Պլան և ծրագիր

Մաթեմատիկական հայտնություն

8-րդ գլուխը

Վարժություններ և լրացուցիչ դիտարկումներ 8-րդ գլխի վերաբերյալ 

1. Վերջի՞ց դեպի սկիզբը, թե՞ սկզբից դեպի վերջը: Հակառա՞կ ուղղությամբ, թե՞ ուղիղ: Վերլուծությո՞ւն, թե՞ համադրում: Մեր տերմինաբանության համաձայն (տես §2) «շարժվում ենք վերջից դեպի սկիզբը» պնդումը նշանակում է լուծման որոշակի ռազմավարություն, լուծման պլանը կազմելու ստանդարտ ճանապարհ: Հնարավոր միա՞կ ռազմավարությունն է: Ամենալա՞վն է:

1°. Նորից դառնանք «մեր օրինակին», որը գրաֆիկորեն ուսումնասիրել ենք 7-րդ գլխում: Այս օրինակի լուծման վերջնական պլանը պատկերված է 29է նկարում՝ կետերից և գծերից, միջանկյալ անհայտներից և նրանց փոխադարձ կապերից բաղկացած սարդոստայն՝ ձգված անհայտը և տվյալները իրարից բաժանող սկզբնական գծագրի անդունդի վրա: Այդ սարդոստայնն սկսեցինք հյուսել՝ ելնելով անհայտից և շարժվելով դեպի տվյալները: Նկար 30-ում ցույց են տրված մեր աշխատանքի հաջորդական փուլերը: Այդ ուղղությունը անվանեցինք «դարձ» կամ «վերջից դեպի սկիզբը» (նկար 30-ում այդ ուղղությունը ձախից դեպի աջ է):

Վերջնական պլանը, փոխադարձ կապերի ամբողջական համակարգը (տե՛ս նկար 29է-ն. երբեմն սարդոստայնը կարող է և ավելի խճճված լինել), ցույց չի տալիս ուղղությունը, որով այն կազմվել է: Մի լուծողը կարող էր կառուցումը սկսել տվյալներից և շարժվել նկար 29է-ում բերված սլաքների ուղղությամբ (ինչպես մենք արեցինք պլանը իրագործելիս): Պլանի տարածումը այդ ուղղությամբ կարելի անվանել զարգացում ուղիղ ուղղությամբ, շարժում սկզբից դեպի վերջը:

Միևնույն ժամանակ մի ուրիշ լուծող, որի առջև կանգնած է ուրիշ, հնարավոր է, ավելի բարդ խնդիր, կարող է պլան կազմել, առանց պահպանելու մի անգամ ընտրած ուղղությունը: Որպես ելակետ ընդունելով սկիզբը կամ վերջը՝ նա կարող է շարժվել անհայտներից դեպի տվյալները, հետո տվյալներից դեպի անհայտները. նա կարող է շարժվել նաև երկու ուղղություններով փոխառփոխ. այդ ընթացքում կարող է հաստատել որոշակի հեռանկարային կապեր օբյեկտների միջև, որոնք դեռևս կապված չեն լուծման սխեմայի ոչ սկզբի, ոչ վերջի հետ, կամրջակներ գցել մեկուսացված կետերի միջև, որոնք տխրում են մենակությունից՝ տվյալների և անհայտների միջև: Այսպիսով, վերջից դեպի սկիզբը տանող պլանը հնարավոր միակը չէ: Համապատասխան օրինակ է գլուխ 7-ի վարժություն 4-ը:

2°. Նկար 30-ում ամփոփված մեր օրինակում պլանը կազմել էինք՝ շարժվելով վերջից դեպի սկիզբը:

Փորձենք համեմատել մեր աշխատանքը այն մարդու աշխատանքի հետ, ով  կազմել է նույն խնդրի լուծման պլանը՝ շարժվելով սկզբից դեպի վերջը:

Մենք սկսեցինք անհայտից և այդ պատճառով էլ մեր հարցերը տալիս էինք՝ շեշտադրելով հատկապես անհայտը: Ի՞նչ է պահանջվում: Ի՞նչ է անհայտը: Ինչպե՞ս կարելի է այդպիսի օբյեկտ ստանալ: Ինչպե՞ս կարելի է գտնել այդպիսի անհայտը: Անհայտը ստանալու համար ի՞նչ տվյալներ են պետք: Եվ գտանք երկու «տվյալ»՝ երկու ծավալ՝ A և B, որոնց միջոցով արտահայտվում է V անհայտը, որոնք իմանալով՝ կարելի է գտնել V-ն. V=A-B: Մեր աշխատանքի այդ փուլը պատկերված է 38ա նկարում (որը նկար 30-ի մասն է կազմում):

