էին, ում արդյունքները նաև հիմա են մեզ համար արդիական: Հին Արևելքի մաթեմատիկան միգուցե հետաքրքիր է քննասերների համար, բայց հինհունական մաթեմատիկան լրիվ իրական «բան» է: Հին հույներն առաջինն են խոսել այն լեզվով, որ հասկանալի է ժամանակակից մաթեմատիկոսին: Ինչպես մի անգամ Լիթլվուդն էր ասում, հին հույները ոչ խելացի դպրոցական էին, ոչ էլ փայլուն արդյունքների համար «կրթաթոշակի հավակնորդ», այլ «ուրիշ քոլեջի գիտնական»: Այդ պատճառով էլ հինհունական մաթեմատիկան պահպանել է «անանց» նշանակությունը՝ ավելի անանց, քան նույնիսկ հինհունական գրականությունը: Արքիմեդին կհիշեն նաև այն ժամանակ, երբ մոռացած կլինեն Էսքիլեսին[11], քանի որ լեզուները մեռնում են, մինչդեռ մաթեմատիկական գաղափարներն անմահ են: Գուցե և «անմահ»-ը հիմար բառ է, բայց ինչ էլ որ այն նշանակի, հավանաբար մաթեմատիկոսն անմահ լինելու ավելի մեծ հնարավորություն ունի: Մաթեմատիկոսը լուրջ անհանգստանալու կարիք չունի, թե ապագան իր նկատմամբ անարդար կլինի: Անմահությունը հաճախ ծիծաղելի ու դաժան է լինում. մեզանից քչերին է միայն վիճակված Օգ, Անանիա կամ Գալիլեյ լինել: Նույնիսկ մաթեմատիկայում է պատմությունը երբեմն տարօրինակ դեպքեր արձանագրում. Ռոլը հանդիպում է մաթեմատիկական անալիզի բոլոր դասագրքերում, կարծես նույն կարգի մաթեմատիկոս լինի, ինչպես Նյուտոնը. Ֆարեյն անմահություն է ձեռք բերել, քանի որ չի հասկացել այն թեորեմը, որը Խարոսը տասնչորս տարի առաջ հիմնավոր ապացուցել էր. Աբելի կենսագրության մեջ հինգ ունևոր նորվեգացիների անունները տեղ են գտել իրենց հանրահայտ հայրենակցի հաշվին իրականացված պարտքի գիտակցմամբ արված թուլամտության գիտակցված ակտի պատճառով: Բայց հիմնականում գիտության պատմությունն արդարացի է, և դա հատկապես ճշմարիտ է մաթեմատիկայի դեպքում: Ուրիշ ոչ մի գիտություն չունի այդքան հստակ և միաձայն ընդունված չափորոշիչներ, և մարդիկ, ում մաթեմատիկոսները հիշում են, համարյա միշտ արժանի են դրան: Մաթեմատիկական փառքը, եթե կարողանաք այն վաստակել, ամենաամուրից և տևականներից է:

9

Այս ամենը հաճելի է մաթեմատիկայի գիտակների և հատկապես պրոֆեսորների համար: Երբեմն իրավաբանները, քաղաքական գործիչները և գործարարները ենթադրություն են անում, թե ակադեմիական գործունեությունը գրավում է հիմնականում զգույշ և ոչ հավակնոտ, ամենաշատը սեփական անվտանգության և հարմարավետության մասին մտածող մարդկանց: Նման կարծիքը միանգամայն անհիմն է: Դոնը ինչ-որ բանից, մասնավորապես շատ փող աշխատելու հնարավորությունից հրաժարվում է. օրինակ, պրոֆեսորի համար շատ դժվար է մեկ տարում 2000 ֆունտ ստերլինգ աշխատելը: Դիրքի ամրությունը, բնական է, ֆինանսական բարեկեցությունից հրաժարվելը հեշտացնող պատճառներից մեկն է: Բայց Հուսմանը լորդ Սայմոն[12] կամ լորդ Բիվերբրուկ[13] դառնալուց կհրաժարվեր ոչ այդ պատճառով: Նա կմերժեր նրանց գործունեությունն իր հավակնոտության պատճառով. նրա համար ահավոր կլիներ այն միտքը, որ մի քսան տարի հետո իրեն կարող են մոռանալ:

Բայց որքան ցավալի է գիտակցելը, որ ակադեմիական գործունեության բոլոր առավելություններով հանդերձ անհաջողությունից ապահովագրված չեք: Հիշում եմ, որ Բերտրան Ռասելն ինձ իր սարսափելի երազի մասին էր պատմում: Նա երազում տեսել էր, որ 2100 թվականի կողմերը ինքը նստած է համալսարանի գրադարանի վերևի հարկում: Գրադարանավարի օգնականը մեծ զամբյուղը ձեռքին շրջում է գրադարակների միջով: Նա հերթով վերցնում է գրքերը, նայում  դրանց անվանումները և կա´մ նորից տեղն է դնում, կա´մ շպրտում զամբյուղի մեջ: Վերջապես, հերթը հասնում է մի եռհատորյակի, և Ռասելը ճանաչում է իր «Principia mathematica»-ի պահպանված վերջին օրինակը: Նա դարակից վերցնում է հատորներից մեկը, թերթում մի քանի էջ, ակնհայտորեն մոլորված տարօրինակ նշաններից, ծածկում է հատորը, ծանր ու թեթև է անում և անվճռական կանգ առնում…

10

Մաթեմատիկոսը, բանաստեղծների և նկարիչների նման, պատկերներ է ստեղծում: Եթե նրա «պատկերներն» ավելի երկարակյաց են, քան նրանցը, այն պատճառով է, որ դրանք գաղափարներից են բաղկացած:  Նկարիչն իր պատկերներին ստեղծում է ձևերի և գույների միջոցով, բանաստեղծը՝ բառերի: Պատկերը կարող է «գաղափար» արտահայտել, բայց այդ գաղափարը սովորական առողջ դատողության մակարդակի է և քիչ էական: Բանաստեղծության մեջ գաղափարներն ավելի կարևոր են, բայց ինչպես պնդում է Հուսմանը, սովորաբար գաղափարների կարևորությունը պոեզիայում գերագնահատում են. «Չեմ կարող համաձայնել, որ գոյություն ունի ինչ-որ բան, որ կոչվում է բանաստեղծական գաղափար... Բանաստեղծությունն այն չէ, թե ինչ են ասել, այլ այն, թե ինչպես են ասել»:  

«Փրփրած ու կատաղի ծովի ջուրն էլ ամբողջ
Չի կարող սրբել մյուռոնը` ի վերուստ օծված թագավորի»:[14]:  

Ինչպիսի տողեր: Բայց կարո՞ղ են դրանցում արտահայտված գաղափարներն ավելի հասարակ և ավելի կեղծ լինել: Տեսնում ենք, որ գաղափարի աղքատությունը հազիվ թե ազդում է բառային նախշի գեղեցկության վրա: Մյուս կողմից, աշխատանքի համար մաթեմատիկոսը գաղափարներից բացի ուրիշ նյութ չունի, այդ պատճառով էլ նրա ստեղծած պատկերներն ավելի մեծ հավանականությամբ կշարունակեն իրենց գոյությունը, քանի որ ժամանակի ընթացքում գաղափարներն ավելի քիչ են մաշվում, քան բառերը:

Մաթեմատիկոսի ստեղծած պատկերները, նկարչի կամ բանաստեղծի պատկերների նման, պետք է գեղեցիկ լինեն. գույների կամ բառերի նման, գաղափարները պետք է համահունչ զուգորդվեն: Գեղեցկությունն առաջին չափորոշիչն է. աշխարհում տգեղ մաթեմատիկա չկա: Այս առումով չեմ կարող չնշել դեռևս լայն տարածում ունեցող մի մոլորություն (չնայած, հավանական է,  որ հիմա այն ավելի քիչ է տարածված, քան առաջ): Նկատի ունեմ այն, ինչը Ուայթհեդն անվանել է «գրական նախապաշարմունք». սերը մաթեմատիկայի նկատմամբ և նրա գեղագիտական գնահատումը «յուրաքանչյուր սերնդի մի քանի էքսցենտրիկների մենաշնորհն է»:

Մեր ժամանակներում դժվար է կրթված մարդ գտնել, որ բոլորովին անտարբեր է մաթեմատիկայի գեղագիտական հմայքի նկատմամբ: Հնարավոր է, որ մաթեմատիկական գեղեցկությունը որոշելը շատ դժվար է, բայց նույնը կարելի է ասել ցանկացած այլ տեսակի գեղեցկության մասին. բացարձակ ճշգրտությամբ չգիտենք, թե ինչ են ենթադրում գեղեցիկ պոեմ ասելով, բայց դա չի խանգարում որ կարդալու ընթացքում ճանաչենք այն:  Նույնիսկ պրոֆեսոր Հոգբենը, որ ամեն կերպ ձգտում է նվազեցնել գեղագիտական տարրի կարևորությունը մաթեմատիկայում, չի համարձակվում ժխտել դրա գոյությունը: «Իհարկե, կլինեն մարդիկ, ում համար մաթեմատիկան վերացական սառը գրավչություն ունի... Մաթեմատիկայի գեղագիտական գրավչությունը քիչ թվով ընտրյալ մարդկանց համար կարող է լրիվ իրական լինել»: Բայց նա ենթադրում է, որ այդպիսիք քիչ են, և նրանց զգացմունքները սառն են (դրանք իսկապես շատ զարմանալի մարդիկ են, ովքեր ապրում են համալսարանական փոքրիկ քաղաքներում, որոնց պատերի ետևում թաքնվում են լայն բաց տարածություններում փչող թարմ քամիներից): Այստեղ պրոֆեսոր Հոգբենը միայն կրկնում է Ուայթհեդի «գրական նախապաշարումը»:

Իսկ փաստն այն է, որ քիչ թվով առարկաներ կան, որոնք մաթեմատիկայից ավելի «ճանաչված» են: Մարդկանց մեծ մասն ունակ է բավականություն ստանալու մաթեմատիկայից այնպես, ինչպես մարդկանց մեծ մասն ունակ է հաճույք ստանալու հաճելի երաժշտությունից: Եվ հավանաբար, մարդկանց մեծ մասն իսկապես ավելի շատ հետաքրքրվում է մաթեմատիկայով, քան երաժշտությամբ: Առաջին հայացքից պատկերը կարող է այլ թվալ, բայց դրան բացատրություն գտնելը հեշտ է: Երաժշտությունը կարելի է օգտագործել մասսայական էմոցիաներ առաջացնելու համար, մաթեմատիկան այդ գործին հարմար չէ. երաժշտական կարողությունների բացակայությունն ընկալվում է (անկասկած, իրավացիորեն) որպես տվյալ անձը ինչ-որ չափով վարկաբեկող, մինչդեռ մարդկանց մեծ մասն այնպես է վախենում հենց մաթեմատիկա անունից, որ նրանք պատրաստ են չափազանցնել մաթեմատիկայի հանդեպ իրենց անկարողությունը: 

«Գրական նախապաշարմունքի» անհեթեթությունը հասկանալու համար խորը մտորումների կարիք չկա: Յուրաքանչյուր քաղաքակիրթ երկրում հսկայական թվով շախմատ խաղացողներ կան, Ռուսաստանում շախմատ խաղում է համարյա ամբողջ չափահաս բնակչությունը, և համարյա ամեն մի շախմատասեր կարող է ճանաչել «գեղեցիկ» շախմատային պարտիան կամ խնդիրը: Այնինչ շախմատային խնդիրը զուտ մաթեմատիկական վարժություն է (շախմատային պարտիան` ոչ ամբողջովին, քանի որ հոգեբանությունն էլ դեր ունի), և յուրաքանչյուրը, ով շախմատային խնդիրը «գեղեցիկ» է համարում, ծափահարում է մաթեմատիկական գեղեցկությանը, նույնիսկ եթե խոսքը համեմատաբար ցածր կարգի գեղեցկության մասին է:  Շախմատային խնդիրները ձոն են մաթեմատիկային:

Նույն դասը ավելի ցածր մակարդակի, բայց ավելի լայն հասարակության համար կարող ենք ստանալ բրիջ խաղից, կամ, եթե ավելի ներքև իջնենք, զանգվածային թերթերի այն սյունակներից, որտեղ գլուխկոտրուկներ են հրապարակվում: Այս խաղերի և զվարճությունների համարյա ողջ արտասովոր ժողովրդականությունը տուրք է ռուդիմենտար մաթեմատիկայի ձգողական ուժին, և գլուխկոտրուկների լավագույն կազմողները, ինչպիսիք են Դյուդենին կամ «Կալիբանը», գործնականում տարրական մաթեմատիկայից բացի ուրիշ բան չեն օգտագործում: Նրանք իրենց գործը գիտեն. այն ինչը պետք է լայն հասարակությանը, թեթև մտավոր «ցնցումն» է, իսկ ոչինչ չի կարող համեմատվել այն ցնցումի հետ, որը մտքին տալիս է մաթեմատիկան:

Կարող եմ ավելացնել, որ աշխարհում ոչինչ  ավելի մեծ բավականություն չի պատճառում նույնիսկ հայտնի մարդկանց (թվում և նրանց, ովքեր իրենց թույլ են տվել մաթեմատիկայի մասին թերհավատորեն արտահայտվել), քան իսկական մաթեմատիկական թեորեմի բացահայտումը կամ վերաբացահայտումը: Հերբերտ Սպենսերն իր ինքնակենսագրականում հրապարակել է շրջանագծերի մասին վերահայտնագործած թեորեմը, որ ինքն ապացուցել է, երբ քսան տարեկան է եղել (առանց իմանալու, որ Պլատոնը այն ապացուցել էր երկու հազար տարի առաջ): Ավելի թարմ և ավելի զարմանալի օրինակ է պրոֆեսոր Սեդին (բայց նրա թեորեմը իսկապես իրեն է պատկանում):

Շարունակությունը