Մյուս լուծողը կսկսի այլ կերպ՝ տվյալներից: Նա հարցեր կտա՝ շեշտադրելով տվյալները: Ի՞նչ է տրված: Ի՞նչ են տվյալները: Նման օբյեկտները ինչի՞ համար պետք կգան: Ինչպե՞ս կարելի է օգտագործել այդպիսի տվյալները: Այդ տվյալներից կարելի՞ է օգտակար ինչ-որ բան ստանալ: Հիմա նորից անդրադառնանք երկրորդ լուծողին. նա հասել էր 38բ նկարում պատկերված փուլին: Եվ այստեղ նա նկատում է, որ այդ տվյալների միջոցով կարող է հաշվել x երկարությունը, այսինքն՝ արտահայտել x-ը a-ի, h-ի և b-ի միջոցով (դրա համար օգտագործելով համամասնությունը, ինչը արդեն մի քանի անգամ արել ենք. տես նկար 29զ)։ Նրա աշխատանքի այս փուլը պատկերված է 38բ նկարում:

Նորից անդրադառնանք մեր լուծմանը, այն փուլին, որը պատկերված է 38ա նկարում: Արտահայտելով V անհայտը A-ի և B-ի միջոցով, հանդիպում ենք երկու նոր անհայտների՝ A և B, երկու նոր (օժանդակ) խնդիրների՝
Արտահայտել A-ն, եթե տրված են a, h, b:
Արտահայտել B-ն, եթե տրված են a, h, b:

Սրանք հստակ ձևակերպված երկու նոր խնդիր են, որոնք սկզբնականի բնույթի են: Շարժվելով հակառակ ուղղությամբ՝ նորից հարցնում ենք՝ ինչպե՞ս կարելի է գտնել այդպիսի անհայտները: Ի՞նչ տվյալներ պետք է ունենալ այդպիսի անհայտները գտնելու համար:

Արտահայտելով x-ը տրված a, h, b մեծությունների միջոցով՝ նա կարող է x-ը համարել որպես լրացուցիչ տվյալ, այսպիսով, նա ավելի շատ տվյալ կունենա, և խնդիրը լուծելու ավելի շատ հնարավորություն կստանա: Սակայն, շարժվելով այս ճանապարհով, նա չի հասնի հստակ ձևակերպված օժանդակ խնդրի, այլ ստիպված կլինի իրեն պակաս որոշակի հարցեր տալ՝ ինչպե՞ս կարելի է x-ը օգտագործել: Ի՞նչի համար կարող են պետք գալ նման օբյեկտները: Հնարավո՞ր է այս տվյալներից օգտակար ինչ-որ բան քաղել:

Այսպիսով, մեր և երկրորդ լուծողի, 38ա և 38բ նկարներում պատկերված իրավիճակների միջև հիմնական տարբերությունը հեռանկարն է:

Մենք ի՞նչ կշահենք, եթե կարողանանք լուծել օժանդակ խնդիրները: Ի՞նչ կշահի նա, եթե հաջողվի ստանալ իր հարցի պատասխանը:

Եթե կարողանանք A և B օժանդակ անհայտները արտահայտել a, h, b տվյալների միջոցով, կկարողանանք դրանց միջոցով արտահայտել նաև սկզբնական անհայտը՝ V=A-B: Եթե ուղիղ ճանապարհով լուծողը ինչ-որ միջանկյալ մեծություն, օրինակ y, կարողանա արտահայտել տրված մեծությունների միջոցով, նա դեռ պետք է հարցի պատասխանի՝ ի՞նչ անի այդ մեծությունը: Ճիշտ է, մի դեպքից բացի, երբ բախտը բերի, և որպես y հանդիպի գլխավոր V անհայտը. այդ դեպքում նա խնդիրը լուծած կլինի:

3°. Ինչպես ուղիղ, այնպես հակառակ ուղղությամբ պլանները նույն հաջողությամբ կարող են լինել ինչպես հաջող, այնպես էլ անհաջող: Վերջից դեպի սկիզբը շարժվելիս կարող ենք հասնել օժանդակ խնդրի, որը չկարողանանք լուծել: Շարժվելով խնդրի սկզբից դեպի վերջը՝ կարող ենք տվյալներից նորանոր տվյալներ ստանալ, բայց այդ տվյալները կարող են անօգուտ լինել՝ դրանցից չկարողանանք անհայտը գտնել:

Այս կամ այն ուղղությամբ պլան կազմելը պահանջում է տարբեր հնարքների զուգադրում: Եթե խնդրի վերջից դեպի սկիզբը շարժվելիս սպասելի է, որ ժամանակի մեծ մասը ծախսենք հստակ ձևակերպված խնդիրներ լուծելու համար, խնդրի սկզբից դեպի վերջը շարժվելիս շատ ժամանակ կծախսենք տարբեր խնդիրների միջև տատանվելու վրա, որ կկարողանայինք լուծել, կամ խնդիրներ լուծելու վրա, որ  օգտակար չեն լինի:

Ընդհանրապես, հակառակ ուղղությամբ՝ խնդրի վերջից դեպի սկիզբը տանող պլան կազմելը, «վերլուծությունը» (հին հույն երկրաչափների տերմիններով) նախընտրելի է: Կարծր և անխախտ կանոն չի կարող լինել, նպատակահարմար է սկզբում դիտարկել անհայտները (եզրակացությունը, փնտրվող օբյեկտը), հետո տվյալները (պայմանները, նախադրյալները, մեր տրամադրության տակ եղած օբյեկտները): Աշխատանքը սկսեք շարժվելով խնդրի վերջից դեպի սկիզբը՝ սկսելով անհայտից, եթե, իհարկե, դրանից հրաժարվելու համար ոչ մի հատուկ դատողություն չկա. օրինակ, եթե ոչ մի լավ գաղափար ձեզ չի ստիպի սկսել տվյալներց, և այդ ճանապարհով շարունակեք շարժվել:

4°. Մի քանի կարճ դիտողություններ էլ անենք, չնայած կարելի էր և շատ բան ասել:

Որոշ դեպքերում որոշակի հիմքեր են լինում ընտրություն կատարելու համար: Այսպես, գործնական շատ խնդիրներում օբյեկտը, որը ցանկանում ենք գտնել (կառուցել, հասնել...), կարող է հասանելի լինել, մինչդեռ նպատակին հասնելու համար օգտագործվող օբյեկտները կարող են մեզ քիչ ծանոթ լինել և չտրվեն զննության իրենց շատ լինելու պատճառով: Մեզ համար դժվար կլիներ հիմնավորելը այդ անընդգրկելի բազմության որոշակի օբյեկտից սկսելը, և այդ պատճառով ստիպված ենք կազմել հակառակ ուղղությամբ պլան: 

Հակառակ ուղղությամբ պլանը կազմելուց հետո, սկսում ենք իրագործելը՝ շարժվելով ուղիղ ուղղությամբ (հիշեք §5-ը), բայց դա արդեն պլանի իրագործումն է, ոչ թե կազմումը, քանի որ բոլոր գաղափարները նախօրոք արդեն մշակված էին, իսկ հիմա միայն իրականացնում ենք: Սա կարող է կասկածներ ծնել, որ խնդիրը լուծողը, որը սկսում է ուղիղ ուղղությամբ լուծման պլան կազմել, օգտագործում է արդեն պատրաստի գաղափարներ, նկատի ունեմ՝ օգտագործում է ոչ բացահայտ, հնարավոր է նաև ենթագիտակցաբար:

Մի ուսանողուհի այսպես բացատրեց. փորձը ինքնին (առանց նախնական վերլուծության) դժվար կլիներ, ինչպես կարկանդակ թխելիս, երբ առկա են բոլոր բաղադրիչները, բայց պատրաստելու բաղադրատոմսը չկա:

Եվ, իհարկե, խնդիրը լուծելիս պետք չէ լինենք չափազանց մանրախնդիր, բայց նաև պետք է կենտրոնացած լինեք: Եթե անհայտից, վերջից դեպի սկիզբը շարժումը սկսելուց հետո, տվյալներից ելնող հաջող քայլ անելու հնարավորություն եք տեսնում, արեք այդ քայլը, անպայման արեք:

2. Խելացի մարդը վերջից է սկսում: Բարեկամներիցս մեկը, որ լավ մաթեմատիկոս է և լավ փիլիսոփա, մի անգամ ինձ պատմեց, որ թեորեմը ապացուցել սկսելուց առաջ հաճախ սկզբում գրում է Q. E. D. («quod erat demon­strandum»՝ ինչ և պետք էր ապացուցել), և ապացույցն ավարտող հայտնի արտահայտության հակառակ գրությունը լավ է տրամադրում աշխատանքի:

Կա ասացվածք՝ «Խելացի մարդը վերջից է սկսում, իսկ հիմարն ավարտում է սկզբում»:

3. Իրականացրեք  §4-ում բերված պլանը:
4. Ընտրություն երեք պլանից: Դիցուք, a-ն ուղիղ շրջանաձև գլանի հիմքի շառավիղն է, իսկ h-ը՝ բարձրությունը: Ստորին հիմքի տրամագծով տարված է հարթություն, որը շոշափում է վերին հիմքի շրջանագիծը (այսինքն՝ նրա հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ): Այդ հարթությունը գլանը բաժանում է երկու անհավասար մասերի: Գտեք դրանցից փոքրի ծավալը, որը սահմանափակված է ստորին հիմքով և հատող հարթությամբ («սմբակի» ծավալը):

Այս խնդիրը ձևակերպել և առաջինը լուծել է Արքիմեդը:

Օգտվենք տարածությունում վերլուծական երկրաչափությունից: Գլանի առանցքն ընդունենք որպես z առանցք, իսկ ստորին հիմքով անցնող հարթությունը՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի xOy հարթություն: Ենթադրենք, որ գլանը երկու մասի տրոհող հարթությունը xOy հարթությունը հատում է y առանցքով: Այդ դեպքում ստորին հիմքի շրջանագծի հավասարումը կլինի x²+y²=a², իսկ հատող հարթության հավասարումը կլինի՝ 

Որոնելի ծավալը հաշվելու համար կարելի է օգտվել ինտեգրալ հաշվից կամ օգտագործել Կավալյերիի սկզբունքը: Երկու դեպքում էլ հարկ կլինի դիտարկել «սմբակի» զուգահեռ հատույթների ընտանիքները: Երեք ակնհայտ պլան է հնարավոր. կարելի տանել հատույթ՝

1°. ուղղահայաց x առանցքին.
2°. ուղղահայաց y առանցքին.
3°. ուղղահայց z առանցքին:

Ո՞ր պլանն եք գերադասում: Դա էլ իրականացրեք:

5. Ընտրություն երկու պլանների միջև

1°. Խաչբառ լուծելիս անվճռականորեն կանգ էինք առել: Երկու բառ կար. մեկում չորս տառ էր, որոնցից մեկը հյտնի էր, իսկ երեքը՝ անհայտ, մյուսում ութը տառ էր, որոնցից հայտնի էին երեքը, և անհայտ՝ հինգը: Այս բառերից ո՞ր մեկը փորձենք սկզբում գտնել: Կարելի է դրանցից մեկի ընտրությունը հիմնավորել՝ օգտագործելով եղած թվային տվյալները:

Կարծում եմ, որ դա երևի հնարավոր չէ անել, բայց փորձելը հետաքրքիր է:

2°. Ձևակերպված հարցը կարելի է շարադրել ավելի ընդհանուր տեսքով և (քանի որ դա հնարավոր է) ավելի ճշգրիտ:

Դիցուք ունենք k+m տառից բաղկացած մի բառ, և այդ տառերի k հատը հայտնի են, իսկ m հատը՝ ոչ: Մենք ձեռնամուխ ենք եղել այդ բառը փնտրելուն և մտադիր ենք այդ որոնումների դժվարության գործակիցը գտնել:

Սկզբում ենթադրենք, որ k հատ տառերը մեզ հայտնի են ամբողջությամբ, այսինքն գիտենք ինչպես տառերը, այնպես էլ տեղերը, որոնք այդ տառերը զբաղեցնում են բառի մեջ, (ինչպես, օրինակ այս բառում՝ ԳՈ - - Ա - - -, որտեղ k=3, m=5): Այս դեպքում որպես բառը գտնելու դժվարության գործակից կարող ենք ընդունել հայերենի բառարանում եղած k+m տառ ունեցող այն բոլոր բառերի N քանակը, որոնց մոտ k հատ տառերը համընկնում են մեր տառերի հետ և զբաղեցնում են նույն տեղերը: (Իհարկե, նույն հաջողությամբ որպես դժվարության գործակից կարելի էր ընտրել N-ից կախված ցանկացած աճող ֆունկցիա, օրինակ՝ lnN):

Տեսականորեն այսպիսի սահմանումը կարող է խելամիտ թվալ, քանի որ թույլատրելի բառերի քանակը աճելուն զուգընթաց դժվարանում է և դրանցից մեկը ընտրելը: Բայց գործնականում անհարմարություններ են առաջանում: Ինչպե՞ս վարվենք, եթե բառը «ժամանակակից» հայերենին չի պատկանում: Բավարա՞ր է մեր սահմանումը խաչբառ լուծողների տեսանկյունից: Ինչ էլ որ լինի, գործնականում N թվի գտնելը շատ հոգնեցուցիչ է և աննպատակահարմար:

3°. Մեր առջև կանգնում է մի փոքր այլ և ավելի բարդ նպատակ՝ ցանկանում ենք սահմանել դժվարության այնպիսի գործակից, որը կախված լինի միայն k-ից և m-ից՝դժվարության «մնացած հավասար պայմանների դեպքում», ինչ-որ միջինացված դժվարության գործակից: Պատրաստվում ենք դիտարկել նույն k և m-ի բոլոր դեպքերը միաժամանակ, հաշվի առնելով միայն այդ թվային արժեքները: Եթե մեզ հաջողվեր հասնել այդպիսի բարդ նպատակի, գործակիցը կլիներ k և m փոփոխականների f(k,m) ֆունկցիա: Ակնհայտ է, որ այդ ֆունկցիան պետք է լիներ k-ից կախված նվազող և m-ից կախված՝ աճող: Սակայն դեռ չենք կարող ասել, թե f(1,3) և f(3,5) թվերից որն է մեծ:

4°. Եթե հայերեն այբուբենի տառերը բառերում միմյանցից անկախ դասավորվեին, հայերեն բառերի N թիվը, որոնք կպարունակեին k հատ տրված և m հատ ազատորեն ընտրվող տառեր, կարտահայտվեր պարզ բանաձևով՝ N=39^m։ (Այս N թիվը օգտագործում ենք 2° կետում պարզաբանված իմաստով): Այսպիսով, կկարողանայինք դժվարության գործակիցը որոշել, օրինակ, այսպես՝

Այսպիսի սահմանումը f(k,m)-ի համար թվում է հետևողական, բայց շրջանցում է մի շատ կարևոր հարց՝ որքանո՞վ է k տառերի դիրքերի ամրագրումը սահմանփակում մնացած m տառերի ընտրությունը (թվում է՝ ազատորեն ընտրվող, բայց իրականում այդպես չէ):

Շատ կասկածելի է, որ f(k,m)-ի համար կարող է առաջարկվել ինչ-որ չափով իրական բանաձև: Ամեն դեպքում պետք է սպասել, որ այդպիսի բանաձևը կտարբերվի վերևում բերվածից գոնե երկու հատկությամբ՝ f(k,m)-ը պետք է լինի k-ից կախված խիստ նվազող և պետք է կիրառելի լինի եթե ոչ բոլոր լեզուների, գոն մի քանիսի համար:

5°. Ահա անկատար և մաքուր մտահայեցողական փորձնական առաջարկ՝

Այս բանաձևը ճիշտ է միայն տառ ունեցող բառերի համար:

6°. Նախորդ դատողությունները կարող են որոշակի լույս սփռել էվրիստիկայի բնագավառի վրա և բնութագրել ճշգրտությունը, որը կարող է լինել հասանելի. հենց սա է արդարացնում այն տեղը, որը հատկացրել ենք մեր շարադրանքում:

6. Իրական պլան: «Պատրաստվում եմ անմիջապես անցնելու խնդիրը լուծելուն, ուսումնասիրում եմ գծագիրը և սպասում, մինչև գլխումս լավ գաղափար կծնվի»: Սա ամենաիսկական պլան է: Հնարավոր է, որ մի քիչ պարզունակ է: Հնարավոր է, որ չափազանց լավատեսական է, որ մի քիչ գերագնահատել եք լավ գաղափարներ հորինելու ձեր կարողությունը: Համենայնդեպս, այսպիսի պլանը կարող է աշխատել, ճիշտ է՝ ոչ միշտ:
7. Հիշելով անցյալում ձեր լուծած խնդիրները՝ դիտարկեք նրանք, որոնք լուծել եք կամ կարող էիք լուծել վերջից դեպի սկիզբը շարժվելով:
8. Ձեզ մի սահմանափակեք: Դիտարկենք կիսակոնկրետ օրինակ: Դիցուք՝ պահանջվում է ապացուցել տարրական երկրաչափությունից մի թեորեմ, որի եզրակացությունը պնդում է. «...այդ դեպքում ABC և EFG անկյունները հավասար են»: Պահանջվում է այս եզրակացությունը ստանալ որոշակի նախադրյալներից, որոշակի պայմաններից, որի մանրամասները գործին չեն վերաբերում, և դրա համար էլ այստեղ ուշադրություն չենք դարձնի դրանց:

Խնդիրը լուծելու ինչ-որ փուլում (հնարավոր է՝ վաղ) ուշադրություն ենք դարձնում եզրակացությանը, որ 

Ինչպե՞ս կարելի է ապացուցել այսպիսի եզրակացությունը: Ինչպիսի՞ պայմանից կարելի է ստանալ այսպիսի եզրակացություն:

Մեզ հաջողվում է հիշել անցյալում ուսումնասիրած մի քանի նման փաստ, այդպիսի եզրակացություն ապացուցելու մի քանի ճանապարհ: Երկու անկյունները հավասար են, եթե.

1°. դրանք հավասար եռանկյուններում համապատասխան անկյուններ են, կամ՝

2°. համապատասխան անկյուններ են նման եռանկյուններում, կամ՝

3°. եթե դրանք երկու զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիւս առաջացած համապատասխան անկյուններ են, կամ՝

4°. հավասար, մինչև 180⁰ լրացնող անկյուններ են, կամ

5°. ներգծված են նույն շրջանագծին և հենված են հավասար աղեղների վրա:

Թվարկեցինք հինգ տարբեր թեորեմ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող ենք կիրառել մեր դեպքում, հինգ տարբեր պայման, որոնցից կարելի է ստանալ պահանջվող եզրակացությունը: Կարող ենք սկսել ցանկացածից: Օրինակ կարելի է փորձել 1⁰-ն. ներմուծենք երկու համապատսախան եռանկյուն, ասենք՝ ABC և EFG, և հետո փորձենք ապացուցել, որ դրանք իրար հավասար են: Եթե դա հաջողվի, պահանջվող եզրակացությունը անմիջապես կհետևի: Իսկ ինչպե՞ս կարելի է ապացուցել, որ այդ եռանկյունները հավասար են: Այս հարցը հանգեցնում է մեր պլանի ուղղությունը փոխելուն: Բայց կարող էինք հակառակ ուղղությամբ պլան կազմելը սկսել ելնելով նշված հինգ թեորեմներից յուրաքանչյուրից: Կա՞ հույս, որ դրանցից մեկը հնարավորություն կտա մեր եզրակացությունը ապացուցելու: Դրանցից ո՞րը ունի ամենամեծ հնարավարությունը: Եթե չենք կարողանում պատասխանել այս հարցերին, կամ եթե պատասխանը անբավարարվածության զգացողություն է առաջացնում, ուրեմն ընտրությունը կասկածելի է: Մեր առջև ճամփաբաժան է: Պետք է մի քանի ճանապարհից մեկն ընտրենք. Դրանց սկիզբը պարզ երևում է, բայց շարունակությունը պարզ չէ, իսկ վերջը թաքնված է մշուշում: Նկար 39-ում ստեղծված իրավիճակը պատկերելու փորձ է արված:

Այս օրինակով նպատակ էինք դրել ընթերցողին բացատրել իրավիճակի դժվարությունը, մի քանի պլաններից ընտրելու անորոշությունը: Ստեղծված իրավիճակում հետևյալ խորհուրդը կտամ՝ ձեզ մի՛ սահմանափակեք շատ շուտ, ձեզ մի՛ կապեք ընտրություններից ինչ-որ մեկի հետ ավելի ամուր, քան անհարժետ է: Արեք մեկը, բայց մյուսի մասին մի՛ մոռացեք:

Լավ մաթեմատիկոսը, ինչպես և լավ գեներալը, պետք կարողանա հաշվարկել. նա պետք է հաշվի առնի սպասվող հարձակման անհաջողության հնարավորությունը և չի կարող անտեսել նահանջի ճանապարհը: Լավ կազմած պլանը պետք է ունենա որոշակի ճկունություն, որոշակի հարմարվողականություն անկանխատեսելի դժվարություններին:

9-րդ գլուխը

Թարգմանություն ռուսերենից 
Լուսանկարը՝  Գևորգ Հակոբյանի ՖԲ էջից։